Partikel- und Schüttgutmechanik - Lehrstuhl Mechanische ...

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• Seine Abhängig von der Mittelpunktsspannung σM,st lässt sich durch Einsetzen der Gl.(3.84) des stationären Fließorte in Gl.( 3.97) zeigen: ( σ + σ ) sinϕ ⎛ ⎞ st ⋅ M, st 0 σ = ϕ ⋅ ⎜ 0 sin ϕ = ⎟ e sin st ⎜ 1 + σ ⎟ ( 3.98) M, st ⎝ σM, st ⎠ • Daraus gewinnt man mit Hilfe der Gl.( 3.127) Übung σ + σ 1 0 σ M, st + σ0 = ( 3.127) 1 + sinϕst ⎛ σ1 + σ0 ⎞ ⎛ σ1 + σ0 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 1+ sinϕst ⎟ ⎜ 1+ sinϕst sin ϕ = ϕ ⋅ ⎟ e = sinϕst ⋅ sin st ⎜ σ1 + σ0 ⎟ ⎜ σ1 + σ0 − σ0 − σ0 ⋅sinϕst ⎟ ⎜ − σ0 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 1+ sinϕst ⎠ ⎝ 1+ sinϕst ⎠ die Abhängigkeit des effektiven Reibungswinkels ϕe von der größten Hauptspannung σ1, siehe auch F 3.79: ⎛ σ ⎞ 1 + σ0 sin ϕ ⎜ ⎟ e = sin ϕst ⋅ ( 3.99) ⎝ σ1 − σ0 ⋅ sin ϕst ⎠ Herleitung der Gleichungen für a) einaxiale Druckfestigkeit σ = ( σ bzw. τ , ϕ ) = ? c f Z c i Z 1 = f ( σZ bzw. τc , ϕi ) b) einaxiale Zugfestigkeit σ = ? c) Tangentialpunkt σTa des σc-Kreises Zu a) einaxialer Spannungszustand, d.h. σ2 = 0 in Gl. ( 3.62) 2sinϕi 2 cosϕi σ c = σ1= ⋅ σZ = 1− sinϕ 1− sinϕ τc ( 3.100) i Zu b) Zugbereich, d.h. negative σ σ 1 = 0 und σ2 = σZ1 2sinϕ i 2 cosϕ i i σ Z1 = σ2 = − σZ = − σZ ( 3.101) 1+ sinϕi 1+ sinϕi Zu c) Tangentialpunkt σTa des σc-Kreises, siehe Bild 3.16: Dreieckswinkel: sin ϕ i σM − σTa = σ σ Ta = σ M − σ R ⋅sin ϕ i Für die einaxiale Druckfestigkeit ist σ2 = 0 damit σR = σM = σc/2: σc σc σc σ Ta = − ⋅ sin ϕi = ⋅ ( 1− sin ϕi ) 2 2 2 Nach Einsetzen von Gl.( 3.100) für σc folgt: 2 ⋅ τc ⋅ cos ϕi σ Ta = 2 ⋅ 1− sin ϕ ⋅ 1− sin ϕi = τc ⋅ cos ϕ ( 3.102) ( ) ( ) i i Die Strecke von τc (auf der τ-Achse) entlang des Fließortes um den Betrag τc verlängert ergibt den Tangentialpunkt σTa des σc-Kreises. Schüttec_3 VO Partikelmechanik und Schüttguttechnik, Kontakt- und Kontinuumsmechanik Prof. Dr. Jürgen Tomas, 16.04.2012 R 39
Von hier das Lot auf den Fließort gezogen ergibt den Mohr- Kreismittelpunkt σM auf der σ-Achse. Bild 3.16: Spannungen und Fließkennwerte am linearen Fließort (kinematischer) Wandfließort (wall yield locus) • charakterisiert das stationäre Reibungsverhalten eines Schüttgutelementes an einer festen Wand • oft als Gerade approximiert mit den Kennwerten: ∗ ϕw (kinematischer) Wandreibungswinkel ∗ τa Adhäsion, falls vorhanden ∗ σZ,W Zugfestigkeit, falls vorhanden • ansonsten ϕ W = arctan τW / σW ( 3.103) • abhängig von der Wandrauhigkeit, siehe auch F 3.79. Zusammenhänge zwischen den Reibungswinkeln in Partikelpackungen ⇒ aus den Haftkraftbetrachtungen, siehe Abschnitt 3.1, folgen auch mathematisch-physikalische Zusammenhänge zwischen den Reibungswinkeln von Schüttgütern; Beispielsweise gelten folgende Abhängigkeiten der Reibungswinkel untereinander, siehe Bild F 3.79: • stationärer Reibungswinkel, allgemein gültige Definitionsgleichung ( 1+ κ) ⋅ tan ϕ = const. ϕ = ( 3.104) tan st i • • κ = 0 ... 2 = f (HAMAKER-Konstante, Kontaktabstände, Partikelgröße 1/d, Feuchte XW, ...), siehe auch Gl.( 3.3) innerer Reibungswinkel einer Zeitverfestigung ϕit für viskoplastisch fließende Materialien (Sinterbrücken), s. Zeitfließort Gl.( 3.16) • effektiver innerer Reibungswinkel ϕe, siehe Gl.( 3.99) oben Bild 3.17 einaxiale stationärer Fließort Druckfestigkeit beim τ kohäsiven ren Fließen stationä- ϕst σ σ 0 ϕi Schüttec_3 VO Partikelmechanik und Schüttguttechnik, Kontakt- und Kontinuumsmechanik Prof. Dr. Jürgen Tomas, 16.04.2012 τ σZ σ2= 0 σ1 σZ,1 τc σTa σR σM σ c, st Fließort σ 2 ⋅ sin ϕst ⋅ σ = 1− sin ϕ st 40 0
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