Partikel- und Schüttgutmechanik - Lehrstuhl Mechanische ...

Mittels Nutzung der Additionstheoreme für die Winkelfunktionen
sin( α±
β)
= sin α⋅
cosβ
± cos α⋅
sin β
cos( α±
β = cos α⋅
cosβ
� sin α⋅
sin β
Schüttec_3 VO Partikelmechanik und Schüttguttechnik, Kontakt- und Kontinuumsmechanik
Prof. Dr. Jürgen Tomas, 16.04.2012
( 3.258)
und einer geeigneten Transformation mit einer dimensionslosen Spannung S
S
1
2 tan ϕ
M Z
= ⋅ ln , ( 3.259)
i
σ
σ
M,
0
+ σ
+ σ
Z,
0
wobei für einen Rand, auf dem [ M + σZ
] ( x,
y)
= σM,
0+
σZ,
0
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σ ist, auch gilt ln(1)
= 0 = S, lassen sich diese beiden Differentialgleichungen in eine für die Lö-
sung günstige Form bringen (s. MOLERUS 1985):
⎛ ϕi π⎞
exp( − 2 tan ϕi ⋅S) ⋅ sin⎜ψ
+ − ⎟
⎛ ϕ π⎞ ∂(S + ψ)
∂(S + ψ)
⎝ ⎠
i
2 4 ρb
g
tan⎜
ψ − + ⎟ ⋅ + = −
⋅
⎝ 2 4⎠
∂x
∂y
⎛ ϕi π⎞
σ + σ
2 sin ϕi ⋅ cos⎜
ψ − + ⎟
⎝ 2 4⎠
M, 0 Z,
0
⎛ ϕi π⎞
exp( − 2 tan ϕi ⋅S) ⋅ sin⎜ψ
− + ⎟
⎛ ϕ π⎞ ∂(S − ψ)
∂(S − ψ)
⎝ ⎠
i
2 4 ρb
g
tan⎜
ψ + − ⎟ ⋅ + = −
⋅
⎝ 2 4⎠
∂x
∂y
⎛ ϕi π⎞
σ + σ
2 sin ϕi
⋅ ⎜ψ
+ − ⎟
⎝ 2 4⎠
Diese ist vom Typ
M, 0 Z,
0
cos
( 3.260)
∂u
∂u
a ⋅ + b ⋅ = c
( 3.261)
∂x
∂y
mit a(x, y, u), b(x, y, u) sowie c(x, y, u) und läßt sich mit Hilfe der
Charakteristikenmethode lösen, siehe JENIKE (1961) und MOLERUS
S.111 (1985).
In Zylinderkoordinaten lauten die Gleichungen für das ebene Spannungsfeld,
siehe auch vereinfacht ( 3.262):
∂σr
1 ∂τrθ
σr
−σθ
r − Richtung : + ⋅ + + ρb⋅g
⋅ cos θ = 0
∂r
r ∂θ r
∂τrθ
1 ∂σθ
τrθ
θ − Richtung : + ⋅ + 2 ⋅ − ρb⋅g
⋅ sin θ = 0
∂r
r ∂θ r
( 3.262)
• Die z-Richtung aus der Zeichenebene heraus = Schlitzlängenkoordinate
wird hier nicht betrachtet.
• Der differentielle Spannungszuwachs lautet z.B. in x-Richtung:
dx
x ⋅
∂σ
∆ σ =
( 3.263)
∂
• Dabei ist dr ⋅ sin dθ
≈ dr⋅
dθ
für kleine θ.
• Die Terme dr⋅ dθ
≈ 0 werden vernachlässigt.