Partikel- und Schüttgutmechanik - Lehrstuhl Mechanische ...

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Für den Zusammenhang zwischen dem mittleren Druck σM,st und dem isostatischen Druck σiso gemäß der Gl. (3.131) ist die Kompressions- funktion: sin ϕ ⋅σ + sin ϕ ⋅σ sin ϕ ⋅ Schüttec_3 VO Partikelmechanik und Schüttguttechnik, Kontakt- und Kontinuumsmechanik Prof. Dr. Jürgen Tomas, 16.04.2012 ( σ + σ ) i iso i 0 i iso 0 σ M, st + σ0 = = (3.131) sin ϕst + sin ϕi sin ϕst + sin ϕi ρ ρ sin ϕi ⋅( σiso + σ0 ) ( sin ϕ + sin ϕ ) ⋅σ b i 1 b, 0 ρ ρ ⎛ = ⎜ ⎝ st b i 1 b, 0 ⎛ sin ϕ ⎞ = ⎜ sin st sin ⎟ ⎝ ϕ + ϕi ⎠ i n 0 ⎛ ⋅ ⎜ ⎝ kohäsionsloses Schüttgut: ⎞ ⎟ ⎠ n ⎛ sin ϕ ⎞ = ⎜ sin st sin ⎟ ⎝ ϕ + ϕi ⎠ σ + σ iso 0 ⎞ ⎟ ⎠ n n ⎛ ⋅ ⎜ ⎝ σ + σ iso 0 ⎞ ⎟ ⎠ n ( 3.132) Für ein kohäsionsloses Schüttgut σ0 = 0 liefert diese Herleitung nun auch die physikalische Plausibilität einer ursprünglich empirisch aufgestellten Gleichung Gl.( 3.133). Mit den Randbedingungen ρb = 0 wenn σ1 = 0 und ρb = ρs/2 wenn σ1 = σ1/50 folgt: ρb σ1 dρb dσ1 ρb σ1 ∫ = n ⋅ ρ ∫ d.h. ln = n ⋅ ln σ ρ / 2 σ ρs / 2 b σ1 / 50 1 s 1/ 50 n 1 ⎛ ⎞ 1 1 ⎜ σ − ε = ⋅ ⎟ 2 ⎜ σ ⎟ 1, 50 ( 3.133) ⎝ ⎠ − wird nahezu die kubische Packung erreicht: 1 − ε = π = 0, 5236 6 σ1 = σ1,50, wenn 1 ε = 0, 5 • spezifische Kompressionsarbeit eines kohäsiven Schüttgutes Die Arbeit beim Verdichten ist entlang des Stempelweges s oder bezüg- lich einer Volumenverminderung – dV: siehe Folie F 3.84 W = F( s) ds = − p dV ( 3.134) ∫ ∫ und massebezogen kann man schreiben mit ( ) 2 d 1/ ρ = −dρ / ρ : dV 1 p( ρ) m = −∫ p( V) = −∫ p( V) d = ∫ dρ m ρ ρ ( 3.135) W 2 Zweckmäßig sollte Wm = f(p) ausgedrückt werde. Für das Schüttgut sei mit der Kompressionsrate nach Gl.( 3.120): ρb dρ b = n ⋅ ⋅ dp p p( ρb ) W m, b = ∫ dρ 2 b ρb p( ρb ) ρb dp = ∫ n ⋅ ⋅ dp = n ⋅ 2 ρ ∫ b p ρb ( 3.136) dp W m, b = n ⋅∫ ρ ( 3.137) b Mit der Gl.( 3.121) der Schüttgutdichte ist also: W m, b σM , st = n ⋅ ∫ 0 1 ρ b, 0 ⎛ σ ⋅ ⎜ ⎝ 0 + σ σ 0 M, st ⎞ ⎟ ⎠ −n dσ M, st ( 3.138) 47
