Lehrstuhl für Mathematik und ihre Didaktik Walter Olbricht, Doris ...
Lehrstuhl für Mathematik und ihre Didaktik Walter Olbricht, Doris ... Lehrstuhl für Mathematik und ihre Didaktik Walter Olbricht, Doris ...
26 Hintergrund: χ²-Abstand Eine Multinomialverteilung ergibt sich, falls eine Anzahl n von Werten unabhängig voneinander in m Schubladen einsortiert werden, wobei die Wahrscheinlichkeit für die i-te Schublade gerade pi beträgt. Falls diese Wahrscheinlichkeiten bekannt sind, kann man die beobachteten (observed, „O“) und die erwartenen (expected, „E“) Anzahlen einander gegenüberstellen. Beispielsweise könnten sich für 60 Würfe mit einem Würfel folgende Resultate ergeben: Augenzahl 1 2 3 4 5 6 Erwartet (E) 10 10 10 10 10 10 Beobachtet (O) 9 8 16 17 6 4 Mit dem χ²-Abstand kann man dann den Abstand der beobachteten Verteilung von der erwarteten Verteilung messen. Hierzu berechnet man: 6 2 ( Oi − Ei ) ∑ = 14. 2 . i= 1 Ei Der χ²-Abstand ist also eine gewichtete quadratische Abstandssumme. Für unsere Situation bietet es sich an, für jedes Item die beiden χ²-Abstände zu zwei „extremen“ Multinomialverteilungen zu berechnen: Einerseits zum Optimum (das ist diejenige Verteilung, bei der 361 Schüler die beste Antwort „stimmt vollständig“ und nur jeweils eine Person die restlichen vier Antwortmöglichkeiten – einschließlich „keine Angabe“ ankreuzte) und andererseits zum Antioptimum (das ist diejenige Verteilung, bei der 361 Schüler die schlechteste Antwort „stimmt gar nicht“ und nur jeweils eine Person die restlichen vier Antwortmöglichkeiten – einschließlich „keine Angabe“ ankreuzte. Dies liefert ein Koordinatenpaar, so dass man die einzelnen Items geometrisch in der Ebene darstellen kann. Items mit ähnlichem Antwortmuster werden in diesem Diagramm „nahe“ beieinander liegen. Im folgenden Diagramm sind die Items mit ihrer Nummer und die Skalen durch Farben codiert. Man kann auf diese Weise – natürlich unter Beachtung des eingeschränkten, weil verdichteten Informationsgehalts – viererlei gewinnen: • einen Eindruck von der Kohärenz der einzelnen Skalen • einen Eindruck von Verhältnis der Skalen zueinander • Vermutungen über die Zuordnung einzelner bislang nicht eindeutig zugeordneter Skalen oder Vorschläge für eine passendere Zuordnung abweichender Items • Hinweise darauf, welche Items bzw. Skalen besonders nahe am Optimum bzw. Antioptimum liegen und daher welche Dinge besonders gut bzw. schlecht bewertet wurden.
