Elektromigration in Gold und Silber Nanostrukturen

2.1 Kräfte bei der Elektromigration 13
Massetransport von der Kathode in Richtung der Anode sind. Die Porenbildung erfolgt
dementsprechend an der Kathodenseite. Dies ist für die meisten Metalle gleichbedeutend
mit einem Überwiegen der Windkraft.
Bei der Beschreibung der Bewegung der Atome muss weiterhin ein Beitrag aufgrund
eines Konzentrationsgradienten der Leerstellen in Betracht gezogen werden. So bildet
sich durch die gerichtete Bewegung der Atome lokal eine höhere Konzentration an Leer-
stellen aus. Dies sorgt entsprechend dem ersten Fick’schen Gesetzes für einen Rückstrom
der Atome aufgrund des sich ausbildenden Konzentrationsgefälles. Daher muss Gl. 1 fol-
gendermaßen ergänzt werden [22]:
J = Dc
kBT · ejρZ∗ − D δc
δx
Hierin beschreibt δc den Konzentrationsgradienten der Leerstellen. Der erste Term in
δx
Gl. 3 beschreibt den Anteil einer effektiv wirkenden Kraft auf die Bewegung der Atome,
wobei die Richtung der Kraft durch die effektive Valenz Z ∗ festgelegt ist. Der zweite
Term berücksichtigt den Rückstrom, welcher sich nach dem ersten Fick’schen Gesetz
ergibt.
Das Auftreten dieses Rückstroms ist der Grund für das Auftreten einer kritischen
Länge, unterhalb derer keine Elektromigrationsschäden in Leiterbahnen zu beobachten
sind (dies wird in Kap. 2.5 vertiefend behandelt). Gl. 3 zeigt, dass im Falle des ther-
mischen Gleichgewichts der Nettofluss von Leerstellen von zwei Kräften abhängig ist.
Überwiegt die treibende Kraft - unabhängig vom Vorzeichen der effektiven Valenz Z ∗ -
gegenüber dem Rückfluss aufgrund des Konzentrationsgradienten innerhalb einer gege-
benen Leiterbahn, kommt es zu einer Elektromigrationsschädigung dieser Leiterbahn.
Abb. 2.2 zeigt schematisch ein energetisches Bild zur Beschreibung der Diffusion. Oh-
ne Anliegen einer äußeren treibenden Kraft gibt es keine Vorzugsrichtung für die Bewe-
gung der Atome. Das heißt, im statistischen Mittel kommt es gleich häufig zu Sprüngen
der Atome (in vorhandene Leerstellen) in alle drei Raumrichtungen (Abb. 2.2 a)). Legt
man ein äußeres Feld an, ändert sich der Potentialverlauf entsprechend der effektiv wirk-
samen Kraft (Summe aus Windkraft und direkter Kraft). In Abb. 2.2 b) überwiegt die
Windkraft, so dass die Diffusion der Atome in Richtung der Anode erfolgt. Entspre-
chend bewegen sich die Leerstellen in Richtung der Kathode, wo sich bei Überschreiten
einer kritischen Leerstellenkonzentration makroskopische Poren bilden. Eine derartige
Änderung der Potentiallandschaft wird aber nicht alleine durch ein elektrisches Feld her-
vorgerufen. Auch Konzentrationsgefälle (bezüglich Fremdatomen und/oder Leerstellen)
oder Temperaturgradienten führen zu einer gerichteten Bewegung der Atome. Dabei ist
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