Elektromigration in Gold und Silber Nanostrukturen
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5.1 <strong>Elektromigration</strong> <strong>in</strong> polykristall<strong>in</strong>en <strong>Gold</strong>leiterbahnen 71<br />
auf den Widerstand des betrachteten Teilstücks - e<strong>in</strong>en Wert für die lokale Tempera-<br />
turerhöhung von ∆Tlok(12 h) ≃ 350 K (entsprechend e<strong>in</strong>er Änderung von 0, 77 Ω) für<br />
t = 12 St<strong>und</strong>en.<br />
Aus den morphologischen Daten <strong>in</strong> Abb. 5.5 erhält man wie erwähnt e<strong>in</strong>en Wider-<br />
standsbeitrag von δRm(12 h) = 0, 63 Ω. Die lokalen Stromdichte an dieser Position<br />
besitzt e<strong>in</strong>en Wert von j (12 h) = 4, 4 × 10 8 A/cm 2 . In Verb<strong>in</strong>dung mit Gl. 10 (sie-<br />
he Kap. 4.1.3, Abb. 4.3) 15 würde man e<strong>in</strong> Verhältnis von δRth(12 h)/Rm(12 h) mit<br />
Rm(12 h) = 1, 09 Ω <strong>in</strong> der Engstelle von ca. 2, 7 erwarten. Der lokale Widerstandsan-<br />
stieg hätte damit e<strong>in</strong>en Wert von ca. Rth(12 h) = 2, 9 Ω. Dies würde <strong>in</strong>sgesamt e<strong>in</strong>em<br />
lokalen Temperaturanstieg von ∆Tlok(12 h) ≃ 1400 K auf e<strong>in</strong>e Temperatur von 1693 K<br />
entsprechen; e<strong>in</strong>em Wert, der 355 K über der Schmelztemperatur von 1338 K für <strong>Gold</strong><br />
liegt [175]. E<strong>in</strong> Schmelzen der Leiterbahn an dieser Position wird dennoch nicht erwar-<br />
tet, da es im Bereich der Engstelle zu e<strong>in</strong>er deutlich verr<strong>in</strong>gerten Energiedissipation <strong>und</strong><br />
e<strong>in</strong>em sehr effektiven Abtransport der entstehenden Wärme kommt.<br />
Die gute thermische Leitfähigkeit des die Engstelle umgebenden Materials ist dafür<br />
verantwortlich, dass die lokale Temperaturerhöhung nur e<strong>in</strong>en Wert von ∆Tlok ≃ 350 K<br />
besitzt. Die aufgr<strong>und</strong> der Stromdichte erzeugte Joul’sche Wärme wird sowohl über das<br />
Substrat als auch über die angrenzenden Bereiche der Leiterbahn effektiv abgeführt.<br />
Weiterh<strong>in</strong> kommt es durch e<strong>in</strong>e verr<strong>in</strong>gerte Energiedissipation möglicherweise zu ei-<br />
ner Verr<strong>in</strong>gerung des spezifischen Widerstandes ρ durch lokale Ausheileffekte. Hierdurch<br />
kann es weiterh<strong>in</strong> zu e<strong>in</strong>er Erhöhung des l<strong>in</strong>earen Temperaturkoeffizienten α gekommen<br />
se<strong>in</strong>. Entsprechend Gl. 8 würde bei e<strong>in</strong>em zu niedrig angenommenen Temperaturkoeffizi-<br />
enten die Temperaturerhöhung überschätzt werden. Scorzoni et al. (siehe [24] <strong>und</strong> dar<strong>in</strong><br />
angegebene Referenzen) haben gezeigt, dass es aufgr<strong>und</strong> von elektromigrations<strong>in</strong>duzier-<br />
ten Änderungen der Kornstruktur zu Änderungen im Bereich ∆α ≃ 0, 1 % gekommen<br />
ist.<br />
Theoretisch wurde der Widerstandsanstieg <strong>in</strong>nerhalb e<strong>in</strong>er Engstelle z. B. von Kraft<br />
<strong>und</strong> Arzt berechnet [176]. Sie fanden ebenfalls ke<strong>in</strong>e der Stromdichte entsprechende<br />
Temperaturentwicklung <strong>in</strong>nerhalb der Engstelle. In theoretischen Arbeiten wird da-<br />
bei oftmals e<strong>in</strong> thermischer Exponent von m = 2 verwendet [177]. Dieser Wert ist<br />
zu niedrig angesetzt, da die sich ändernde Energiedissipation aufgr<strong>und</strong> der Temperatur-<br />
erhöhung unberücksichtigt bleibt. Dies bedeutet, dass die Rechnungen für e<strong>in</strong>e sich nicht<br />
erwärmende Leiterbahn durchgeführt werden. Experimentell beobachtet wird e<strong>in</strong> Wert<br />
von m > 2, welcher <strong>in</strong> zukünftigen theoretischen Betrachtungen berücksichtigt werden<br />
sollte.<br />
15 Die Konstante A = 2,35 · 10 −20 wurde anhand der Erwärmung zu Beg<strong>in</strong>n des Experiments für<br />
diese Leiterbahn bestimmt.