Partikel- und Schüttgutmechanik - Lehrstuhl Mechanische ...

σx
dy
dz
δσ
x
σ σ
x x x δx
dx
+ = + ∆σ
Bild 3.5: Horizontalspannungen am Volumenelement
→ Kräftegleichgewicht ∑ F →= 0
∂σx
0=
σx⋅dy⋅dz−σx⋅dy⋅dz−
dxdydz
∂x
und komplett, siehe F 3.68
∂τyx
0=
σx⋅dy⋅dz+
τyx⋅dx⋅dz−(
τyx+
dy
∂y
) dxdz
−σ
Schüttec_3 VO Partikelmechanik und Schüttguttechnik, Kontakt- und Kontinuumsmechanik
Prof. Dr. Jürgen Tomas, 16.04.2012
x
∂σ
dydz−
∂x
x
dxdydz
∂τyx
∂σx
0 = +
( 3.21)
∂y
∂x
∂τxy
∑ F↓=
0=
σy
⋅dxdz+
τxy⋅dydz−(
τxy+
dx)
dydz
∂x
∂σy
− ( σy+
dy)
dxdz+
ρb⋅g⋅dy⋅dz⋅dx
∂y
∂σy
∂τxy
ρ b⋅g
= +
( 3.22)
∂y
∂x
→ 2 Gleichungen aber 3 Unbekannte, d.h. gesucht wird eine weitere Gl.,
d.h. Fließkriterium bzw. "Stoffgesetz", siehe Gl.( 3.61)
� zusätzlich: rotationssymmetrischer Spannungszustand, Draufsicht:
ψ
y
σψ
+ ∆σ
σx
dψ
xdψ
x
dx
σ
x x
dψ σψ
x
x
σψ dψ
Bild 3.6: Kreissegment eines axialsymmetrischen Schüttgutelements
σ ⋅xdψ⋅dy+
σ dxdψdy−(
σ
x
ψ
x
+ ∆σ
x
)( x+
dx)
dψdy=
0
∂σx
∂σx
≈ 0 sehr klein
σx
⋅x+
σψ
dx−σ
x x−σ
xdx−
dx⋅x−
dx⋅
dx=
0
∂x
∂x
σx
−σψ
∂σx
0 = +
x ∂x
23
( 3.23)
Berücksichtigung in der allg. Gleichung siehe F 3.68 mittels Faktor m = 1
σx
−σψ
für den Term: m ⋅ , siehe Trichterdimensionierung Schüttec_4.doc -
x
Trichterformfaktor_m im Abschnitt 4.
Bogenlänge:
π ⋅ d = 360°
π ⋅ r = 180°
dψ ⋅ r = dψ
⋅ x
∑
F →= 0