Elektromigration in Gold und Silber Nanostrukturen
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24 2. Gr<strong>und</strong>lagen<br />
In der Literatur wird dabei häufig das so genannte kritische Produkt aus Stromdichte<br />
<strong>und</strong> Leiterbahnlänge (jL)c betrachtet, unterhalb dessen ke<strong>in</strong>e <strong>Elektromigration</strong> mehr<br />
auftritt. Hierfür gilt [28,92]:<br />
(jL)c = Ωa∆σ<br />
ρZ ∗ e<br />
Hier<strong>in</strong> ist Ωa das Atomvolumen der jeweiligen Atome <strong>und</strong> ∆σ der Maximalwert der<br />
mechanischen Spannung, welche <strong>in</strong>nerhalb der Leiterbahn auftritt.<br />
In nachfolgenden Arbeiten wurde viel über den Zusammenhang der <strong>Elektromigration</strong><br />
mit dem Aufbau e<strong>in</strong>es Spannungsgradienten herausgef<strong>und</strong>en. So konnte von Arzt et. al<br />
[70] gezeigt werden, dass die Bildung von Poren häufig erst nach e<strong>in</strong>er Inkubationszeit<br />
auftritt. Während dieser Inkubationszeit baut sich e<strong>in</strong>e kritische Leerstellenkonzentra-<br />
tion auf. Falls dieses Bild korrekt ist, sollte es bei e<strong>in</strong>em Abschalten des Stroms zu<br />
Relaxationsvorgängen kommen, so dass bei e<strong>in</strong>em erneuten E<strong>in</strong>schalten das Wachstum<br />
der Poren wiederum verzögert beg<strong>in</strong>nt. Bei den <strong>in</strong> dieser Dissertation durchgeführten<br />
Experimenten wurde das Auftreten e<strong>in</strong>er Inkubationszeit nur bei wenigen Proben beob-<br />
achtet, wie <strong>in</strong> Kap. 5.1 anhand des Porenwachstums gezeigt wird.<br />
2.6 Black-Gleichung<br />
Industriell ist die Zeit bis zum Versagen e<strong>in</strong>er Leiterbahn (d. h. die Zeit bis zum Ausfall<br />
e<strong>in</strong>es <strong>in</strong>tegrierten Schaltkreises) entscheidend. Die typische Lebensdauer e<strong>in</strong>es IC’s soll-<br />
te über zehn Jahre betragen, wobei unter Betriebsbed<strong>in</strong>gungen <strong>in</strong>nerhalb des IC’s e<strong>in</strong>e<br />
Temperatur von ca. 105 ◦ C bei Stromdichten von momentan ≃ 1 · 10 7 A/cm 2 vorliegt<br />
[3]. Da es nicht möglich ist, die Zuverlässigkeit von Metallisierungen <strong>in</strong> Langzeitunter-<br />
suchungen zu testen, werden beschleunigte Testverfahren angewandt.<br />
Diese Testverfahren basieren auf der so genannten Black-Gleichung, welche e<strong>in</strong>en em-<br />
pirischen Zusammenhang zwischen der mittleren Ausfallzeit e<strong>in</strong>es Ensembles von identi-<br />
schen Leiterbahnen unter Testbed<strong>in</strong>gungen (erhöhte Temperatur <strong>und</strong>/oder Stromdichte)<br />
mit der Ausfallzeit unter Betriebsbed<strong>in</strong>gungen beschreibt. Für die mittlere Ausfallzeit<br />
t50, nach der 50 Prozent der Leiterbahnen ausgefallen s<strong>in</strong>d, gilt nach J. R. Black [65,66]:<br />
(4)<br />
t50 = A Ea<br />
k · e BT (5)<br />
jn Hierbei ist A e<strong>in</strong> Materialparameter, der die experimentellen Bed<strong>in</strong>gungen berück-<br />
sichtigt <strong>und</strong> Ea die Aktivierungsenergie der Diffusion. Ea bezieht sich dabei auf die Akti-<br />
vierungsenergie des für die Diffusion limitierenden Prozesses, d. h. bei e<strong>in</strong>em Überwiegen