Elektromigration in Gold und Silber Nanostrukturen

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12 2. Grundlagen Metallionen über das elektrische Feld in Richtung der Kathode, so dass die Leerstelle in Richtung der Anode wandert (in Abb. 2.1 rechts oben). Unabhängig von der Rich- tung der Leerstellenbewegung führt eine Akkumulation einzelner Leerstellen dann zur Bildung der beobachtbaren Poren. In einem Festkörper wird zur Vereinfachung die Leerstellendiffusion 6 betrachtet, die analog zur Diffusion der Atome, allerdings in entgegengesetzter Richtung, verläuft [6]. Für die strominduzierte (Leerstellen-) Diffusion gilt dabei folgender Zusammenhang (nach [22]): mit: J : Leerstellenstrom D : Diffusionskonstante J = Dc kBT · ejρZ∗ c : Leerstellenkonzentration (der Fehlstellen) kB : Boltzmannkonstante T : absolute Temperatur (in Kelvin) e : Elementarladung der Elektronen j : Stromdichte ρ : spezifischer Widerstand Z ∗ : effektive Valenz Für die Diffusionskonstante D gilt dabei [103]: (1) Ea − k D = D0 · e BT (2) Hierin bezeichnet D0 die Diffusionskonstante bei festgelegter Temperatur (üblich: T = 0 ◦ C) und Ea die Aktivierungsenergie der Diffusion. Diese hängt von dem jewei- ligen Diffusionspfad ab. In der Literatur ist beispielsweise für die Diffusion von Gold im Festkörper ein Wert von Ea,FK = 1, 91 eV [104] angegeben. Für die Diffusion in Korngrenzen besitzt die Aktivierungsenergie einen Wert von Ea,KG = 0, 94 eV [24]. Die so genannte effektive Valenz Z ∗ ist ein dimensionsloser Materialparameter, der sich aus der Windkraft und der direkten Kraft folgendermaßen zusammensetzt: Z ∗ = ZWind + ZDirekt. In dieser Arbeit wird nach der üblichen Konvention vorgegan- gen, nach der negative Werte für die effektive Valenz Z ∗ gleichbedeutend mit einem 6 für reine Metalle liegt die Anzahl der Leerstellen Lv bei Lv � 10 −4 in der Nähe des Schmelzpunkts (siehe [104], Seite 56).
2.1 Kräfte bei der Elektromigration 13 Massetransport von der Kathode in Richtung der Anode sind. Die Porenbildung erfolgt dementsprechend an der Kathodenseite. Dies ist für die meisten Metalle gleichbedeutend mit einem Überwiegen der Windkraft. Bei der Beschreibung der Bewegung der Atome muss weiterhin ein Beitrag aufgrund eines Konzentrationsgradienten der Leerstellen in Betracht gezogen werden. So bildet sich durch die gerichtete Bewegung der Atome lokal eine höhere Konzentration an Leer- stellen aus. Dies sorgt entsprechend dem ersten Fick’schen Gesetzes für einen Rückstrom der Atome aufgrund des sich ausbildenden Konzentrationsgefälles. Daher muss Gl. 1 fol- gendermaßen ergänzt werden [22]: J = Dc kBT · ejρZ∗ − D δc δx Hierin beschreibt δc den Konzentrationsgradienten der Leerstellen. Der erste Term in δx Gl. 3 beschreibt den Anteil einer effektiv wirkenden Kraft auf die Bewegung der Atome, wobei die Richtung der Kraft durch die effektive Valenz Z ∗ festgelegt ist. Der zweite Term berücksichtigt den Rückstrom, welcher sich nach dem ersten Fick’schen Gesetz ergibt. Das Auftreten dieses Rückstroms ist der Grund für das Auftreten einer kritischen Länge, unterhalb derer keine Elektromigrationsschäden in Leiterbahnen zu beobachten sind (dies wird in Kap. 2.5 vertiefend behandelt). Gl. 3 zeigt, dass im Falle des ther- mischen Gleichgewichts der Nettofluss von Leerstellen von zwei Kräften abhängig ist. Überwiegt die treibende Kraft - unabhängig vom Vorzeichen der effektiven Valenz Z ∗ - gegenüber dem Rückfluss aufgrund des Konzentrationsgradienten innerhalb einer gege- benen Leiterbahn, kommt es zu einer Elektromigrationsschädigung dieser Leiterbahn. Abb. 2.2 zeigt schematisch ein energetisches Bild zur Beschreibung der Diffusion. Oh- ne Anliegen einer äußeren treibenden Kraft gibt es keine Vorzugsrichtung für die Bewe- gung der Atome. Das heißt, im statistischen Mittel kommt es gleich häufig zu Sprüngen der Atome (in vorhandene Leerstellen) in alle drei Raumrichtungen (Abb. 2.2 a)). Legt man ein äußeres Feld an, ändert sich der Potentialverlauf entsprechend der effektiv wirk- samen Kraft (Summe aus Windkraft und direkter Kraft). In Abb. 2.2 b) überwiegt die Windkraft, so dass die Diffusion der Atome in Richtung der Anode erfolgt. Entspre- chend bewegen sich die Leerstellen in Richtung der Kathode, wo sich bei Überschreiten einer kritischen Leerstellenkonzentration makroskopische Poren bilden. Eine derartige Änderung der Potentiallandschaft wird aber nicht alleine durch ein elektrisches Feld her- vorgerufen. Auch Konzentrationsgefälle (bezüglich Fremdatomen und/oder Leerstellen) oder Temperaturgradienten führen zu einer gerichteten Bewegung der Atome. Dabei ist (3)
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