Partikel- und Schüttgutmechanik - Lehrstuhl Mechanische ...
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Für den Zusammenhang zwischen dem mittleren Druck σM,st <strong>und</strong> dem<br />
isostatischen Druck σiso gemäß der Gl. (3.131) ist die Kompressions-<br />
funktion:<br />
sin ϕ ⋅σ<br />
+ sin ϕ ⋅σ<br />
sin ϕ ⋅<br />
Schüttec_3 VO <strong>Partikel</strong>mechanik <strong>und</strong> Schüttguttechnik, Kontakt- <strong>und</strong> Kontinuumsmechanik<br />
Prof. Dr. Jürgen Tomas, 16.04.2012<br />
( σ + σ )<br />
i iso<br />
i 0<br />
i iso 0<br />
σ M,<br />
st + σ0<br />
=<br />
=<br />
(3.131)<br />
sin ϕst<br />
+ sin ϕi<br />
sin ϕst<br />
+ sin ϕi<br />
ρ<br />
ρ<br />
sin ϕi<br />
⋅(<br />
σiso<br />
+ σ0<br />
)<br />
( sin ϕ + sin ϕ ) ⋅σ<br />
b i 1<br />
b,<br />
0<br />
ρ<br />
ρ<br />
⎛<br />
=<br />
⎜<br />
⎝<br />
st<br />
b i 1<br />
b,<br />
0<br />
⎛ sin ϕ ⎞<br />
=<br />
⎜<br />
sin st sin ⎟<br />
⎝ ϕ + ϕi<br />
⎠<br />
i<br />
n<br />
0<br />
⎛<br />
⋅<br />
⎜<br />
⎝<br />
kohäsionsloses Schüttgut:<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
n<br />
⎛ sin ϕ ⎞<br />
=<br />
⎜<br />
sin st sin ⎟<br />
⎝ ϕ + ϕi<br />
⎠<br />
σ<br />
+<br />
σ<br />
iso<br />
0<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
n<br />
n<br />
⎛<br />
⋅<br />
⎜<br />
⎝<br />
σ<br />
+<br />
σ<br />
iso<br />
0<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
n<br />
( 3.132)<br />
Für ein kohäsionsloses Schüttgut σ0 = 0 liefert diese Herleitung nun<br />
auch die physikalische Plausibilität einer ursprünglich empirisch aufgestellten<br />
Gleichung Gl.( 3.133). Mit den Randbedingungen ρb = 0<br />
wenn σ1 = 0 <strong>und</strong> ρb = ρs/2 wenn σ1 = σ1/50 folgt:<br />
ρb<br />
σ1<br />
dρb<br />
dσ1<br />
ρb<br />
σ1<br />
∫ = n ⋅<br />
ρ ∫ d.h. ln = n ⋅ ln<br />
σ<br />
ρ / 2 σ<br />
ρs<br />
/ 2 b σ1<br />
/ 50 1<br />
s<br />
1/<br />
50<br />
n<br />
1 ⎛ ⎞<br />
1<br />
1 ⎜<br />
σ<br />
− ε = ⋅ ⎟<br />
2 ⎜ σ ⎟<br />
1,<br />
50<br />
( 3.133)<br />
⎝ ⎠<br />
− wird nahezu die kubische Packung erreicht:<br />
1 − ε = π = 0,<br />
5236<br />
6<br />
σ1 = σ1,50, wenn 1 ε = 0,<br />
5<br />
• spezifische Kompressionsarbeit eines kohäsiven Schüttgutes<br />
Die Arbeit beim Verdichten ist entlang des Stempelweges s oder bezüg-<br />
lich einer Volumenverminderung – dV: siehe Folie F 3.84<br />
W = F(<br />
s)<br />
ds = − p dV<br />
( 3.134)<br />
∫<br />
∫<br />
<strong>und</strong> massebezogen kann man schreiben mit ( ) 2<br />
d 1/<br />
ρ = −dρ<br />
/ ρ :<br />
dV<br />
1 p(<br />
ρ)<br />
m = −∫<br />
p(<br />
V)<br />
= −∫<br />
p(<br />
V)<br />
d = ∫ dρ<br />
m<br />
ρ ρ<br />
( 3.135)<br />
W 2<br />
Zweckmäßig sollte Wm = f(p) ausgedrückt werde. Für das Schüttgut sei<br />
mit der Kompressionsrate nach Gl.( 3.120):<br />
ρb<br />
dρ<br />
b = n ⋅ ⋅ dp<br />
p<br />
p(<br />
ρb<br />
)<br />
W m,<br />
b = ∫ dρ<br />
2 b<br />
ρb<br />
p(<br />
ρb<br />
) ρb<br />
dp<br />
= ∫ n ⋅ ⋅ dp = n ⋅<br />
2<br />
ρ ∫<br />
b p ρb<br />
( 3.136)<br />
dp<br />
W m,<br />
b = n ⋅∫<br />
ρ<br />
( 3.137)<br />
b<br />
Mit der Gl.( 3.121) der Schüttgutdichte ist also:<br />
W<br />
m,<br />
b<br />
σM<br />
, st<br />
= n ⋅ ∫<br />
0<br />
1<br />
ρ<br />
b,<br />
0<br />
⎛ σ<br />
⋅ ⎜<br />
⎝<br />
0<br />
+ σ<br />
σ<br />
0<br />
M,<br />
st<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
−n<br />
dσ<br />
M,<br />
st<br />
( 3.138)<br />
47
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