Partikel- und Schüttgutmechanik - Lehrstuhl Mechanische ...

3.6 Feldgleichungen des ebenen Spannungszustandes
Aus dem Bild 3.31 entnimmt man:
σ = σ + σ ⋅ cos 2ψ
σ = σ −σ
⋅ cos 2ψ
τ
x
y
xy
= σ
M
M
R
R
R
⋅ sin 2ψ
Schüttec_3 VO Partikelmechanik und Schüttguttechnik, Kontakt- und Kontinuumsmechanik
Prof. Dr. Jürgen Tomas, 16.04.2012
( 3.256)
und mit dem „Stoffgesetz“ des Fließortes mit Kohäsion:
σ R = sin ϕi⋅
( σM
+ σZ
)
( 3.61)
σZ
τ
τc
τxy < 0
τxy
ϕi
ϕi
Fließort
σy
σR
σM
2ψ
Bild 3.31: Spannungszustand im beginnend fließenden Schüttgut
eingesetzt folgt:
σ = σ + σ ⋅ 1+
sin ϕ ⋅ cos 2ψ
−σ
σ
τ
x
y
xy
=
=
( M Z ) ( i )
( σM
+ σZ
) ⋅ ( 1−sin
ϕi⋅
cos 2ψ)
( σ + σ ) ⋅ sin ϕ ⋅ sin 2ψ
M
Z
eingesetzt in die Gln.( 3.21)
i
−σ
Z
Z
+ σ
+ σ
Z
σx
Z
−σ
−σ
und ( 3.22) mit den 3 Unbekannten σx, σy und τxy
x − Richtung :
∂σ ∂τ x xy
+ = 0
∂x
∂y
( 3.21)
y − Richtung :
∂σy
∂τxy
+ = ρb⋅g
∂y
∂x
( 3.22)
folgen aus diesen wiederum zwei gekoppelte partielle Differentialgleichungen,
die sich hinsichtlich der beiden gesuchten Funktionen [ ] ( x,
y)
+ σ
sowohl linear als auch nichtlinear bezüglich ψ( x,
y)
verhalten:
∂( σ M + σ Z )
( + ϕ i ⋅ ψ) ⋅
( )
∂
∂( σ M + σ Z )
ϕ ⋅ ψ ⋅
( )
( ϕ ψ) ( + )
( + )
Z
Z
σ1
σ
M Z σ
1 sin cos2 − 2 σ + σ ⋅ sin ϕ ⋅ sin 2ψ
⋅ +
∂ψ
M Z i
x ∂x
sin sin 2 + 2 σ + σ ⋅ sin ϕ ⋅ cos2ψ
⋅ = 0
∂
∂ψ
i
M Z i
y ∂y
∂ σ σ
1 − sin ⋅ cos2 ⋅
+ 2 ( σ + σ ) ⋅ sin ϕ ⋅ sin 2ψ
⋅ +
∂
∂ψ
M Z
i
M Z i
y ∂y
∂ σ σ
sin ϕ ⋅ sin 2ψ ⋅
+ 2 ( σ + σ ) ⋅ sin ϕ ⋅ cos2ψ
⋅ =
∂
∂ψ
M Z
i
ρ
x ∂x
M Z i b
⋅g
( 3.257)
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