Chiquadratabstand zum Antioptimum 100000 80000 60000 40000 20000 31 7 22 19 0 10000 20000 30000 40000 Chiquadratabstand zum Optimum Abbildung 9 χ²-Abstände zum Optimum und Antioptimum 37 30 17 14 Die einer Skala angehörenden Items sind jeweils mit derselben Farbe gekennzeichnet: Skala 1: Vorerfahrungen mit Computern (Items 1, 7, 22, 26 und 31) Skala 2: Vorerfahrungen mit Lernsoftware (Items 11, 21, 24, 27 und 30) Skala 3: Beurteilung von Computernutzung (Items 17, 19 und 37) Skala 4: Aufbau der dynamischen Arbeitsblätter (Items 2, 3, 4, 6, 33 und 38) Skala 5: Beurteilung des Themas (Items 15, 18, 20, 23 und 25) Skala 6: Zeitrahmen (Items 9 und 16) Skala 7: Beurteilung selbständigen Arbeitens (Items 5, 10, 14 und 28) Skala 8: Weiterer Einsatz von Lernsoftware (Items 29, 32, 34 und 36) Skala 9: Generelle Einstellung zum Themengebiet (Items 8, 12, 13 und 35) 9 32 21 Man erkennt unmittelbar folgende Punkte: 1. Die Skalen sind weitgehend kohärend, was aber nicht ausschließt, dass einzelne Items oder einige Gruppen abweichende Lagen einnehmen. Beispielsweise erscheinen Skala 1 und Skala 6 nahezu zweigeteilt. 2. An dem Diagramm kann man recht gut erkennen, dass die Items der Skala 1 und 3 (1, 7, 17, 19, 22, 26, 31 und 37) zum Großteil recht nahe beieinander liegen und sich überlappen. Weitere Überschneidungen sieht man etwa zwischen Skala 5 und Skala 9 sowie zwischen Skala 4 und Skala 5 oder Skala 2 und Skala 8. 3. Für die oben mit weniger als vier „richtigen“ Zuordnungen genannten Items erhält man folgendes Bild: Item 7 bleibt umstritten zwischen Skala 1 und Skala 3. Item 27 wäre tendenziell wie vorgesehen der Skala 2 zuzuordnen. Item 32 und 34 bleiben zwischen Skala 2 und Skala 8 umstritten. Item 33 bleibt unklar, aber vielleicht tendenziell in Skala 4. 1 26 23 38 36 29 285 34 10 12 33 24 27 3 8 6 4 20 2 18 35 13 11 15 25 16 27
- Seite 1 und 2: Lehrstuhl für Mathematik und ihre
- Seite 3 und 4: Inhalt 0. Vorbemerkung.............
- Seite 5 und 6: 0. Vorbemerkung Konzeption des Proj
- Seite 7 und 8: 80 70 60 50 40 30 20 10 0 Mathemati
- Seite 9 und 10: 2. Datenbasis In diesem Kapitel sol
- Seite 11 und 12: Abbildung 2 Überblick über Schuls
- Seite 13 und 14: schon möglich, deshalb gibt es unt
- Seite 15 und 16: Gesamtsd 1.6 1.4 1.2 1.0 0.8 0.6 0.
- Seite 17 und 18: sehr häufig, das Pendant „stimmt
- Seite 19 und 20: Anzahl auffälliger Skalen Row Klas
- Seite 21 und 22: 3. Untersuchung der Items In diesem
- Seite 23 und 24: dynamischen Arbeitsblättern zu arb
- Seite 25 und 26: Skala 1 Skala 2 Skala 3 Skala 4 Ska
- Seite 27: 3.2. Substrukturen (Datenbasierte S
- Seite 31 und 32: ganz aus der Berechnung der Kovaria
- Seite 33 und 34: 3.4. Auswirkungen der Kovariablen i
- Seite 35 und 36: che im Umgang mit dem Computer durc
- Seite 37 und 38: diesen beiden Items verglichen mit
- Seite 39 und 40: 1. GEONExT wird im Allgemeinen rech
- Seite 41 und 42: Hintergrund: Boxplot und vergleiche
- Seite 43 und 44: Gesamtmittel 3.0 2.5 2.0 1.5 1.0 21
- Seite 45 und 46: Zensur Vorauszuschicken ist, dass d
- Seite 47 und 48: Bereinigtes Gesamtmittel Anfänger
- Seite 49 und 50: 4.3. Fazit Es lassen sich deutliche
- Seite 51 und 52: 1.7 Abbildung 24 Regressionsbaum mi
- Seite 53 und 54: deviance 30 35 40 45 50 Devianzabna
- Seite 55 und 56: Die voreingestellten Parameter wurd
- Seite 57 und 58: 2.4 1.9 1.4 0.9 0.4 -0.1 0 1 2 3 4
- Seite 59 und 60: 3 2 1 0 0 10 20 30 40 Items Klassen
- Seite 61 und 62: Hier zeigt sich in keiner Skala ein
- Seite 63 und 64: 6. Schlussfolgerungen In diesem Kap
- Seite 65 und 66: 6.3. Antworten auf die Ausgangsfrag
- Seite 67 und 68: 7. Abbildungsverzeichnis Abbildung
- Seite 69 und 70: 9. Literatur Baptist, Peter (Hrsg.)
