Elektromigration in Gold und Silber Nanostrukturen

2.6 Black-Gleichung 25
von z. B. Korngrenzendiffusion bezieht sich die Aktivierungsenergie auf die Wanderung
von Fehlstellen innerhalb von Korngrenzen [16].
Die Diffusion der Fehlstellen sollte entsprechend dem Modell eines Impulsübertrags
der Leitungselektronen direkt von der Stromdichte abhängen. Dementsprechend müsste
der Stromdichteexponent n einen Wert von 1 besitzen. Dies ist in der Praxis jedoch nicht
der Fall. In der Literatur gibt es keinen einheitlichen Wert für den Stromdichteexponen-
ten. So variiert n zwischen Werten von 1 bis über 10. In einem Übersichtsartikel von
Scorzoni et al. [24] wird darauf hingewiesen, dass n stark von der Temperatur und den
Testbedingungen abhängig ist. So sind Werte n > 2 ein Indikator für das Vorhandensein
von Joul’scher Wärme. Typische Werte für n liegen zwischen 1 und 2, abhängig davon,
ob die Elektromigration von dem Wachstum der Poren (n = 1) oder von der Nukleation
der Poren (n = 2) bestimmt wird [16,130]. Die physikalische Bedeutung von n darf dabei
nicht überbewertet werden; es handelt sich vielmehr um eine Rechengröße, mit deren
Hilfe Lebensdauervorhersagen möglich werden.
Für beschleunigte Testbedingungen erlaubt Gl. 5, die Ergebnisse für die mittlere
Ausfallzeit auf Betriebsbedingungen umzurechnen und so eine Aussage über die Zu-
verlässigkeit einer Metallisierung zu machen. Wie von Arzt und Nix gezeigt wurde [2],
kann dabei die Stromdichte auch durch eine effektive Stromdichte jeff = j − jc ersetzt
werden, welche das Auftreten mechanischer Spannungen berücksichtigt.
Wesentlich für die Anwendung von Gl. 5 ist, dass sich der Materialparameter A nicht
ändert (gleiche Prozessbedingungen und Strukturgrößen wie z. B. Temperaturbehand-
lungen, Materialzusammensetzungen, geometrische Abmessungen). Weiterhin muss der
Ausfallmechanismus, also der vorherrschende Diffusionspfad, bei verschiedenen Tempe-
raturen gleich bleiben. Ändert sich der Diffusionspfad bei unterschiedlichen Temperatu-
ren, lassen sich die bei beschleunigten Testbedingungen gewonnenen Werte nicht direkt
über die Black-Gleichung auf Betriebsbedingungen umrechnen.
Die Bestimmung der Aktivierungsenergie Ea erfolgt üblicherweise über einen
Arrhenius-Plot, bei welchem die Daten der mittleren Ausfallzeit halblogarithmisch ge-
gen die reziproke Temperatur aufgetragen werden. Früher wurden weiterhin Wider-
standsänderungen bei verschiedenen Temperaturen zur Bestimmung der Aktivierungs-
energie nach der Methode von Rosenberg und Berenbaum verwendet [12]. Die Aktivie-
rungsenergie kann dabei anhand folgender Gleichung bestimmt werden:
˙RT1
˙RT2
�
= exp − Ea
�
1
−
kB T1
1
��
T2
wobei ˙ RT1 und ˙ RT2 die zeitlichen Ableitungen des Widerstandes bei den Temperatu-
ren T1 und T2 sind. Experimente hierzu wurden in einem Silikon-Ölbad durchgeführt, bei
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