Handbuch Wägetechnische Applikationen - Waagen-Kissling GmbH

Handbuch wägetechnische Applikationen
Teil 2
Zählen

Vorbemerkung
In vielen alltäglichen Einsatzbereichen ist die Waage oder der Wägewert nur Mittel zum Zweck:
die eigentlich interessierende Größe wird aus dem Wägewert oder der Masse erst berechnet. Daher
behandelt das Handbuch wägetechnische Applikationen die wichtigsten Anwendungen in
einzelnen Heften mit jeweils in sich abgeschlossenem Themenkomplexen.
Der nun vorliegende Teil 2 behandelt das Thema Zählen mit Hilfe von Waagen. Die wichtigste
Frage, die sich bei der Applikation Zählen stellt, ist zweifellos die Frage nach der erzielbaren Genauigkeit
– oder umgekehrt nach der Größe des unvermeidbaren Zählfehlers.
Einen schnellen Überblick über den Zählfehler, der unter bestimmten Bedingungen erreicht (oder
unterschritten) werden kann, geben vier Tabellen im Kapitel Auswahl der richtigen Zählwaage ab
S. 20.
Die genaue Berechnug des Fehlers für jeden Einzelfall ist mit Hilfe eines einfachen Datenblattes in
der zu diesem Handbuch gehörenden EXCEL-Datei Z-GENAU.XLS möglich.
Die Grundlagen für die Bestimmung von Stückzahlen auf der Basis von Wägewerten werden erläutert.
Ebenso wird erklärt, welche Größen den Zählfehler wie bestimmen. Einige statistische Grundlagen,
die zum besseren Verständnis des Zählvorganges und der Fehlerberechnung beitragen,
werden am Anfang des Handbuchs Zählen dargestellt.
Das Ziel des Handbuchs ist es, sartorius-Mitarbeitern und interessierten Kunden eine umfassende
Zusammenstellung von Informationen zu den wichtigsten wägetechnischen Applikationen zur Verfügung
zu stellen – sowohl zur Einarbeitung in das jeweilige Thema als auch zum gezielten Nachschlagen
und Ergänzen oder Auffrischen des Kenntnisstandes.
Erfahrungen aus der Zusammenarbeit mit Anwendern in Labor und Industrie sollen dazu beitragen,
daß das Handbuch wägetechnische Applikationen „lebt“ und sich mit seinen Benutzern weiterentwickelt
– unter anderem in Form von kurzen Applikationsberichten. Diese werden im Lauf der Zeit
das Handbuch ergänzen und interessante und neue Anwendungen allen zugänglich machen.
Marketing Wägetechnik
Oktober 1999

Indices
Bedeutung der
Formelzeichen
ref bezogen auf die
Referenzzahl oder das
Referenzgewicht
x gesuchte Größe
(1) bezogen auf 1
(repräsentatives) Teil
i allgemeine Schreibweise
für die fortlaufende
Numerierung einzelner
Werte
1, 2, … fortlaufende Numerierung
Zeichen Größe
einzelner Meßwerte oder
Einzelteile
W Wägewert
W
gesprochen:
W quer
Mittelwert der
Wägewerte
x beliebiger Meßwert
x
gesprochen:
x quer
Mittelwert
Δx Streubereich der
Einzelwerte
Δx Streubereich des
Mittelwertes
n Anzahl der Messungen
oder Anzahl Einzelteile
s Standardabweichung
s 2
s
x
Varianz, Streuung
Variationskoeffizient,relative
Standardabweichung
t statistischer Faktor,
STUDENT-Faktor
P statistische Sicherheit

Inhalt:
Zählen – ein kurzer Überblick.................................................................................................3
Allgemeine Grundlagen..........................................................................................................4
Beispiele für den Einsatz von „Zählwaagen“....................................................................................4
Bestimmung der Stückzahl aus dem Wägewert................................................................................4
Grundlagen der Statistik ..............................................................................................................5
Der Mittelwert.........................................................................................................................5
Bedeutung von Standardabweichung und statistischer Sicherheit......................................................6
Berechnung des Zählfehlers ..................................................................................................11
Fehler der Stückzahl..................................................................................................................11
Vergleich der verschiedenen Einflußgrößen auf die Zählgenauigkeit...................................................11
Bestimmung der Zählgenauigkeit.................................................................................................14
Referenzoptimierung.............................................................................................................16
Auswahl der „richtigen“ Zählwaage .....................................................................................18
Bestimmung der geeigneten Ablesbarkeit einer Waage...................................................................18
Entnahme der Referenzteile...................................................................................................24
Anhang.................................................................................................................................26
t-Faktor oder Student-Faktor zur Berechnung der Streubereiche ..........................................................27
Diagramme zur Bestimmung der Zählgenauigkeit ...........................................................................28
Berechnung der Zählgenauigkeit – Musterausdrucke der EXCEL-Datei Z-GENAU..................................42
Fragen zum Thema Zählen....................................................................................................45
Hinweise zur Beantwortung der Fragen.................................................................................46
Register ................................................................................................................................48
2 BK - Okt. 1999

Zählen – ein kurzer Überblick
Aus den mithilfe von Waagen bestimmten Meßwerten wird häufig die eigentlich interessierende
Information erst errechnet. Die wägetechnische Applikation Zählen wird überall dort eingesetzt,
wo es darauf ankommt, schnell und zuverlässig die Anzahl einer großen Menge gleicher Teile
zu bestimmen.
Das Prinzip ist ganz einfach: aus dem Gewicht einer kleinen Anzahl von Einzelteilen (der Referenzstückzahl)
wird der Mittelwert des Einzelteilgewichts berechnet. Das Gewicht einer großen Menge
der gleichen Einzelteile (Mengengewicht) muß dann nur noch gemessen und durch diesen Mittelwert
dividiert werden; man erhält so die Stückzahl der gewogenen Menge. Die Umrechnung von
Gewicht in Stückzahl leistet heute die Software der Waagen, der Anwender muß nur noch zwei
Wägungen durchführen und der Waage die Anzahl der Referenzstücke mitteilen.
Die wichtigste Frage beim Zählen durch Wägen ist die nach der Zuverlässigkeit der Stückzahlangabe:
„Sind wirklich die angezeigten 1000 oder möglicherweise nur 998 oder sogar
1005 Schrauben auf der Waage?“
Für die Antwort muß man nicht 1000 (oder ???) Teile einzeln nachzählen, der Fehler des Zählergebnis
kann berechnet werden.
Der Zählfehler wird durch zahlreiche Größen beeinflußt, die Zusammenhänge sind komplex.
• Am stärksten beeinflußt wird der Gesamtfehler durch die Gleichmäßigkeit des Gewichts der
Einzelteile. Das bedeutet: je geringer die immer vorhandenen (minimalen) Gewichtsunterschiede
von Stück zu Stück sind, desto „genauer“ stimmt die von der Waage berechnete Gesamtstückzahl.
Diese statistische Streuung des Stückgewichts wird durch die Standardabweichung
der Einzelteile mathematisch beschrieben. Die Gewichtsunterschiede der Einzelteile sind normalerweise
produktionsbedingt und können nicht ohne weiteres beeinflußt werden. Die erzielbare
Zählgenauigkeit ist – unabhängig von der eingesetzten „Zählwaage“ – durch die Streuung der
Einzelteilgewichte grundsätzlich begrenzt.
• Der Gesamtfehler des Zählergebnis wird selbstverständlich durch die Wahl der Waage beeinflußt
– dabei ist von entscheidender Bedeutung mit welcher Auflösung bei der Referenzgewichtsbestimmung
gearbeitet wird. Im Vergleich dazu von untergeordneter Bedeutung ist die
Auflösung bei der Mengengewichtsbestimmung bzw. bei der Gesamtstückzahlermittlung. Die
Auflösung der Waage – oder der kleinste ablesbare Ziffernschritt müssen immer in einem geeigneten
Verhältnis zum Einzelteilgewicht ausgewählt werden.
• Verringert werden kann der Zählfehler durch die Verwendung größerer Referenzstückzahlen;
sartorius-Waagen bieten dafür die sogenannte Referenzoptimierung an. Dabei wird durch eine
definierte schrittweise Erhöhung der Referenzstückzahl eine bessere Anpassung des Berechnungsgrundlage
zur Stückzahlbestimmung an die tatsächlichen Bedingungen der Gewichtsstreuung
der Einzelteile erreicht.
Die Bestimmung großer Stückzahlen mithilfe von Waagen ist eine schnelle und einfache Methode
des Zählens. Die Auswahl einer geeigneten Waage und das Arbeiten mit einer angemessenen
Referenzstückzahl führt zu optimalen Zählergebnissen – auf der Basis der durch die
Gewichtsstreuung der Einzelteile gesetzten Grenzen.
3 BK - Okt. 1999

