Partikel- und Schüttgutmechanik - Lehrstuhl Mechanische ...
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∑ τ α<br />
Kräftegleichgewicht in τα-Richtung: F = 0<br />
0 = τ<br />
0=<br />
τ<br />
α<br />
α<br />
⋅ ds ⋅ dz + σ<br />
dxdz cos α −τ<br />
⋅ ds + σ dssin<br />
α cos α − σ dssin<br />
α cos α − τ<br />
x<br />
dydzsin<br />
α − σ<br />
x<br />
2<br />
2<br />
− cos α + sin α = − cos 2α<br />
σ σ<br />
x<br />
y<br />
τα = − sin 2α<br />
+ sin 2α<br />
+ τxy<br />
cos 2α<br />
2 2<br />
σx<br />
− σy<br />
τα = − sin 2α<br />
+ τxy<br />
cos 2α<br />
2<br />
Hauptspannungen:<br />
y<br />
y<br />
Schüttec_3 VO <strong>Partikel</strong>mechanik <strong>und</strong> Schüttguttechnik, Kontakt- <strong>und</strong> Kontinuumsmechanik<br />
xy<br />
Prof. Dr. Jürgen Tomas, 16.04.2012<br />
cos αdydz<br />
+ τ<br />
xy<br />
cos<br />
2<br />
yx<br />
αds<br />
+ τ<br />
xy<br />
sin αdxdz<br />
sin<br />
2<br />
αds<br />
25<br />
( 3.25)<br />
• gesucht der Winkel, bei dem σ α maximal bzw. minimal wird, d.h. aus<br />
Gl. ( 3.24)<br />
dσ<br />
σ<br />
= 0 = −2<br />
dα<br />
− σ<br />
α x y<br />
sin 2α<br />
+ 2τxy<br />
cos 2α<br />
= 2τα<br />
2<br />
( 3.24)<br />
gemäß Gl. ( 3.25) verschwindet somit die Schubspannung τ α = 0<br />
Der Winkel αo ist dann:<br />
2τxy<br />
tan 2α<br />
o =<br />
σ −σ<br />
π<br />
= tan 2(<br />
αo<br />
+ )<br />
2<br />
( 3.26)<br />
x<br />
y<br />
wegen der Periodizität der Tangensfunktion in π<br />
• Es gibt 2 Flächen, die aufeinander senkrecht stehen, bei denen τα = 0<br />
verschwindet. Die Normalspannungen auf diese Flächen werden größ-<br />
te <strong>und</strong> kleinste Hauptspannung genannt. D.h.<br />
σx<br />
+ σy<br />
σx<br />
σ1<br />
= +<br />
2<br />
− σy<br />
cos 2αo<br />
+ τxy<br />
sin 2αo<br />
2<br />
σ2<br />
σx<br />
=<br />
+ σy<br />
σx<br />
−<br />
2<br />
− σy<br />
cos 2αo<br />
− τxy<br />
sin 2αo<br />
2<br />
⎛ σx<br />
⎜<br />
⎜σ<br />
α −<br />
⎝<br />
2<br />
+ σy<br />
⎞ ⎛ σx<br />
− σy<br />
⎞<br />
= cos 2 xy sin 2<br />
2 ⎟<br />
⎜<br />
α + τ α<br />
2<br />
⎟<br />
⎠ ⎝<br />
⎠<br />
⎛ σ<br />
⎜<br />
⎝<br />
x<br />
− σ<br />
2<br />
⎛ σ<br />
+ ⎜<br />
⎜−<br />
⎝<br />
x<br />
y<br />
τ<br />
2<br />
α<br />
− σ<br />
2<br />
⎛ σ<br />
= ⎜<br />
⎜−<br />
⎝<br />
⎞<br />
cos 2α<br />
⎟<br />
⎠<br />
y<br />
2<br />
x<br />
⎞<br />
sin 2α<br />
⎟<br />
⎠<br />
2<br />
2<br />
wobei 1 = sin α + cos α gilt.<br />
⎛ σx<br />
+ σy<br />
⎞ 2<br />
⎜σ<br />
α − ⎟ + τα<br />
=<br />
⎝ 2 ⎠<br />
2<br />
− σ<br />
2<br />
y<br />
⎛ σx<br />
− σ<br />
+ 2 ⎜<br />
⎝ 2<br />
2<br />
⎛ σx<br />
− σ<br />
⎜<br />
⎝ 2<br />
sin 2α<br />
+ τ<br />
y<br />
⎛ σx<br />
− σ<br />
− 2 ⎜<br />
⎝ 2<br />
y<br />
2<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
+ τ<br />
2<br />
xy<br />
xy<br />
2<br />
⎞<br />
cos 2α<br />
⎟<br />
⎠<br />
⎞<br />
⎟ cos 2α<br />
⋅ τ<br />
⎠<br />
y<br />
cos<br />
xy<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎟sin<br />
2ατ<br />
⎠<br />
2<br />
2α<br />
2<br />
sin 2α<br />
+ τ<br />
xy<br />
2<br />
xy<br />
cos 2α<br />
+ τ<br />
sin<br />
2<br />
xy<br />
2<br />
cos<br />
2α<br />
2<br />
2α<br />
( 3.27)<br />
Dies ist nun die allgemeine Gleichung des Mohrkreises. Für das Ver-<br />
schwinden der Schubspannung τxy = 0 gilt ebenfalls
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