Partikel- und Schüttgutmechanik - Lehrstuhl Mechanische ...
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σM<br />
, st 1 ⎛ σ ⎞ An<br />
1 + =<br />
⋅<br />
⎜<br />
⎜1+<br />
⎟<br />
( 3.122)<br />
σ0<br />
1−<br />
sin ϕi<br />
⋅sin<br />
ϕst<br />
⎝ σ0<br />
⎠<br />
ρ<br />
ρ<br />
b 1<br />
b,<br />
0<br />
⎛ 1<br />
=<br />
⎜<br />
⎝1−<br />
sin ϕi<br />
⋅sin<br />
ϕ<br />
st<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
n<br />
⎛<br />
⋅<br />
⎜<br />
⎝<br />
σ<br />
+<br />
σ<br />
Schüttec_3 VO <strong>Partikel</strong>mechanik <strong>und</strong> Schüttguttechnik, Kontakt- <strong>und</strong> Kontinuumsmechanik<br />
An<br />
Prof. Dr. Jürgen Tomas, 16.04.2012<br />
0<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
n<br />
( 3.123)<br />
Diese Verdichtungs- oder Kompressionsfunktion, Gl.( 3.121), lässt<br />
sich auch durch Ersetzen von σM,st mittels der größten Hauptspan-<br />
nung σ1 berechnen:<br />
Die größte Hauptspannung σ1 ist am MOHR-Kreis des stationären<br />
Fließens:<br />
σ1<br />
− σ2<br />
σ1<br />
+ σ2<br />
σ 1 = + = σR<br />
, st<br />
2 2<br />
+ σM,<br />
st<br />
(3.124)<br />
Ersetzen der Radiusspannung σR,st mit Hilfe der Gl.(3.84) des statio-<br />
nären Fließortes<br />
σ R, st = sin ϕst<br />
⋅(<br />
σM<br />
, st + σ0<br />
)<br />
(3.84)<br />
<strong>und</strong> es folgt Umrechnung σ1 = f(σM,st):<br />
( σ + σ ) + st<br />
1 = sin ϕst<br />
⋅ M,<br />
st 0 σM,<br />
σ (3.125)<br />
1<br />
M,<br />
st<br />
( 1+ sin ϕst<br />
) + sin ϕst<br />
⋅σ<br />
0<br />
σ = σ ⋅<br />
(3.126)<br />
Addieren von σ0 auf beiden Seiten der Gleichung liefert:<br />
σ + σ = σ ⋅ 1+ sinϕ<br />
+ sinϕ<br />
⋅ σ + σ = σ ⋅ 1+<br />
sinϕ<br />
+ σ ⋅ 1+<br />
sinϕ<br />
1<br />
1<br />
0<br />
σ + σ<br />
0<br />
=<br />
M,<br />
st ( st ) st 0 0 M,<br />
st ( st ) 0 ( st )<br />
( 1 + sinϕ<br />
) ⋅ ( σ + σ )<br />
st<br />
σ + σ<br />
M,<br />
st<br />
0<br />
1 0<br />
σ M,<br />
st + σ0<br />
=<br />
( 3.127)<br />
1+ sin ϕst<br />
Einsetzen von Gl.( 3.127) in Gl.( 3.121) liefert die Verdichtungsfunk-<br />
tion als Funktion ρb = f(σ1), wie sie für die Trichterauslegung be-<br />
nutzt wird:<br />
ρ<br />
ρ<br />
b 1 0<br />
=<br />
=<br />
⋅ 1<br />
b,<br />
0<br />
ρ<br />
ρ<br />
b,<br />
0<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
( 1+<br />
sin ϕ )<br />
n<br />
σ + σ ⎞<br />
⎟<br />
st ⋅σ<br />
0 ⎠<br />
⎛ 1<br />
⎜<br />
⎝1+<br />
sin ϕ<br />
b =<br />
1<br />
st<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
n<br />
⎛<br />
⋅<br />
⎜<br />
⎝<br />
σ<br />
+<br />
σ<br />
⎛ 1<br />
⎜<br />
⎝1+<br />
sin ϕ<br />
1<br />
0<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
n<br />
st<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
n<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
σ<br />
+<br />
σ<br />
1<br />
0<br />
n<br />
⎟ ⎞<br />
⎠<br />
( 3.128)<br />
Dies kann man auch mit einer modifizierten Schüttgutdichte der lo-<br />
ckeren unverfestigten Packung ρb,0* ausdrücken:<br />
n<br />
* ⎛ 1 ⎞<br />
ρ b,<br />
0 = ρb,<br />
0 ⋅ ⎜<br />
1 sin ⎟<br />
(3.129)<br />
⎝ + ϕst<br />
⎠<br />
n<br />
*<br />
1<br />
b b,<br />
0 1 ⎟<br />
0<br />
⎟<br />
⎛ σ ⎞<br />
= ρ ⋅ ⎜ +<br />
σ<br />
ρ . ( 3.130)<br />
⎝ ⎠<br />
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