Partikel- und Schüttgutmechanik - Lehrstuhl Mechanische ...

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⇒ Berücksichtigung des Vorzeichens (-) in der Gl.( 3.35) durch Auftragen im Uhrzeigersinn σ1 + σ2 σ1 − σ2 σx = + ⋅ cos 2α 2 2 ( 3.33) σ1 + σ2 σ1 − σ2 σy = − ⋅ cos 2α 2 2 ( 3.34) σ1 − σ2 τxy = − ⋅ sin 2α 2 ( 3.35) oder auch mit den Mittelpunkts- und Radiusspannungen: σx = σM + σR ⋅ cos 2α ( 3.36) σy = σM − σR ⋅ cos 2α ( 3.37) τxy = −σR ⋅ sin 2α ( 3.38) → Richtungsabhängige (anisotrope) aktive und passive Rankinesche Grenzspannungszustände, siehe F 3.72 3.2.2 Kontinuumsmechanische Fließkriterien (Bruchhypothesen) • Formulierung sog. Bruchhypothesen für mehrachsige Spannungszustände, d.h. Fließkriterien, die dann das Materialverhalten charakterisieren sollen (Rückführung auf einachsige Beanspruchungsstände) • Übersicht über die Entwicklung der Fließkriterien und Bruchhypothesen, siehe Folie F 3.73 • Vergleichsspannungshypothesen bei mehrachsigen Spannungszuständen • in Bauteilen meist mehrachsige Spannungszustände (1) Hauptspannungshypothese • maximale Hauptnormalspannung für den Bruch verantwortlich σ V = σ1 wenn σ 1 > σ2 > σ3 • für duktiles (dehnbares, zähes) Material σv zu klein, d.h. unsicher, angenommen (2) Hauptdehnungshypothese • Bruch tritt bei der größten Dehnung ε = ∆l/l0 / F = σ ein, N o A l − l0 ε y = ε = > 0 ( 3.39) l 0 Verdichtung ist positiv (+) vereinbart und d0 d Dehnung ist negativ (-) vereinbart d0 − d ∆d Querdehnung: ε x = εq = = < 0 d d Bild 3.11: Deformationen eines zylindrischen Volumenelementes ( 3.40) 0 Schüttec_3 VO Partikelmechanik und Schüttguttechnik, Kontakt- und Kontinuumsmechanik Prof. Dr. Jürgen Tomas, 16.04.2012 0 y ∆l x σ 27 l 0
Es ist = −ν ⋅ε ε q mit ν - Querdehnungszahl (bzw. Querkontraktions- zahl = 0,3 für Metalle), siehe Hookesche Gesetz: 1 ε = ⋅ σ bzw. σ = E ⋅ ε E ( 3.41) E = Elastizitätsmodul (Steifigkeit oder Deformationswiderstand) E = 210 kN/mm² (GPa) für Stahl und E = 70 kN/mm² für Aluminium Verschiebung für γ
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