Allgemeine Grundlagen
Beispiele für den Einsatz von „Zählwaagen“
Zählen ist heute die häufigste wägetechnische Applikation. Es ist weit verbreitet in den unterschiedlichsten
Bereichen wie
• Wareneingangskontrolle
• Fertigung
• Lager
• Verpackung
• Versand
und wird in allen Industriezweigen eingesetzt, z. B. in der
• Feinmechanik
• Elektronik und Elektrotechnik
• Kunststoffindustrie
• Papierherstellung
• Knopfherstellung
• in Druckereien, Buch- und Zeitschriftenverlagen
• … .
Bestimmung der Stückzahl aus dem Wägewert
Der Grundgedanke des Zählens mit Waagen bzw. durch Wägen ist ganz einfach: Wenn die zu
zählenden Teile alle das gleiche Gewicht haben, erhält man die Anzahl der Einzelteile, indem man
den Wägewert der Gesamtmenge durch den Wägewert des einzelnen Teiles dividiert:
Stückzahl =
Wägewert der Gesamtmenge
Wägewert des Einzelteils
oder n Wx
x = . ( 1)
W
(1)
Dabei wird das mittlere Gewicht eines Einzelteils im ersten Schritt durch Wägung einer kleinen,
abgezählten Menge von Einzelteilen – der sogenannten Referenzmenge – bestimmt:
W Wref
(1) = . ( 2)
n
ref
Die beim Zählen mit der Waage verwendete Gleichung – ausgehend vom Gewicht der zu zählenden
Teile W x (auch Mengengewicht genannt), dem Gewicht der Referenzteile W ref und der
Anzahl der Referenzteile n ref – lautet also:
n W nref
x = x ⋅ ( 3)
W
ref
Da in Wirklichkeit die Masse des Einzelteils von Stück zu Stück variiert, unterliegt die Ermittlung
der Stückzahl einem statistischen Fehler. Das bedeutet, daß ab einer bestimmten Stückzahl der
4 BK - Okt. 1999

Fehlerbereich beim Zählen durch Wägen so groß wird, daß nicht mehr sichergestellt ist, daß das
Zählergebnis auf ein Teil genau ist. Wenn die berechnete Stückzahl um genau ± 0,5 von einer
ganzen Zahl abweicht, z. B. 100,5, ist nicht sicher, ob die Stückzahl tatsächlich 100 oder 101
beträgt.
Je größer die Streuung der Einzelwerte der zu zählenden Teile um ihren Mittelwert ist, desto größer
ist der Fehler, der bei der Stückzahlbestimmung auftreten kann.
In den folgenden Abschnitten sollen die Grundlagen der Statistik – soweit sie zum Verständnis der
Zählgenauigkeit erforderlich sind – kurz dargestellt werden. Der Zählfehler soll für verschiedene
Bedingungen beispielhaft berechnet und in Diagrammen dargestellt werden.
Schließlich sollen auch die systematischen Fehler, die bei der Bestimmung von Stückzahlen aus
Wägewerten auftreten können, erläutert werden. Diese sind häufig größer als die statistischen oder
zufälligen Fehler, sie lassen sich durch Einhalten bestimmter Arbeitsweisen (s. S. 24 Probenahme
bei der Bestimmung des Referenzgewichts) aber weitgehend vermeiden, während statistische Fehler
grundsätzlich immer auftreten.
Grundlagen der Statistik
In der Statistik werden anhand von Informationen, die aus kleinen Stichproben gewonnen werden,
mithilfe geeigneter Rechenmodelle Rückschlüsse auf die Grundgesamtheit gezogen. Die wichtigsten
Größen zur Charakterisierung z. B. der Gleichmäßigkeit des Gewichts (der Masse) von
„identischen“ Teilen sind der Mittelwert und die Standardabweichung.
Der Mittelwert
Der mittlere Wägewert W (gelesen W quer) einer größeren Anzahl „gleicher“ Teile berechnet sich
aus der Summe der Einzelwerte W 1 bis W n, dividiert durch die Anzahl n der Einzelwerte. Allgemein
ausgedrückt ist der Mittelwert x einer Meßreihe:
n
1
x = ⋅
n =
∑
i 1
x i
. ( 4)
oder übertragen auf das Beispiel unten, bei dem sechs (n = 6) Einzelwägungen W 1 bis W 6
durchgeführt wurden
W + W + W + W + W + W
W =
6
1 2 3 4 5 6
Es sollen zwei unterschiedliche Meßreihen mit „demselben“ Mittelwert betrachtet werden:
( 5)
5 BK - Okt. 1999

Meßwert Meßreihe 1 Meßreihe 2
1 6 g 9,999 g
2 8 g 9,998 g
3 14 g 10,002 g
4 12 g 10,000 g
5 15 g 10,001 g
6 5 g 10,000 g
Der Mittelwert beider Meßreihen im oberen Beispiel ist :
Anzahl der Einzelmessungen
n
Meßreihe 1 Meßreihe 2
6 6
Summe der Einzelergebnisse 60 g 60,000 g
Mittelwert W 10 g 10,000 g
Der Mittelwert aus einer Serie von Einzelmessungen für sich alleine gibt keine Auskunft über die
Genauigkeit, die Reproduzierbarkeit, den Streubereich oder die Zuverlässigkeit der Messungen
oder der untersuchten Teile. Je größer die Anzahl der Einzelmessungen n ist, desto besser beschreibt
der Mittelwert dieser wenigen Meßwerte den „wahren Wert“ aller zugrundeliegenden
Meßwerte.
Übertragen auf die Aufgabenstellung Zählen bedeutet das, daß bei der Bestimmung des mittleren
Teilegewichts aus einer großen Anzahl von Einzelteilen – einer großen Referenzstückzahl – der
gefundene Mittelwert „richtiger“ ist, d. h. die Gesamtverteilung wird genauer beschrieben und damit
wird auch das Zählergebnis genauer.
Bedeutung von Standardabweichung und statistischer Sicherheit
Die Standardabweichung ist die Größe, die die wichtigsten Informationen zur statistischen Beurteilung
einer Meßreihe liefert. Aus ihr wird der Streubereich der Einzelwerte berechnet und zwar mithilfe
von statistischen Faktoren z. B. für eine bestimmte statistische Sicherheit von 99 %.
Die Standardabweichung s berechnet sich nach der allgemeinen Formel 1 zu
s =
n
1
⋅∑ ( xi − x)
. ( 6)
n −1 i= 1
oder – bezogen auf das Beispiel mit n = 6
s =
2
2
2
2
2
2
(W1 − W) + (W2 − W) + (W3 − W) +(W4 − W) +(W5 − W) +(W6 − W)
6 -1
1 Funktion zur Berechnung der Standardabweichung nach Gleichung (6) in EXCEL: STABW(...)
6 BK - Okt. 1999
2
( 7)

