Elektromigration in Gold und Silber Nanostrukturen
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54 4. Ergebnisse <strong>und</strong> Diskussion: Vorbetrachtungen zu den <strong>in</strong>-situ Messungen<br />
Abb. 4.3: Bestimmung der relativen Widerstandserhöhung (schwarze Quadrate) sowie der<br />
Temperaturerhöhung (rote Punkte) <strong>in</strong> Abhängigkeit der Stromdichte. Die schwarze L<strong>in</strong>ie wurde<br />
anhand Gl. 10 an die Werte angepasst (entnommen aus [169]).<br />
I <strong>in</strong> die Stromdichte j) wird für die Widerstandänderung folgenden Ansatz gemacht:<br />
δRth = A · R(0) · j m<br />
Für die relative Widerstandsänderung e<strong>in</strong>er Leiterbahn gilt daher:<br />
δRth<br />
R(0)<br />
= A · jm<br />
A ist e<strong>in</strong>e materialabhängige Konstante, welche sowohl von der Geometrie <strong>und</strong> Mor-<br />
phologie als auch von der thermischen Ankopplung an das Substrat abhängt. Die Größe<br />
m wird als Stromdichteexponenten bezeichnet <strong>und</strong> nimmt Werte von m ≥ 2 an. Der Fall<br />
m = 2 entspricht e<strong>in</strong>er Joul’schen Erwärmung der Leiterbahn ohne e<strong>in</strong>en zusätzlichen<br />
Beitrag des erhöhten Widerstandes.<br />
In Abb. 4.3 ist die relative Widerstandsänderung (schwarze Quadrate) gegenüber der<br />
e<strong>in</strong>geprägten Stromdichte beispielhaft aufgetragen. Die roten Punkte zeigen die entspre-<br />
chende Temperaturerhöhung, wie sie anhand Gl. 8 mit e<strong>in</strong>em Wert von α = 0.002 K −1<br />
berechnet wurde. Für die Bestimmung von R(T) bzw. für δRth wurde die angegebene<br />
Stromdichte für jeweils 15 M<strong>in</strong>uten an die Leiterbahn angelegt, gefolgt von 10 M<strong>in</strong>u-<br />
ten ohne angelegten Strom zur Abkühlung der Leiterbahn. Die Leiterbahn zeigte nach<br />
Abkühlung auf Zimmertemperatur nur vernachlässigbare Änderungen für den Wider-<br />
stand R(0), so dass man davon ausgehen kann, dass es zu ke<strong>in</strong>en morphologischen Ände-<br />
rungen gekommen ist. Anhand der Datenpunkte wurde gemäß Gl. 10 e<strong>in</strong>e Anpassung<br />
vorgenommen <strong>und</strong> e<strong>in</strong> Stromdichteexponent von m = 2, 32 ermittelt.<br />
(9)<br />
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