Partikel- und Schüttgutmechanik - Lehrstuhl Mechanische ...

* 1 2 2
1 2
WF = ( σx
+ σy
−2σ
xσ
y ) + τxy
( 3.49)
2E
2G
→ Die Formänderung bei einem isostatischen Druck- oder Spannungszu-
stand führt zu keinem Bruch! D.h. für eine mittlere Spannung
1
σ m = ( σx
+ σy
+ σz
)
3
( 3.50)
→ und einer gesamten Volumenänderung
dV
e= = ε x + ε y+
ε z
V
( 3.51)
0
→ entsteht eine Volumenänderungsarbeit
* 1 1−2ν
2
Wv = σm⋅
e = ( σx
+ σy
+ σz
)
2 6E
( 3.52)
W
die „wirksame“ Gestaltänderungsarbeit ist folglich
*
G
2
* * 1 ⎡
= W
⎛ ⎞
F −WV
= ⎢⎜σ
− σ ⎟ +
12G
⎣⎝
x y ⎠
→ für den einachsigen Druck ist
W
*
G(
1)
2
+
( σ − σ )
2 2 2 2 ⎤
( σy
−σz
) + 6 ⋅ ( τxy
+ τxz
+ τyz
) ⎥⎦
Schüttec_3 VO Partikelmechanik und Schüttguttechnik, Kontakt- und Kontinuumsmechanik
Prof. Dr. Jürgen Tomas, 16.04.2012
x
z
2
( 3.53)
2σV
= ( 3.54)
12G
→ und bei gleicher Gestaltänderungsarbeit WG(1) * = WG* des allgemeinen
σ
V
dreiachsigen Spannungszustandes folgt für die Vergleichsspannung
=
1 ⎡
⋅
2
⎢
⎣
2
2
2 2 2 2 ⎤
( σx
−σ
y ) + ( σx
−σz
) + ( σy
−σz
) + 6 ⋅ ( τxy+
τxz
+ τyz
) ⎥⎦
(4) Hypothese von Huber-Mises-Hencky
( 3.55)
• Bruch tritt nach Erreichen der gleichen maximalen Gestaltänderungs-
arbeit ein wie bei einem einachsigen Spannungszustand, siehe entspre-
chend Hypothese (3)
• Nutzung im Maschinen- und Anlagenbau!
• Vergleichsnormalspannung σ V ≤ σzul. d.h.
2 2 2 2 ⎤
( σ −σ
) + σ + σ + 6τxy
≤σ
zul
1 ⎡
σ V = σ1=
⋅ x y x y
2
⎢
⎥
( 3.56)
⎣
⎦
Für eine große Anzahl von Stoffen reicht diese kontinuumsmechanische
Bruchhypothese nicht mehr aus, da das Versagen des Werkstoffes schon
durch geringere Schubspannungen τzul < σzul verursacht wird. Der Zu-
sammenhang einer Schubspannung als Funktion der Normalspannung τ =
f(σ) (hier werden Druckspannungen positiv dargestellt) wird für ein gege-
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