Häufig wird auch die relative Standardabweichung, d. h. die Standardabweichung bezogen auf
den Mittelwert s
der Meßreihe in Prozent angegeben.
W
Teilweise findet man auch die Bezeichnung Streuung oder Varianz, damit wird der Wert s 2 bezeichnet,
der aber keine andere Bedeutung hat als die Standardabweichung s selber.
(Manchmal, z. B. in der Richtlinie OIML 2 R76, findet man auch die Angabe einer Näherung für
die Standardabweichung einer Meßreihe aus 6 Einzelmessungen: Die Differenz von Maximalwert
xmax − xmin
und Minimalwert wird durch 3 dividiert: s = , für n = 6.)
3
Meßreihe 1 Meßreihe 2
Standardabweichung s 4,24 g 0,00141 g
relative Standardabw. s
W
in %
Näherung der Standardabweichung
in %
42 % 0,014 %
33 % 0,013 %
Die folgende Abbildung zeigt die beiden Meßreihen des Beispiels. Diese beiden Meßreihen sind –
trotz des „gemeinsamen“ Mittelwertes von 10 g bzw. 10,000 g – so unterschiedlich, daß sie nicht
in einem Diagramm dargestellt werden können. Die 6 Einzelmeßwerte sind auf den Kurven durch
Kreise markiert; aus diesen wenigen Einzelwerten wird auf die unendlich große Zahl der Werte
geschlossen, die durch eine glockenförmige Kurve dargestellt werden.
2 Organisation Internationale de Métrologie Légale
7 BK - Okt. 1999

Anzahl der Einzelwerte n
Anzahl der Einzelwerte n
0,20
0,15
0,10
0,05
0,00
300
225
150
75
0
Meßreihe 2
Meßreihe 1
0 g 5 g 10 g 15 g 20 g
Meßreihe 1
Mittelwert = 10 g
Standardabweichung
s = 4,2 g
9,990 g 9,995 g 10,000 g 10,005 g 10,010 g
Mittelwert = 10,000 g
Standardabweichung
s = 0,0014 g
Meßreihe 2
Abbildung 1: Verteilungskurven für die Meßreihen des Beispiels – bei der Meßreihe 1 liegen nur wenige
Einzelwerte in einem großen Bereich rechts und links vom Mittelwert, bei Meßreihe 2 liegen fast
alle Einzelwerte in einem extrem engen Bereich um den Mittelwert W .
Die Verteilungskurve (s. Abbildung 2) soll zunächst allgemein betrachtet werden: Wird eine bestimmte
Größe x wiederholt unter identischen Bedingungen gemessen, so liegen die Meßwerte in
einem bestimmten Bereich und der am häufigsten vorkommende Meßwert etwa in der Mitte dieses
Bereiches – soweit nur zufällige Fehler auftreten. Die meisten Meßwerte weichen nur wenig vom
8 BK - Okt. 1999

häufigsten Wert ab. Große Abweichungen von der Mitte des Bereiches sind selten. Wird die Häufigkeit
n mit der die einzelnen Meßwerte auftreten über dem Meßwert x aufgetragen, so ergibt sich
eine Verteilungskurve, die bei einer sehr großen Anzahl von Messungen in eine Glockenkurve – die
Gaußsche Normalverteilung – übergeht.
Das Maximum dieser Kurve, der häufigste Meßwert, ist der wahrscheinlichste Wert und entspricht
dem arithmetischen Mittelwert x . Der Mittelwert aus wenigen Einzelwerten ist mit dem wahren
Wert nicht identisch, nähert sich diesem aber mit zunehmender Anzahl n von Messungen an.
Die zweifache Standardabweichung 2⋅s entspricht der Breite der Glockenkurve in ihren Wendepunkten.
Innerhalb dieses Bereiches von x ± s liegen 68,3 % der Einzelwerte oder anders ausgedrückt:
die Einzelwerte liegen mit einer statistischen Sicherheit von P = 68,3 % im Bereich von
x ± s .
Innerhalb des Bereiches der zweifachen und der dreifachen Standardabweichung um den Mittelwert
( x ± 2s bzw. x ± 3s ) liegen 95,4 % bzw 99,73 % aller Werte der Verteilung.
0,014
0,012
0,01
0,008
n
0,006
0,004
0,002
68,3 %
95,4 %
99,7 %
0
0 50 Mittelwert 100 150 200
x -3s x -2s x - s
x+s x +2s x +3s
x
Abbildung 2: Gauß-Normalverteilung
Eine statistische Sicherheit von z. B. P = 95 % bedeutet, daß die jeweilige Aussage in 95 von
100 Fällen zutrifft, bzw. daß 95 von 100 Wiederholmessungen im angegebenen Bereich liegen –
oder, daß mit einer Wahrscheinlichkeit von 5 % die getrofffene Aussage falsch ist.
Die beiden oben betrachteten Meßreihen aus je 6 Einzelmessungen mit den Mittelwerten von 10 g
bzw. 10,000 g können nun bewertet werden, z. B. mit einer statistischen Sicherheit von 95 %:
Den Streubereich der Einzelwerte Δx errechnet man aus der Standardabweichung multipliziert mit
einem Faktor, dem t- oder Student-Faktor (man kann ihn in Statistik-Tabellen nachschlagen, s. auch
Anhang S. 27). Der Faktor t ist abhängig von der erforderlichen oder gewünschten statistischen
Sicherheit P und der Anzahl n der Meßwerte. Innerhalb der Grenzen von x + Δ x und x - Δ x liegen
9 BK - Okt. 1999

mit der gewählten statistischen Sicherheit alle Einzelwerte der – der betrachteten Meßreihe zugrunde
liegenden – Verteilung.
Der Streubereich Δx berechnet sich zu
Δx = t ⋅ s
( 8)
Für n = 6 und P = 95 % beträgt t = 2,57. Damit kann der Streubereich für die beiden Beispiele
berechnet werden
Meßreihe 1 Meßreihe 2
x +s 14,2 g 10,001 g
x - s 5,8 g 9,999 g
Streubereich Δx = t ⋅ s 2,57⋅ 4,243 g 2,57⋅0,00141 g
= 10,9 g = 0,00363 g
x + Δx 10 g + 10,9 g
= 20,9 g
x - Δx 10 g - 10,9 g
(= - 0,9 g)
Interpretiert man die Ergebnisse, so folgt:
10,000 g + 0,004 g
= 10,004 g
10,000 g - 0,004 g
= 9,996 g
• Mit einer statistischen Sicherheit von 68,3 % (genau genommen bezogen auf unendlich viele
Meßwerte) liegen die Einzelwerte bei der Reihe 1 im Bereich von 5,8 g bis 14,2 g, bei der
Reihe 2 im Bereich von 10,001 g bis 9,999 g.
• Mit einer statistischen Sicherheit von 95 % bei einer Anzahl von n = 6 Meßwerten errechnet
sich der Streubereich zu 10,9 g bzw. zu 10,004 g für die Meßreihen 1 bzw. 2.
• Die Einzelwerte der Meßreihe 1 liegen also mit 95 %iger Sicherheit zwischen 0 und 20,9 g,
bei einem Mittelwert von 10 g.
• Die Einzelwerte der Meßreihe 2 liegen mit 95 %iger Sicherheit zwischen 9,996 g und
10,004 g, bei einem Mittelwert von 10,000 g. 5 % der Einzelwerte liegen außerhalb dieses
Bereichs von 9,996 g und 10,004 g.
10 BK - Okt. 1999

