Elektromigration in Gold und Silber Nanostrukturen

54 4. Ergebnisse und Diskussion: Vorbetrachtungen zu den in-situ Messungen
Abb. 4.3: Bestimmung der relativen Widerstandserhöhung (schwarze Quadrate) sowie der
Temperaturerhöhung (rote Punkte) in Abhängigkeit der Stromdichte. Die schwarze Linie wurde
anhand Gl. 10 an die Werte angepasst (entnommen aus [169]).
I in die Stromdichte j) wird für die Widerstandänderung folgenden Ansatz gemacht:
δRth = A · R(0) · j m
Für die relative Widerstandsänderung einer Leiterbahn gilt daher:
δRth
R(0)
= A · jm
A ist eine materialabhängige Konstante, welche sowohl von der Geometrie und Mor-
phologie als auch von der thermischen Ankopplung an das Substrat abhängt. Die Größe
m wird als Stromdichteexponenten bezeichnet und nimmt Werte von m ≥ 2 an. Der Fall
m = 2 entspricht einer Joul’schen Erwärmung der Leiterbahn ohne einen zusätzlichen
Beitrag des erhöhten Widerstandes.
In Abb. 4.3 ist die relative Widerstandsänderung (schwarze Quadrate) gegenüber der
eingeprägten Stromdichte beispielhaft aufgetragen. Die roten Punkte zeigen die entspre-
chende Temperaturerhöhung, wie sie anhand Gl. 8 mit einem Wert von α = 0.002 K −1
berechnet wurde. Für die Bestimmung von R(T) bzw. für δRth wurde die angegebene
Stromdichte für jeweils 15 Minuten an die Leiterbahn angelegt, gefolgt von 10 Minu-
ten ohne angelegten Strom zur Abkühlung der Leiterbahn. Die Leiterbahn zeigte nach
Abkühlung auf Zimmertemperatur nur vernachlässigbare Änderungen für den Wider-
stand R(0), so dass man davon ausgehen kann, dass es zu keinen morphologischen Ände-
rungen gekommen ist. Anhand der Datenpunkte wurde gemäß Gl. 10 eine Anpassung
vorgenommen und ein Stromdichteexponent von m = 2, 32 ermittelt.
(9)
(10)