- Seite 71: Den Themenschwerpunkt der Bayreuthe
Chiquadratabstand zum Antioptimum<br />
100000<br />
80000<br />
60000<br />
40000<br />
20000<br />
31<br />
7<br />
22<br />
19<br />
0 10000 20000 30000 40000<br />
Chiquadratabstand zum Optimum<br />
Abbildung 9 χ²-Abstände zum Optimum <strong>und</strong> Antioptimum<br />
37<br />
30<br />
17<br />
14<br />
Die einer Skala angehörenden Items sind jeweils mit derselben Farbe gekennzeichnet:<br />
Skala 1: Vorerfahrungen mit Computern (Items 1, 7, 22, 26 <strong>und</strong> 31)<br />
Skala 2: Vorerfahrungen mit Lernsoftware (Items 11, 21, 24, 27 <strong>und</strong> 30)<br />
Skala 3: Beurteilung von Computernutzung (Items 17, 19 <strong>und</strong> 37)<br />
Skala 4: Aufbau der dynamischen Arbeitsblätter (Items 2, 3, 4, 6, 33 <strong>und</strong> 38)<br />
Skala 5: Beurteilung des Themas (Items 15, 18, 20, 23 <strong>und</strong> 25)<br />
Skala 6: Zeitrahmen (Items 9 <strong>und</strong> 16)<br />
Skala 7: Beurteilung selbständigen Arbeitens (Items 5, 10, 14 <strong>und</strong> 28)<br />
Skala 8: Weiterer Einsatz von Lernsoftware (Items 29, 32, 34 <strong>und</strong> 36)<br />
Skala 9: Generelle Einstellung zum Themengebiet (Items 8, 12, 13 <strong>und</strong> 35)<br />
9<br />
32 21<br />
Man erkennt unmittelbar folgende Punkte:<br />
1. Die Skalen sind weitgehend kohärend, was aber nicht ausschließt, dass einzelne Items oder einige<br />
Gruppen abweichende Lagen einnehmen. Beispielsweise erscheinen Skala 1 <strong>und</strong> Skala 6 nahezu<br />
zweigeteilt.<br />
2. An dem Diagramm kann man recht gut erkennen, dass die Items der Skala 1 <strong>und</strong> 3 (1, 7, 17, 19,<br />
22, 26, 31 <strong>und</strong> 37) zum Großteil recht nahe beieinander liegen <strong>und</strong> sich überlappen. Weitere Überschneidungen<br />
sieht man etwa zwischen Skala 5 <strong>und</strong> Skala 9 sowie zwischen Skala 4 <strong>und</strong> Skala 5<br />
oder Skala 2 <strong>und</strong> Skala 8.<br />
3. Für die oben mit weniger als vier „richtigen“ Zuordnungen genannten Items erhält man folgendes<br />
Bild:<br />
Item 7 bleibt umstritten zwischen Skala 1 <strong>und</strong> Skala 3.<br />
Item 27 wäre tendenziell wie vorgesehen der Skala 2 zuzuordnen.<br />
Item 32 <strong>und</strong> 34 bleiben zwischen Skala 2 <strong>und</strong> Skala 8 umstritten.<br />
Item 33 bleibt unklar, aber vielleicht tendenziell in Skala 4.<br />
1<br />
26<br />
23<br />
38<br />
36 29<br />
285<br />
34<br />
10<br />
12<br />
33<br />
24<br />
27<br />
3<br />
8<br />
6<br />
4<br />
20 2<br />
18<br />
35<br />
13<br />
11<br />
15<br />
25<br />
16<br />
27
Change language