Berechnung des Zählfehlers
Fehler der Stückzahl
Die wichtigste Frage, die sich beim Zählen durch Wägen stellt, ist zweifellos die Frage nach der
erzielbaren Genauigkeit – oder nach der Größe des unvermeidbaren Zählfehlers.
Die Anwendung der allgemeinen Regeln der Fehlerrechnung liefert unter Berücksichtigung der Fehler
der Waage oder der Waagen und der Streuung des Gewichts der Einzelteile den in Gleichung
(9) angegebenen Ausdruck für die Standardabweichung der Stückzahl:
Dieser unübersichtlich erscheinende Ausdruck beinhaltet alle zufälligen Fehler (keine systematischen
Fehler, s. S. 24), die einen Einfluß auf die Genauigkeit des Zählergebnis haben. Insgesamt
sind das sechs verschiedene Größen:
• die Anzahl der zu zählenden Teile nx • die Referenzstückzahl nref • das durchschnittliche Einzelgewicht eines Teils W (1)
• die Streuung des Gewichts der Einzelteile sWref • die Streuung des Gewichts der Referenzmenge sW(1) • die Streuung des Gewichts der Gesamtstückzahl sW Unter der Voraussetzung, daß die Referenzstückzahl nref fehlerfrei bestimmt wurde, kann man die
Fehler grundsätzlich zwei verschiedenen Einflüssen zuordnen:
• dem Einfluß des Meßgerätes, d. h. der Waage und
• dem Einfluß der statistischen Streuung des Gewichts der Einzelteile.
Diese beiden grundsätzlichen Fehlerursachen gelten natürlich sowohl für die Bestimmung des Referenzgewichts
W ref als auch für die Bestimmung des Mengengewichts W x.
Nach Übergang auf die Standardabweichungen des Referenzgewichts bzw. des Mengengewichts
ergibt sich schließlich die Gleichung für die Standardabweichung s x der zu zählenden Stückzahl
n x:
s
x
2
2
n s
2 s n s
x W
W
x
W
ref x (1)
= ⋅ n
2
x
n W W n W
ref (1)
(1)
ref
(1)
⎛ ⎞
⎜
⎟ +
⎝ ⎠
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⎜
⎟ + ⎜ + ⎟ ⋅
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ ⎞
⎜
⎟
⎝ ⎠
123 123 123
Fehler des
Referenzgewichts
Fehler des
Mengengewichts
2
Einzelteilstreuung
Vergleich der verschiedenen Einflußgrößen auf die Zählgenauigkeit
Die verschiedenen Größen beeinflussen das Endergebnis unterschiedlich stark:
s
2
2
n
⎛n
= ⋅ + ⋅ + +
2
n
⎝ n
2 x
x
ref
Streuung des
Streuung des x Einzelteil-
( Referenzgewichts)
1 ( Mengengewichts)
⎜ nx⎟
⋅(
streuung )
Betrachtet man die drei verschiedenen Fehleranteile, die als Summe die Standardabweichung der
Gesamtstückzahl ergeben, so zeigt sich, daß
• die Streuung des Mengengewichts mit dem Faktor 1 multipliziert wird
ref
11 BK - Okt. 1999
2
⎞
⎠
( 9)

• die Streuung des Referenzgewichts mit dem Faktor
• die Streuung des Einzelteilgewichts mit dem Faktor
⎛
⎜
⎝
⎛
⎜
⎝
n x 2
n ref 2
n x 2
n ref
⎞
⎟ multipliziert wird und
⎠
Einige Zahlenbeispiele für verschiedenen Werte von n x und n ref sind in der folgenden Tabelle angegeben.
Sie zeigen, ebenso wie das folgende Diagramm (Abbildung 3), daß der Einfluß der
Einzelteilstreuung den der Referenzgewichtsstreuung leicht um mehrere Zehnerpotenzen übersteigen
kann.
Streuung des
Mengengewichts
multipliziert mit
Streuung des Referenzgewichts
multipliziert mit
+ nx
⎞
⎟ .
⎠
Einzelteilstreuung
multipliziert mit
nx nref nx²/nref² (nx²/nref)+nx
100 10 1 100 1.100
100 50 1 4 300
1
1.000 10 1 10.000 101.000
1.000 50 1 400 21.000
1.000 100 1 100 11.000
10.000 10 1 1.000.000 10.010.000
10.000 50 1 40.000 2.010.000
10.000 100 1 10.000 1.010.000
… ergibt nach Aufsummieren der drei Anteile sx 2
Tabelle 1: Größenordnung der Faktoren, mit der die jeweilige Streuung multipliziert werden muß, bevor
die drei Anteile zur Gesamtstreuung des Zählergebnis summiert werden.
Der Faktor
⎛
⎜
⎝
n x 2
n ref
+ nx
⎞
⎟
⎛
ist immer größer als ⎜
⎠
⎝
n x 2
n ref 2
⎞ ⎛
⎟ und ⎜
⎠ ⎝
n x 2
n ref 2
⎞
⎟ ist immer größer als 1; das geht aus
⎠
den Zahlen in Tabelle 1 hervor, ergibt sich aber auch aus der folgenden Überlegung:
Wenn die Referenzstückzahl n ref sehr groß wird im Vergleich zur Stückzahl n x (oder schließlich
= n x), geht der Faktor n x 2
n ref 2 gegen 1. Normalerweise ist n x >> n ref und damit ist n x 2
n ref 2
>> 1.
2
1 1
n
2
Da n > n
⎛ x ⎞
ist, folgt ref ref n
2
< und damit ⎜
n
ref ref
n 2⎟
<
⎝ ref ⎠
n x 2
⎛
⎜ n
⎞
+
n x ⎟ . Es kann also gezeigt werden, daß
⎝ ref ⎠
den größten Einfluß auf die Genauigkeit des Zählergebnis die Streuung des Gewichts der Einzelteile
ausübt.
Um den Einfluß dieser verschiedenen Fehlerquellen auf das Gesamtergebnis auf einen Blick erfassen
zu können, ist das folgende Diagramm berechnet worden. Es zeigt auf der x-Achse die Referenzstückzahl
und in Abhängigkeit davon auf der y-Achse den Faktor, um den der Einfluß der Einzelteilstreuung
und der Referenzgewichtsstreuung größer ist als der Einfluß der Mengengewichtsstreuung.
Das folgende Diagramm gilt für die Zählmengen von 1 000 Stück.
Die Kurven zeigen, daß die Zählgenauigkeit am stärksten durch die Streuung der Einzelgewichte
um ihren Mittelwert bestimmt wird. Der Einfluß ist um mehrere Zehnerpotenzen größer als der Einfluß
der Streuung von Referenz- und Mengengewicht:
12 BK - Okt. 1999

Bei einer Gesamtstückzahl von 1 000 und einer Referenzstückzahl von 100 ist der Einfluß der Einzelteilstreuung
auf die Streuung des Zählergebnis ungefähr 10 000 mal größer als der Einfluß der
Mengengewichtsstreuung – und immerhin noch 100 mal größer als der Einfluß der Referenzgewichtsstreuung.
1.000.000
100.000
10.000
1.000
100
10
1
Verhältnis des Einflusses von Referenzwaage,
Mengenwaage und Einzelteilstreuung auf den
Zählfehler
Streuung des Mengengewichts
Einzelteilstreuung
Streuung des Referenzgewichts
0 100 200 300 400 500
Referenzstückzahl
Abbildung 3: Verhältnis des Einflusses auf den Gesamtzählfehler bei einer zu zählenden Stückzahl von
1 000 Teilen – die Zahlen auf der y-Achse geben an, mit welchem Faktor die Streuung von Mengengewicht,
Referenzgewicht und Einzelteilgewicht in die Berechnung des Gesamtfehlers eingehen
13 BK - Okt. 1999

Bestimmung der Zählgenauigkeit
Nach der in Gleichung (9, S.11) angegebenen Beziehung kann die Standardabweichung s x der
Stückzahl n x berechnet werden. Daraus erhält man dann durch Multiplikation mit dem t-Faktor die
Aussage über die maximale Abweichung Δx von der Sollstückzahl der Zählaufgabe mit der gewünschten
statistischen Sicherheit.
2
n s
x W
Δx
= t ⋅ ⋅ 2
n W
⎛
⎜
⎝
Δx
= t ⋅s
x
ref
(1)
⎞
⎟
⎠
2
⎛ sW
+ ⎜
⎝ W
(1)
⎞
⎟
⎠
2
2 ⎛n
⎞ s
x
W
+ ⎜ + nx⎟
⋅
⎝ n ⎠ W
⎛
⎜
⎝
ref x (1)
ref
Soll der relative Fehler in % angegeben werden, muß Δx auf die Gesamtstückzahl n x bezogen
werden:
t s
Δx (in %)
n 100 x = ⋅
⋅
x
Die Ergebnisse der Berechnung der Zählgenauigkeit sind für bestimmte repräsentative Bedingungen
berechnet und graphisch dargestellt worden (siehe Anhang Abbildung 9 bis 20).
So kann man sich schnell einen Überblick über die Größenordnung des Zählfehlers verschaffen.
Das Ergebnis ist immer auf der y-Achse aufgetragen. Es entspricht der Standardabweichung s x bezogen
auf die Sollstückzahl n x. Es sind jeweils die Kurven für eine statistische Sicherheit von 99 %
(gestrichelte Linie) und von 99,9 % (durchgezogene Linie) dargestellt.
In zwei verschiedenen Darstellungsformen wurden als unabhängige Größen eingesetzt und auf der
x-Achse der Diagramme dargestellt:
• die Standardabweichung der Einzelgewichte bezogen auf den Mittelwert des Einzelteilgewichts
sW
(1)
W(1)
.
(1)
⎞
⎟
⎠
2
( 10)
• die Referenzstückzahl n ref (von 0 bis 500 jeweils in der oberen Darstellung, von 0 bis 100 in
der unteren)
Die für die jeweilige Kurve als konstant angenommenen Größen und die entsprechenden Zahlenwerte
sind im Diagramm angegeben. Die Kurven sind berechnet für n x = 10 000; bei kleineren
Stückzahlen n x verschieben sich die Kurven nach oben, d. h. der Zählfehler wird größer (s.
Abbildung 7 und Abbildung 8).
Die Diagramme sind jeweils für W (1) = 1 Digit 3 , W (1) = 10 Digit und für W (1) = 100 Digit dargestellt.
Das mittlere Gewicht der Einzelteile in Bezug zur Ablesbarkeit der Waage entscheidet
darüber, welches Diagramm zur Bestimmung des Zählfehlers verwendet werden muß.
Für die Standardabweichungen s Wref
und s Wx (nach Gleichung 9 oder 10) wird in Abbildung 9
und 15 mit dem Wert 1 Digit, in Abbildung 10 und 16 mit dem Wert 10 Digit und in Abbildung
13 und 19 mit dem Wert 100 Digit gerechnet, d. h. es wird davon ausgegangen, daß die Auflö-
3 1 Digit ist der kleinste ablesbare Ziffernschritt einer Digitalen Meßwertanzeige.
14 BK - Okt. 1999

