Partikel- und Schüttgutmechanik - Lehrstuhl Mechanische ...
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⇒ Berücksichtigung des Vorzeichens (-) in der Gl.( 3.35) durch Auftragen<br />
im Uhrzeigersinn<br />
σ1<br />
+ σ2<br />
σ1<br />
− σ2<br />
σx = + ⋅ cos 2α<br />
2 2<br />
( 3.33)<br />
σ1<br />
+ σ2<br />
σ1<br />
− σ2<br />
σy = − ⋅ cos 2α<br />
2 2<br />
( 3.34)<br />
σ1<br />
− σ2<br />
τxy = − ⋅ sin 2α<br />
2<br />
( 3.35)<br />
oder auch mit den Mittelpunkts- <strong>und</strong> Radiusspannungen:<br />
σx = σM<br />
+ σR<br />
⋅ cos 2α<br />
( 3.36)<br />
σy = σM<br />
− σR<br />
⋅ cos 2α<br />
( 3.37)<br />
τxy = −σR<br />
⋅ sin 2α<br />
( 3.38)<br />
→ Richtungsabhängige (anisotrope) aktive <strong>und</strong> passive Rankinesche<br />
Grenzspannungszustände, siehe F 3.72<br />
3.2.2 Kontinuumsmechanische Fließkriterien (Bruchhypothesen)<br />
• Formulierung sog. Bruchhypothesen für mehrachsige Spannungszustände,<br />
d.h. Fließkriterien, die dann das Materialverhalten charakterisieren<br />
sollen (Rückführung auf einachsige Beanspruchungsstände)<br />
• Übersicht über die Entwicklung der Fließkriterien <strong>und</strong> Bruchhypothesen,<br />
siehe Folie F 3.73<br />
• Vergleichsspannungshypothesen bei mehrachsigen Spannungszuständen<br />
• in Bauteilen meist mehrachsige Spannungszustände<br />
(1) Hauptspannungshypothese<br />
• maximale Hauptnormalspannung für den Bruch verantwortlich<br />
σ V = σ1<br />
wenn σ 1 > σ2<br />
> σ3<br />
• für duktiles (dehnbares, zähes) Material σv zu klein, d.h. unsicher, angenommen<br />
(2) Hauptdehnungshypothese<br />
• Bruch tritt bei der größten Dehnung ε = ∆l/l0<br />
/ F = σ<br />
ein, N o A<br />
l − l0<br />
ε y = ε = > 0 ( 3.39)<br />
l<br />
0<br />
Verdichtung ist positiv (+) vereinbart <strong>und</strong><br />
d0 d<br />
Dehnung ist negativ (-) vereinbart<br />
d0<br />
− d ∆d<br />
Querdehnung: ε x = εq<br />
= = < 0<br />
d d<br />
Bild 3.11: Deformationen eines<br />
zylindrischen Volumenelementes<br />
( 3.40)<br />
0<br />
Schüttec_3 VO <strong>Partikel</strong>mechanik <strong>und</strong> Schüttguttechnik, Kontakt- <strong>und</strong> Kontinuumsmechanik<br />
Prof. Dr. Jürgen Tomas, 16.04.2012<br />
0<br />
y<br />
∆l<br />
x<br />
σ<br />
27<br />
l 0
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