Partikel- und Schüttgutmechanik - Lehrstuhl Mechanische ...

∆p
= 2
ρ ⋅ u
= f ( h b,
u,
dST
, ε,
η,
ρ )
62
( 3.181)
Eu f
f
Im Vergleich zur Partikelumströmung werden wegen der häufigen und
starken Umlenkungen des Fluidstromes im Inneren einer Partikelschicht
Trägheitswirkungen schon weit vor dem Einsetzen der eigentlichen Turbulenz
dominieren.
Aus dem Vorstehenden folgt der Ansatz /3.40./:
∆p
= k
h
b
* *
lam
⋅ η ⋅ u + k
* *
turb
⋅ ρ
f
⋅ u
Mit der EULER-Zahl nach Gl.( 3.181) ist auch:
f
f
2
Schüttec_3 VO Partikelmechanik und Schüttguttechnik, Kontakt- und Kontinuumsmechanik
Prof. Dr. Jürgen Tomas, 16.04.2012
( 3.182)
∆p
* * η
* *
Eu = = k 2 lam ⋅ ⋅ h b + k turb ⋅ h b
( 3.183)
ρ ⋅ u ρ ⋅ u
Die Abhängigkeit von der letzten noch dimensionsbehafteten Größe dST läßt
sich auch mit Hilfe einer einfachen Dimensionsanalyse gewinnen, wenn
man die Grundeinheiten L Länge, M Masse und T Zeit einsetzt:
3 2
3
⎡⎛
M ⋅ L ⎞ L ⋅ T ⎤ ⎡⎛
M ⋅ L ⋅ T ⎞ L ⋅ T ⋅ L⎤
1 1
= ⎢⎜
⋅ + [ L]
⋅
2 2 ⎟ ⋅ 2
2 2
T L M L
⎥ = ⎢⎜
⎟ ⋅
T L M L
⎥
( 3.184)
⎣⎝
⋅ ⎠ ⋅ ⎦ ⎣⎝
⋅ ⎠ ⋅ ⎦ L L
Eu 2
∆p
η ⋅ h
Eu ⋅
*
b * b
= = k lam ⋅ + k
2
2 turb
( 3.185)
ρf
⋅ u ρf
⋅ u ⋅ dST
dST
Somit verbleibt noch die Quantifizierung der Abhängigkeit von ε, die Ge-
genstand vieler Untersuchungen war, die vor allem eine Abhängigkeit von
Re der Durchströmung ergaben (s. z.B. /3.36/ bis /3.44/). Aufgrund des
komplexen Strömungsphänomens existiert auch dafür noch keine allgemein
anerkannte Formulierung. Im Bereich überwiegender
- Zähigkeitswirkung geht man vorwiegend davon aus, daß der Durchströmungswiderstand
proportional (1-ε) 2 /ε 3 ist,
- im Bereich vorherrschender Trägheitswirkung dagegen ∼ (1 - ε)/ε 3 .
Somit folgt aus Gl.( 3.185):
2 ( 1−
ε)
η ⋅ h ( 1−
ε)
Eu ⋅
b
b
= k lam ⋅ ⋅ + k
3
2 turb ⋅
( 3.186)
3
ε ρf
⋅ u ⋅ dST
ε dST
Der erste Term dieser Gleichung ist offensichtlich bei vorwiegender Zähigkeitswirkung
wesentlich, der zweite dagegen bei dominierenden Trägheitskräften.
Gl.( 3.186) läßt sich nun durch Einführen einer modifizierten Poren-
EULER-Zahl Euε(Re) ≡ cW(Re) - manchmal auch analog der Rohrdurchströmung
Widerstandszahl λ(Re) genannt - wie folgt umstellen:
∆p
dST
1−
ε
Eu ε = ⋅ ⋅
( 3.187)
2
3
ρ ⋅ u h ε
f
b
h
h