sung der verwendeten Waage bei der Referenzbestimmung und bei der Mengenwägung gleich
sind.
Bei den Diagrammen (11,14, 17 und 20) wird mit einer um den Faktor 10 höheren internen Auflösung
der Waage bei der Referenzgewichtsbestimmung gerechnet, d. h. s geht mit 0,1 Digit
Wref
in die Rechnung ein. Die Standardabweichung des Mengengewichts s Wx geht weiterhin mit 1
Digit in die Rechnung ein.
Entsprechendes gilt für die weiteren Diagramme (12 und 18): hier wird mit einer um den Faktor
100 höheren internen Auflösung bei der Referenzgewichtsbestimmung 4 gerechnet, d. h. s geht Wref
mit 0,01 Digit in die Berechnung der Zählgenauigkeit ein, s Wx mit 1 Digit.
Die Diagramme bieten für viele Anwendungsfälle des Zählens eine gute Orientierugshilfe. Um für
jeden Einzelfall die Zählgenauigkeit berechnen zu können, gehört zu diesem Handbuch die EXCEL-
Datei Z-GENAU. Nach der Eingabe von 10 Einzelteilgewichten, der Ablesbarkeit der Waage und
der Sollstückzahl sowie der Referenzstückzahl wird der relative Zählfehler mit 95 %, 99 % und
99,9 % statistischer Sicherheit angegeben. Außerdem wird die maximale Abweichung von der
Sollstückzahl angegeben und entschieden, ob „stückgenaues“ Zählen unter den gewählten Bedingungen
möglich ist oder nicht. Musterausdrucke sind im Anhang (S. 43) zu finden.
Wenn der absolute Fehler beim Zählen nicht größer sein darf als 1 Stück, dann muß die folgende
Bedingung erfüllt sein:
Δx = t ⋅ sx < 0,5 . ( 11)
4 Dasselbe gilt auch, wenn eine separate Referenzwaage mit einer Ablesbarkeit von 1/100 der Mengen-
waage verwendet wird.
15 BK - Okt. 1999

Referenzoptimierung
Wie im vorangehenden Kapitel zur Berechnung des Zählfehlers deutlich wird (und aus den Diagrammen
9 bis 14 im Anhang), kann mit größeren Referenzstückzahlen im allgemeinen die Zählgenauigkeit
verbessert werden.
Da es sehr mühsam ist eine große Anzahl meist kleiner Einzelteile abzuzählen und sich vor allen
Dingen leicht ein (systematischer) Zählfehler ergeben kann, der das gesamte Zählergebnis verfälscht,
gibt es bei allen sartorius-Waagen mit der Applikation Zählen die Möglichkeit der Referenzoptimierung.
Dabei wird ausgehend von einer kleinen Referenzstückzahl die Referenzstückzahl schrittweise erhöht,
bis die gewünschte Referenzstückzahl erreicht ist. Bestimmte Bedingungen müssen dabei beachtet
werden, damit sichergestellt ist, daß bei der Bestimmung der Referenzstückzahl der Zählfehler
auf jeden Fall kleiner als 1 Stück ( < ± 0,5) ist.
n + 2 ≤ n ≤ 2⋅ n
( 12)
1ref 2ref 1ref
Im ersten Schritt wird zum Beispiel mit n 1ref = 10 abgezählten Einzelteilen das Referenzgewicht
W 1ref bestimmt. Daraus errechnet sich – nach dem Auflegen weitere 2 bis 20 Einzelteile – mit dem
Gewicht W 2ref die Stückzahl n 2ref nach der Beziehung (3) auf S. 4:
n W n1ref
= ⋅ . ( 13)
2ref 2ref
W
1ref
Die Waagen-Software von sartorius läßt die Referenzoptimierung zu,
• wenn die aktuelle Stückzahl weniger als doppelt so groß ist wie die ursprüngliche Teilezahl
(n 2ref ≤ 2 ⋅ n 1ref) ist,
• wenn die Abweichung von der nächsten ganzen Zahl von n 2ref < ± 0,3 ist,
• und solange die Stückzahl n ref < 100 ist.
Sind diese Bedingungen erfüllt, wird der Wert n1ref
W1ref
zur Berechnung der Sollstückzahl oder für
den nächsten Schritt der Referenzoptimierung ersetzt durch n2ref
W
und es ergibt sich
n W n
n
2ref
2ref
= ⋅ oder n W 3ref 3ref
x = x ⋅ . ( 14)
W W
2ref
2ref
Zum besseren Verständnis soll ein Beispiel betrachtet und mit Hilfe des folgenden Diagramms erläutert
werden; das Diagramm entspricht – abgesehen von der Stückzahl nx – dem Diagramm 16 auf
S. 37. (Die Diagramme 15 bis 20 können entsprechend verwendet werden.)
• der Zählfehler soll maximal 0,5 % betragen,
• die Gewichtsschwankung der betrachteten Teile beträgt sW1
= 1 % entsprechend einer Stan-
W(1)
dardabweichung von sW1 = 0,012 g
• ein Digit der Waage entspricht 0,1 g
• das mittlere Einzelteilgewicht ist W (1) = 1,2 g entsprechend ∼ 10 Digit
2ref
16 BK - Okt. 1999

Da der vorgegebene Zählfehler nicht mehr als 0,5 % betragen darf, ergibt sich aus der Kurve (mit
99,9 % statistischer Sicherheit) eine Referenzstückzahl von mindestens 80.
Bei der Referenzoptimierung wird im ersten Schritt eine Referenzstückzahl von 10 gewählt. Dabei
liegt der Zählfehler bei ∼ 3 %, d. h. bei 0,3 bezogen auf 10 Stück. Stückgenaues Zählen ist gewährleistet,
also kann die Anzahl der Referenzteile um 10 erhöht werden.
Bei einer Referenzstückzahl von 20 liegt der Zählfehler unter den gegebenen Bedingungen bei
∼ 1,5 %, d. h. bei 0,3 bezogen auf 20 Stück. Wieder ist stückgenaues Zöhlen sicher gestellt.
Erhöht man im nächsten Schritt also die Stückzahl auf 40 Teile, so beträgt der Zählfehler noch
∼ 0,9 %, d. h. maximal 0,36 bezogen auf 40 Stück. Immer noch ist der Zählfehler kleiner als 1
Stück oder < ± 0,5. Bei der nächsten Verdoppelung der Stückzahl erreicht man schon die Referenzstückzahl
von 80 und damit kann der eigentliche Zählvorgang mit der gewünschten Zählgenauigkeit
gestartet werden.
Zählfehler für 99% ( - - ) bzw. 99,9% statistische Sicherheit
3.5%
3.0%
2.5%
2.0%
1.5%
1.0%
0.5%
0.0%
Abbildung 4: Erläuterung zur Referenzoptimierung
W (1) = 10 digit - n x = 1 000
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
nref
sW1/W(1)=1,0%
17 BK - Okt. 1999

