Partikel- und Schüttgutmechanik - Lehrstuhl Mechanische ...

3.2 Kontinuumsmechanische Grundlagen des Fließverhaltens vorver-
dichteter Partikelpackungen
3.2.1 Zweiachsiger Spannungszustand
• „Vorverdichtet“ bedeutet hier allg.: die mechanische Eigenschaften der
Partikelpackungen hängen unmittelbar von der Beanspruchungsvorgeschichte,
d.h. von Betrag und Richtung der eingeprägten Kräfte und der
Beanspruchungsgeschwindigkeiten ab
• Kräftegleichgewicht an einem Schüttgut-Volumenelement, s. F 3.68
• Vorzeichendefinition
• Druckspannungen positiv, Zugspannungen negativ,
• Verdichtung positiv, Ausdehnung = negative Volumenänderung,
• positives Auftragen von Winkeln im mathematisch positiven
Drehsinn, d.h. entgegen dem Uhrzeigersinn,
• Eine Schubspannung τ xy bedeutet:
- 1. Index: x - Richtung der Flächennormalen,
- 2. Index: y - Kraftrichtung,
- treten paarweise auf, betragsmäßig gleich: xy = τyx
Schüttec_3 VO Partikelmechanik und Schüttguttechnik, Kontakt- und Kontinuumsmechanik
Prof. Dr. Jürgen Tomas, 16.04.2012
τ , xy yx
22
τ = −τ
,
- und sind → momentenfrei!
• positive Richtung einer Schubspannung,
- wenn diese mit der Richtung der im mathematisch positiven Sinne
um 90° gedrehten, im Volumenelement nach innen zeigenden
Normalen der Schnittfläche übereinstimmt, oder
- wenn beide Richtungen, sowohl die Flächennormalenrichtung als
auch die Spannungsrichtung positiv sind,
- wenn beide Richtungen, sowohl die Flächennormalenrichtung als
auch die Spannungsrichtung negativ sind,
• Im allgemeinen dreiachsiger Spannungszustand eines Volumenelements:
dV = dx ⋅ dy ⋅ dz
( 3.19)
y
z
x
dx
dz
dy
Bild 3.4: Abmessungen eines inkrementellen
Volumenelements
• aber nur zweiachsiger, d.h. ebener Spannungszustand betrachtet:
• lineares Fortschreiten der Spannungen nach einer Taylor-Reihe,
•
2
df
( ) ( )
( x)
1 d f ( x)
2
f x + ∆x,
y = f x + ⋅ ∆x
+ ⋅ ∆x
+ ...
2
dx 2!
dx
( 3.20)
• z.B. in x-Richtung mit Abbruch nach der ersten Ableitung: