Elektromigration in Gold und Silber Nanostrukturen

24 2. Grundlagen
In der Literatur wird dabei häufig das so genannte kritische Produkt aus Stromdichte
und Leiterbahnlänge (jL)c betrachtet, unterhalb dessen keine Elektromigration mehr
auftritt. Hierfür gilt [28,92]:
(jL)c = Ωa∆σ
ρZ ∗ e
Hierin ist Ωa das Atomvolumen der jeweiligen Atome und ∆σ der Maximalwert der
mechanischen Spannung, welche innerhalb der Leiterbahn auftritt.
In nachfolgenden Arbeiten wurde viel über den Zusammenhang der Elektromigration
mit dem Aufbau eines Spannungsgradienten herausgefunden. So konnte von Arzt et. al
[70] gezeigt werden, dass die Bildung von Poren häufig erst nach einer Inkubationszeit
auftritt. Während dieser Inkubationszeit baut sich eine kritische Leerstellenkonzentra-
tion auf. Falls dieses Bild korrekt ist, sollte es bei einem Abschalten des Stroms zu
Relaxationsvorgängen kommen, so dass bei einem erneuten Einschalten das Wachstum
der Poren wiederum verzögert beginnt. Bei den in dieser Dissertation durchgeführten
Experimenten wurde das Auftreten einer Inkubationszeit nur bei wenigen Proben beob-
achtet, wie in Kap. 5.1 anhand des Porenwachstums gezeigt wird.
2.6 Black-Gleichung
Industriell ist die Zeit bis zum Versagen einer Leiterbahn (d. h. die Zeit bis zum Ausfall
eines integrierten Schaltkreises) entscheidend. Die typische Lebensdauer eines IC’s soll-
te über zehn Jahre betragen, wobei unter Betriebsbedingungen innerhalb des IC’s eine
Temperatur von ca. 105 ◦ C bei Stromdichten von momentan ≃ 1 · 10 7 A/cm 2 vorliegt
[3]. Da es nicht möglich ist, die Zuverlässigkeit von Metallisierungen in Langzeitunter-
suchungen zu testen, werden beschleunigte Testverfahren angewandt.
Diese Testverfahren basieren auf der so genannten Black-Gleichung, welche einen em-
pirischen Zusammenhang zwischen der mittleren Ausfallzeit eines Ensembles von identi-
schen Leiterbahnen unter Testbedingungen (erhöhte Temperatur und/oder Stromdichte)
mit der Ausfallzeit unter Betriebsbedingungen beschreibt. Für die mittlere Ausfallzeit
t50, nach der 50 Prozent der Leiterbahnen ausgefallen sind, gilt nach J. R. Black [65,66]:
(4)
t50 = A Ea
k · e BT (5)
jn Hierbei ist A ein Materialparameter, der die experimentellen Bedingungen berück-
sichtigt und Ea die Aktivierungsenergie der Diffusion. Ea bezieht sich dabei auf die Akti-
vierungsenergie des für die Diffusion limitierenden Prozesses, d. h. bei einem Überwiegen