Auswahl der „richtigen“ Zählwaage
Es gelten die allgemeinen Regeln zur Auswahl einer Waage. Berücksichtigt werden müssen vor
allem
• die voraussichtliche Maximallast oder das Mengengewicht, mit der die Waage belastet werden
soll
(Eventuell kann das Mengengewicht aufgeteilt werden in Teilmengen, die im Summenspeicher
aufaddiert werden.)
• die Ablesbarkeit, die durch die gewünschte Genauigkeit des Zählergebnis bestimmt wird. Diese
wiederum hängt ab
− von der absoluten Größe des Referenzgewichts,
− von der Genauigkeit, mit der das (mittlere) Einzelteilgewicht abgelesen werden kann und
− von der Genauigkeit, mit der das Referenzgewicht abgelesen werden kann
Allgemein gilt: Eine waagenintern höhere Auflösung des Wägebereichs für die Referenzbestimmung
– oder die Nutzung einer Referenzwaage mit höherer Auflösung als der der Mengenwaage
– verbessert wesentlich die Zählgenauigkeit und vermindert außerdem die erforderliche
Referenzstückzahl.
Im folgenden sind vier Tabellen (s. Tabelle 2 bis 5) zusammengestellt, die die Auswahl einer passenden
Waage erleichtern sollen. Alle Zahlen sind für eine statistische Sicherheit von 99,9 % berechnet.
Bestimmung der geeigneten Ablesbarkeit einer Waage
Als erstes muß entschieden werden, mit welcher Genauigkeit das Zählergebnis bestimmt werden
soll – danach richtet sich, welche der Tabellen (Zählfehler < 1 %, < 0,5 %, < 0,1 % oder
< 0,05 %) maßgeblich ist.
Als nächster Parameter muß die relative Standardabweichung (
s
W (1)
) der zu zählenden Teile
bekannt sein – für vier verschiedene Werte (5 %, 1 %, 0,5 % und 0,1) sind Zahlenbeispiele den
Tabellen zu entnehmen.
Die Einzelteilgewichte sind in Digit angegeben, d. h. hier ist unmittelbar der Bezug zur Ablesbarkeit
der Waage hergestellt. Bei Verwendung von Referenzwaagen oder Waagen mit höherer internen
Auflösung bei der Referenzbestimmung sind die Zeilen mit � (10-fach höhere interne Auflösung)
bzw. �� (100-fach höhere interne Auflösung) zu verwenden.
Eine Ablesbarkeit von 100 Digit bezogen auf das mittlere Einzelteilgewicht mit 100-fach höherer
interner Auflösung anstelle von nur 10-fach höherer Auflösung zur Referenzgewichtsbestimmung
ergibt keinen praktischen Vorteil mehr.
Die letzte Spalte der Tabellen gibt an, bei welcher Referenzstückzahl die entsprechenden Zählfehler
erreicht bzw. unterschritten werden. Bei errechneten Referenzstückzahlen von > 500 ist die Erzielung
des vorgegebenen Zählfehlers als „nicht möglich“ angegeben. Die kleinste Angabe der
Referenzstückzahl beträgt 10, auch wenn der Fehler z. B. in Tabelle 1 unten bei einer Standardabweichung
der Einzelteile von 0,1 % deutlich kleiner als 1 % ist und kleinere Referenzstückzahlen
als 10 errechnet werden.
18 BK - Okt. 1999

Beispiel:
Der gewünschte Zählfehler soll ≤ 0,5 % sein – es muß also Tabelle 3 gewählt werden.
Das mittlere Gewicht der Einzelteile beträgt 1,3 g; es wurde aus den Werten von 10 Teilen, wie
im Abschnitt Grundlagen der Statistik S. 5 beschrieben, berechnet. (Zur Probennahme siehe auch
Kapitel „Entnahme der Referenzteile“ S. 24.)
Die Standardabweichung des Einzelteilgewichts beträgt 0,0125 g, damit ist die relative Standar-
s 0,0125g
dabweichung: = = 0,0096 = 0,96% ≈1%
W 1,3g
(1)
In Tabelle 3 ist also der zweite Absatz von oben maßgeblich: Mit den Teilen des Beispiels läßt sich
ein Zählfehler < 0,5 % bei einer Ablesbarkeit der Waage von 1 g (Einzelteilgewicht
=1,3 g ≈ 1 Digit) nur dann erreichen, wenn bei der Referenzgewichtsbestimmung eine höhere
Auflösung als bei der Mengengewichtsbestimmung verwendet wird. Bei Ablesbarkeiten von
0,1 g oder 0,01 g (Einzelteilgewicht =1,3 g ≈ 10 Digit bzw. ≈ 100 Digit) ist – mit der in Spalte
drei angegebenen Referenzstückzahl – der gewünschte Zählfehler unter verschiedenen Bedingungen
zu erreichen:
• Bei einer Ablesbarkeit der Waage von 1 g und 10-fach bzw. 100-fach höherer Auflösung für
die Referenzgewichtsbestimmung kann der geforderte maximale Zählfehler bei Referenzstückzahlen
von 92 bzw.45 unterschritten werden.
• Bei einer Ablesbarkeit der Waage von 0,1 g und derselben Auflösung für die Referenz- und
die Mengengewichtsbestimmung sind ebenfalls mindestens 92 Referenzteile erforderlich, bei einer
10-fach höheren internen Auflösung sind mindestens 45 Referenzteile erforderlich. 44 Referenzteile
reichen bei einer 100-fach höheren internen Auflösung aus um den gewählten Zählfehler
von 0,5 % zu unterschreiten.
• Mit Referenzstückzahlen von mindestens 45 bzw. 44 kann gearbeitet werden bei Ablesbarkeiten
von 0,01 g und Referenzauflösung = Mengenauflösung bzw. 10- oder 100-fach höherer
Referenzauflösung. Bei den Teilen des Beispiels sind hier die Bedingungen erreicht, bei denen
auch eine höher auflösende Waagen kein „besseres“ Zählergebnis mehr ergibt.
In allen Fällen ist n ref so hoch, daß die Funktion der automatischen Referenzoptimierung benutzt
werden sollte. Dadurch erreicht man schnell – in drei oder vier Schritten – die erforderliche Referenzstückzahl.
Dabei kann ein systematischer Zählfehler, der das gesamte Zählergebnis unbrauchbar
macht, beim Abzählen der Referenzteile weitgehend ausgeschlossen werden.
19 BK - Okt. 1999

Zählfehler < 1 %
bei einer stat. Sicherheit von 99,9%
relative Mindest-
Standardabw. Einzelgewicht referenzder
zu zählenden Teile W(1) stückzahl
s/W(1) in Digit nref
1 500
1 � 285
1 �� 280
10 283
5% 10 � 280
10 �� 280
100 280
100 � 280
100 �� 280
1 336
1 � 39
1 �� 12
10 40
1% 10 � 12
10 �� 11
100 12
100 � 11
100 �� 11
1 332
1 � 35
1 �� 10
10 35
0,5% 10 � 10
10 �� 10
100 10
100 � 10
100 �� 10
1 330
1 � 33
1 �� 10
10 33
0,1% 10 � 10
10 �� 10
100 10
100 � 10
100 �� 10
�: 10-fache interne Auflösung
��: 100-fache interne Auflösung
Tabelle 2: Auswahl einer geeigneten Waage bei einem akzeptierten Zählfehler von maximal 1 % für
verschiedene relative Standardabweichungen der Einzelteile.
(Berechnungsgrundlage sind 10 000 Stück, d. h. bei niedrigen Stückzahlen von zum Beispiel 100
Teilen kann der Fehler bis zu ∼ 0,5 % größer sein als oben angegeben, s. auch Bilder 7 und 8.)
Ein Zählfehler von ± 1,0 % entspricht stückgenauem Zählen bei einer Gesamtmenge von 50 Teilen.
Bei 1000 Teilen kann die Abweichung vom Sollwert bis zu ± 10 Stück betragen.
20 BK - Okt. 1999