wobei W m, b z σ + σ 0 M, st = und d M, st = σ0 ⋅ dz σ0 σM , st = n ⋅ ∫ 0 σ ρ 0 b, 0 ⋅ ( z) −n σ mit n ≠ 1: n σ dz = ⋅ 1− n ρ 1−n Schüttec_3 VO Partikelmechanik und Schüttguttechnik, Kontakt- und Kontinuumsmechanik b, 0 Prof. Dr. Jürgen Tomas, 16.04.2012 0 ⎛ σ ⋅ ⎜ ⎝ 0 + σ σ 0 M, st ⎞ ⎟ ⎠ 1−n σM , st 0 1−n n σ0 Wm, b = ⋅ 1− n ρb, 0 ⎛ σ0 + σM, st ⎞ ⋅ ⎜ ⎟ ⎝ σ0 ⎠ n σ0 − ⋅ 1− n ρb, 0 ⎛ σ ⎞ 0 ⋅ ⎜ ⎟ ⎝ σ0 ⎠ 1−n n σ ⎡⎛ σ + σ ⎞ ⎤ 0 0 M, st W ⋅ ⋅ ⎢ ⎜ ⎟ m , b = −1⎥ 1− n ρb, 0 ⎢⎣ ⎝ σ0 ⎠ ⎥⎦ ( 3.139) Vereinfacht lässt sich auch näherungsweise mit 1 – n ≈ 1 schreiben: 1 σ ⎡⎛ σM, st ⎞ ⎤ σ 0 M, st Wm, b ≈ n ⋅ ⋅ ⎢ ⎜ ⎜1+ ⎟ −1⎥ = n ⋅ ρb, 0 ⎢ 0 ⎥ ρb, 0 ⎣⎝ σ ⎠ ⎦ ( 3.140) • spezifische Kompressionsarbeit eines kohäsionslosen Schüttgutes dp W m, b = n ⋅∫ ρ ( 3.137) b Mit der Gl.( 3.133) der Schüttgutdichte ist also: σ −n 1 2 ⎛ σ ⎞ 1 Wm, b = n ⋅ ∫ ⋅ ⎜ ⎟ ρ 0 s ⎝ σ1/ 50 ⎠ dσ1 σ1 wobei z = σ und dσ 1 = σ1/ 50 ⋅ dz mit n ≠ 1: W W m, b m, b 1/50 σ1 σ = 2n ⋅ ∫ ρ 0 2 ⋅ n 1− n 1/ 50 s σ ρ ⋅ ( z) −n 2 ⋅ n σ dz = ⋅ 1− n ρ 1/ 50 1−n 1/ 50 s ⎛ σ ⋅ ⎜ ⎝ σ 1 1/ 50 ⎞ ⎟ ⎠ 1−n σ1 0 ( 3.141) 1/ 50 1 = ⋅ ⋅ ( 3.142) s ⎛ σ ⎜ ⎝ σ ⎞ ⎟ ⎠ Vereinfacht lässt sich auch näherungsweise mit 1 – n ≈ 1 schreiben: σ ⎛ 1/ 50 σ ⎞ 1 σ1 Wm, b ≈ 2 ⋅ n ⋅ ⋅ ⎜ ⎟ = 2 ⋅ n ⋅ ρs ⎝ σ1/ 50 ⎠ ρs ( 3.143) Beispiele für Fließparameter von Schüttgütern a) trockenes kohäsionsloses Gut ϕ i = ϕe = ϕst , siehe Bild F 3.77 b) allgemeiner Fall eines kohäsiven Gutes - Anzahl von genannten Kennwerten zur Beschreibung des Fließverhal- tens notwendig c) nasses plastisches Gut, im allgemeinen gilt: n τ = τo + ηP ⋅ γ� ( 3.144) ηP Plastizität du dy 48
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Seite 9 und 10: des Torsionsmomentes Mto,CH eines c
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Seite 13 und 14: → Mechanische Grundmodelle für e
Seite 15 und 16: * π α = α0 ± ( 3.28) 4 und somi
Seite 17 und 18: Es ist = −ν ⋅ε ε q mit ν -
Seite 19 und 20: enes Material durch die Einhüllend
Seite 21 und 22: ⇒ folgt notwendiger Weise aus der
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Seite 31 und 32: 2 ⋅ sin ϕ st σ c, st = ⋅ σ0
Seite 33 und 34: p⋅ V κad κad = const. Schüttec
Seite 35: σM , st 1 ⎛ σ ⎞ An 1 + = ⋅
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Seite 57 und 58: Struktur der Durchströmungskanäle
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