Partikel- und Schüttgutmechanik - Lehrstuhl Mechanische ...

2 ⋅ sin ϕ
st
σ c,
st = ⋅ σ0
( 3.109)
1−
sin ϕst
⇒ Übung zur Überprüfung dieser Beziehung:
Für ffc = 1 und σ 1 / ffc
= σ1=
σc,
st folgen σ c, st = a1⋅ σc,
st + σc,
0 sowie
σc,
0
σ c,
st = und Gl.( 3.107) eingesetzt
1− a1
( )
( ) ( )
( )
( ) ( ) ⎥ 2⋅
1+
sin ϕi
⋅ sin ϕst⋅
σ0
σc,
st =
⎡ 2⋅
sin ϕ − ϕ ⎤
st sin i
1+
sin ϕst
⋅ 1−sin
ϕi
⋅ ⎢1
−
⎣ 1+
sin ϕst
⋅ 1−sin
ϕi
⎦
2⋅
( 1+
sin ϕi
) ⋅ sin ϕst⋅
σ0
σc,
st =
⎡
( ) ( )
( 1+
sin ϕ ) ⋅ ( − ϕ ) − ⋅ ( ϕ − ϕ ) ⎤
st 1 sin i 2 sin st sin i
1+
sin ϕst
⋅ 1−
sin ϕi
⋅ ⎢
⎥
⎣ ( 1+
sin ϕst
) ⋅ ( 1−sin
ϕi
) ⎦
2⋅
( 1+
sin ϕi
) ⋅ sin ϕst⋅
σ0
σ c,
st =
1+
sin ϕ −2⋅
sin ϕ −sin
ϕ + 2⋅
sin ϕ −sin
ϕ ⋅ sin ϕ
st
st
st i st i
2⋅
( 1+
sin ϕi
) ⋅ sin ϕst⋅
σ0
σ c,
st =
= 1+
sin ϕi−sin
ϕst⋅
( 1+
sin ϕi
)
( 1+
sin ϕi
) ⋅ ( 1−sin
ϕst
)
= ( 1+
sin ϕ ) ⋅(
1−sin
ϕ )
2⋅
sin ϕ ⋅ σ
i
Schüttec_3 VO Partikelmechanik und Schüttguttechnik, Kontakt- und Kontinuumsmechanik
Prof. Dr. Jürgen Tomas, 16.04.2012
i
1−sin
ϕ + sin ϕ −sin
⋅sin
ϕ
st 0
σ c,
st =
q.e.d. ( 3.109)
1−sin
ϕst
• Für Zeitverfestigungen folgt aus dem linearisierten Zeitfließort, Gl.(
ct
3.95), ebenfalls eine in den Spannungen lineare Funktion σct(σ1):
2 ⋅ ( sin ϕst
− sin ϕit
)
( 1+
sin ϕ ) ⋅ ( 1−
sin ϕ )
st
it
1
i
2 ⋅ sin ϕst
⋅ ( 1+
sin ϕit
)
⋅ σ0
t
( 1+
sin ϕ ) ⋅ ( 1−
sin ϕ )
σ =
⋅ σ +
( 3.110)
Böschungswinkel
• Für kohäsionsloses Schüttgut gilt ϕ i ≈ϕe
≈ϕst
≈ϕB
als Böschungswinkel
⇒ ϕ ≠ϕ
≠ϕ
⇒ gewöhnlich abhängig von der Meßmethode
• B1
B2
B3
ϕB1
Aufschütten
eines Kegels
ϕB2
Auslaufen aus einem Behälter
mit horizontalen Boden
st
st
st
it
i
ϕB3
42
Rotation eines zylindri-
schen Behälters
Bild 3.19: Auftreten statischer oder dynamischer Böschungswinkel
• bei kohäsivem Schüttgut ist ϕB ≈ ϕe in grober Näherung bei einer gleiten-
den Böschung; ansonsten nur für kohäsionslose Schüttgüter reproduzier-
bar meßbar!