Zählfehler < 0,5 %
bei einer stat. Sicherheit von 99,9%
relative Mindest-
Standardabw. Einzelgewicht referenzder
zu zählenden Teile W(1) stückzahl
s/W(1) in Digit nref
unabhängig von
5% der Auswahl der nicht möglich
Waage
1 nicht möglich
1 � 92
1 �� 45
10 92
1% 10 � 45
10 �� 44
100 45
100 � 44
100 �� 44
1 nicht möglich
1 � 72
1 �� 15
10 72
0,5% 10 � 14
10 �� 11
100 14
100 � 11
100 �� 11
1 nicht möglich
1 � 67
1 �� 10
10 67
0,1% 10 � 10
10 �� 10
100 10
100 � 10
100 �� 10
�: 10-fache interne Auflösung
��: 100-fache interne Auflösung
Tabelle 3: Auswahl einer geeigneten Waage bei einem akzeptierten Zählfehler von maximal 0,5 % für
verschiedene relative Standardabweichungen der Einzelteile.
(Berechnungsgrundlage sind 10 000 Stück, d. h. bei niedrigen Stückzahlen von zum Beispiel 100
Teilen kann der Fehler bis zu ∼ 0,5 % größer sein als oben angegeben, s. auch Bilder 7 und 8.)
Ein Zählfehler von ± 0,5 % entspricht stückgenauem Zählen bei einer Gesamtmenge von 100 Teilen.
Bei 1000 Teilen kann die Abweichung vom Sollwert bis zu ± 5 Stück betragen.
21 BK - Okt. 1999

Zählfehler < 0,1 %
bei einer stat. Sicherheit von 99,9%
relative Mindest-
Standardabw. Einzelgewicht referenzder
zu zählenden Teile W(1) stückzahl
s/W(1) in Digit nref
unabhängig von
5% der Auswahl der nicht möglich
Waage
unabhängig von
1% der Auswahl der nicht möglich
Waage
1 nicht möglich
1 � nicht möglich
1 �� 320
10 nicht möglich
10 � 283
0,5% 10 �� 279
100 283
100 � 279
100 �� 279
1 nicht möglich
1 � 355
1 �� 42
10 336
10 � 39
0,1% 10 �� 12
100 39
100 � 12
100 �� 11
�: 10-fache interne Auflösung
��: 100-fache interne Auflösung
Tabelle 4: Auswahl einer geeigneten Waage bei einem akzeptierten Zählfehler von maximal 0,1 % für
verschiedene relative Standardabweichungen der Einzelteile.
(Berechnungsgrundlage sind 10 000 Stück, d. h. bei niedrigen Stückzahlen von zum Beispiel 100
Teilen kann der Fehler bis zu ∼ 0,5 % größer sein als oben angegeben, s. auch Bilder 7 und 8.)
Ein Zählfehler von ± 0,1 % entspricht stückgenauem Zählen bei einer Gesamtmenge von 500 Teilen.
Bei 1000 Teilen kann die Abweichung vom Sollwert bis zu ± 1 Stück betragen.
22 BK - Okt. 1999

Zählfehler < 0,05 %
bei einer stat. Sicherheit von 99,9%
relative Mindest-
Standardabw. Einzelgewicht referenzder
zu zählenden Teile W(1) stückzahl
s/W(1) in Digit nref
unabhängig von
5% der Auswahl der nicht möglich
Waage
unabhängig von
1% der Auswahl der nicht möglich
Waage
unabhängig von
0,5% der Auswahl der nicht möglich
Waage
1 nicht möglich
1 � nicht möglich
0,1% 1 �� 135
10 nicht möglich
10 � 92
10 �� 45
100 92
100 � 45
100 �� 44
�: 10-fache interne Auflösung
��: 100-fache interne Auflösung
Tabelle 5: Auswahl einer geeigneten Waage bei einem akzeptierten Zählfehler von maximal 0,05 %
für verschiedene relative Standardabweichungen der Einzelteile
(Berechnungsgrundlage sind 10 000 Stück, d. h. bei niedrigen Stückzahlen von zum Beispiel 100
Teilen kann der Fehler bis zu ∼ 0,5 % größer sein als oben angegeben, s. auch Bilder 7 und 8.)
Ein Zählfehler von ± 0,05 % entspricht stückgenauem Zählen bei einer Gesamtmenge von 1000
Teilen.
23 BK - Okt. 1999

Entnahme der Referenzteile
Beim Zählen durch Wägen wird aus der Anzahl der Referenzteile und dem Referenzgewicht der
Faktor berechnet, mit dessen Hilfe aus dem Mengengewicht auf die Stückzahl geschlossen werden
kann (siehe Gleichung 3).
Dabei stellen die Referenzteile nur einen kleinen Anteil der Gesamtmenge der zu zählenden Teile
dar. Man geht grundsätzlich davon aus, daß die Eigenschaften dieser kleinen Teilmenge den Eigenschaften
der Gesamtmenge entsprechen, daß sie ein „repräsentatives Bild der Gesamtheit“
darstellen. Nur dann ist die Anwendung der statistischen Formeln, die das Vorliegen einer Gauß-
Normalverteilung voraussetzen, erlaubt. Von entscheidender Bedeutung für die Verwertbarkeit des
Zählergebnis ist eine entsprechende Vorgehensweise bei der Probenahme.
Im Kapitel „Berechnung des Zählfehlers“ (s. S. 11 ff) ist ausführlich der zufällige oder statistische
Fehler der Stückzahlbestimmung behandelt worden. Der Fehler bei der Probenahme der Referenzteile
als systematischer Fehler kann allerdings leicht wesentlich größer werden als der statistische
Fehler. Das bedeutet, daß die Auswahl und das Abzählen der Referenzteile entsprechend
sorgfältig vorgenommen werden muß.
Rein theoretisch muß jedes einzelne Teil aus der Gesamtmenge dieselbe Wahrscheinlichkeit besitzen,
in die Referenzprobe mit aufgenommen zu werden.
In der Praxis bedeutet das, daß man aus einem großen Behälter an z. B. 10 verschiedenen Stellen
(oben, unten, vorne, … ) mehrere Einzelteile entnimmt, diese untereinander wieder gut mischt, die
Mischung zuerst halbiert, dann viertelt und achtelt und schließlich aus jeder Teilmenge reihum ein
Teil für die Referenzprobe entnimmt. Oder man entnimmt während der Produktion von Kleinteilen in
regelmäßigen Zeitabständen kleine Probemengen, die gemischt und anschließend aufgeteilt werden,
um aus jeder Teilmenge Stücke für die Referenzgewichtsbestimmung herauszunehmen.
Zu Schwierigkeiten kann es kommen, wenn z. B. Kleinteile an zwei Maschinen produziert werden
und die Teile der Maschine 1 einen geringfügig anderern Mittelwert als die der Maschine 2 aufweisen.
Diese Bedingungen werden in den Abbildungen 5 und 6 verdeutlicht.
Man kann in diesem Fall entweder
• nur Teile der Maschine 1 oder nur Teile der Maschine 2 zählen und kann dabei von einer geringeren
Einzelteilstreuung ausgehen und entsprechend einer größeren Genauigkeit des Zählergebnis
• oder man mischt die Teile von Maschine 1 und 2 in einem definierten Verhältnis, sowohl für die
Probenahme bei der Referenzgewichtsbestimmung als auch beim Zählen, muß dann aber mit
einer größeren Einzelteilstreuung und entsprechend einem größeren Zählfehler rechnen.
Daß die Gesamtverteilung immer breiter wird, je weiter die Mittelwerte der einzelnen Verteilungen
auseinanderliegen, wird aus dem Diagramm (Diagramm 5) deutlich. Damit wird auch die Standardabweichung
bzw. die Streuung immer größer. Wie man in der Praxis unter solchen Bedingungen
arbeitet, wird wesentlich vom akzeptablen Zählfehler abhängen. Wenn die Mittelwerte
der einzelnen Verteilungen zu weit auseinanderliegen, ergibt die Summenverteilung (s. Bild 6) keine
Gauß-Verteilung mehr und die Basis für die Anwendung der hier verwendeten statistischen Berechnungen
ist nicht mehr gegeben! Das heißt, unter solchen Bedingungen dürfen die an den unterschiedlichen
Maschinen produzierten Teile nicht gemeinsam gezählt werden.
24 BK - Okt. 1999

n
x 1
x ( 1+2)
Abbildung 5: Häufigkeitsverteilungen der von Maschine 1 produzierten Teile mit dem Mittelwert x 1
und der von Maschine 2 produzierten Teile mit dem Mittelwert x 2 ; Häufigkeitsverteilung bei Zusam-
menfassung der Teile von Maschine 1 und 2 mit dem Mittelwert x (1+ 2)
n
x 1
Abbildung 6: Häufigkeitsverteilungen der von Maschine 1 produzierten Teile mit dem Mittelwert x 1
und der von Maschine 2 produzierten Teile mit dem Mittelwert x 2 ; bei Zusammenfassung der Teile
von Maschine 1 und 2 ergibt sich keine „Glockenkurve“ mehr, d. h. die Teile erfüllen nicht mehr die
Grundvoraussetzung für die Anwendbarkeit der statistischen Berechnungen.
x 2
x 2
25 BK - Okt. 1999

Anhang
26 BK - Okt. 1999

t-Faktor oder Student-Faktor zur Berechnung der Streubereiche
Zur Berechnung des Streubereichs Δx = t ⋅ s mit einer bestimmten statistischen Sicherheit benötigt
man die t-Faktoren.
t-Faktor
statistische Sicherheit 95 % 99 % 99,9 %
n = 6 2,57 4,03 6,86
n = 10 2,26 3,25 4,781
n = 20 2,09 2,86 3,883
n = 50 2,009 2,678 3,469
n= 100 1,984 2,626 3,390
n = ∞ 1,960 2,576 3,291
27 BK - Okt. 1999

Diagramme zur Bestimmung der Zählgenauigkeit
Erläterungen zu den zu den folgenden Diagrammen finden sich im Kapitel (S.14 ff)
Zählfehler für 99,9% statistische Sicherheit
5,00%
4,00%
3,00%
2,00%
1,00%
Abbildung 7: Relativer Zählfehler in Abhängigkeit von der relativen Standardabweichung der Einzelteile
für verschiedene Sollstückzahlen nx
Das Diagramm zeigt, daß je kleiner die zu zählende Gesamtmenge ist, desto größer wird der relative
Zählfehler. Zum Beispiel ist bei einer relativen Standardabweichung von 3,0 % und einer Referenzstückzahl
von 10 der Zählfehler gleich
• 3,1 % bei 10 000 Stück
• 3,2 % bei 1 000 Stück
• und 3,3 % bei 100 Stück.
Bei einer relativen Standardabweichung von 3 % und einer Referenzstückzahl von 100 ist der
Zählfehler entsprechend
• 1,0 % bei 10 000 Stück
• 1,1 % bei 1 000 Stück
• und 1,4 % bei 100 Stück.
W(1) = 10 digit, 10-fache Referenzauflösung
nx = 100 bis nx = 10000
0,00%
0,0% 1,0% 2,0% 3,0% 4,0% 5,0%
sW(1)/W(1)
n ref=10
n ref=100
100
500
1000
10000
100
500
1000
10000
28 BK - Okt. 1999

Zählfehler für 99,9% statistische Sicherheit
5,00%
4,00%
3,00%
2,00%
1,00%
W(1) = 10 digit, 10-fache Referenzauflösung
nx = 100 bis nx = 10000
s W1/W (1) = 0,1 %
0,00%
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
nref
Abbildung 8: Relativer Zählfehler in Abhängigkeit von der Referenzstückzahl für verschiedene Sollstückzahlen
nx
Das Diagramm zeigt, daß je kleiner die zu zählende Gesamtmenge ist, desto größer wird der relative
Zählfehler. Zum Beispiel ist bei einer Referenzstückzahl von 80 und einer relativen Standardabweichung
von 1,0 % und der Zählfehler gleich
• 0,37 % bei 10 000 Stück (entsprechend ± 37 Stück)
• 0,38 % bei 1 000 Stück (entsprechend ± 4 Stück)
• und 0,59 % bei 100 Stück (entsprechend ± 1 Stück).
s W1/W (1) = 5,0 %
s W1/W (1) = 1,0 %
Bei einer Referenzstückzahl von 80 und einer relativen Standardabweichung von 0,1 % ist der
Zählfehler entsprechend
• 0,10 % bei 10 000 Stück (entsprechend ± 10 Stück)
• 0,10 % bei 1 000 Stück (entsprechend ± 1 Stück)
• und 0,34 % bei 100 Stück, das entspricht ± 0,3 Stück und bedeutet, daß unter diesen Bedingungen
100
1000
10000
100
1000
10000
100
1000
10000
29 BK - Okt. 1999

Zählfehler für 99% ( - - ) bzw. 99,9% statistische Sicherheit
10,0%
8,0%
6,0%
4,0%
2,0%
W(1) = 1 digit - nx = 10 000
0,0%
0% 1% 2% 3% 4% 5% 6% 7% 8%
sW(1)/W(1)
Abbildung 9: Relativer Zählfehler in Abhängigkeit von der Einzelteilstreung für verschiedene Referenzstückzahlen
und ein mittleres Einzelteilgewicht von 1 Digit
Referenzauflösung = Mengenauflösung.
Bei bekannter relativer Standardabweichung der Einzelteile s
W(1)
W
(1)
nref=50
nref=100
nref=500
in % kann für Referenzstückzah-
len von 50, 100 oder 500 Stück der erreichbare Zählfehler auf der y-Achse abgelesen werden.
30 BK - Okt. 1999

Zählfehler für 99% ( - - ) bzw. 99,9% statistische Sicherheit
10.0%
8.0%
6.0%
4.0%
2.0%
W(1) = 10 digit - nx = 10 000
0.0%
0% 1% 2% 3% 4% 5% 6% 7% 8%
sW(1)/W(1)
nref=10
nref=50
nref=100
nref=500
Abbildung 10: Relativer Zählfehler in Abhängigkeit von der Einzelteilstreung für verschiedene Referenzstückzahlen
und ein mittleres Einzelteilgewicht von 10 Digit
Referenzauflösung = Mengenauflösung.
Bei bekannter relativer Standardabweichung der Einzelteile s
W(1)
W
(1)
in % kann für Referenzstückzah-
len von 10, 50, 100 oder 500 Stück der erreichbare Zählfehler auf der y-Achse abgelesen werden.
31 BK - Okt. 1999

Zählfehler für 99% ( - - ) bzw. 99,9% statistische Sicherheit
10.0%
8.0%
6.0%
4.0%
2.0%
W(1) = 10 digit - nx = 10 000
10-fache Referenzauflösung
0.0%
0% 1% 2% 3% 4% 5% 6% 7% 8%
sW(1)/W(1)
Abbildung 11: Relativer Zählfehler in Abhängigkeit von der Einzelteilstreung für verschiedene Referenzstückzahlen
und ein mittleres Einzelteilgewicht von 10 Digit
Referenzauflösung = 10 ⋅ Mengenauflösung.
Bei bekannter relativer Standardabweichung der Einzelteile s
W(1)
W
(1)
nref=10
nref=50
nref=100
nref=500
in % kann für Referenzstückzah-
len von 10, 50, 100 oder 500 Stück der erreichbare Zählfehler auf der y-Achse abgelesen werden.
Der Vorteil der höheren Referenzauflösung macht sich insbesondere bei niedrigen Werten der Einzelteilstreuung
bemerkbar! Bei großer Einzelteilstreuung ist die Zählgenauigkeit durch diese
„Ungleichmäßigkeit der Teile“ begrenzt.
32 BK - Okt. 1999

Zählfehler für 99% ( - - ) bzw. 99,9% statistische Sicherheit
10.0%
8.0%
6.0%
4.0%
2.0%
0.0%
100-fache Referenzauflösung
W(1) = 10 digit - nx = 10 000
0% 1% 2% 3% 4% 5% 6% 7% 8%
sW(1)/W(1)
Abbildung 12: Relativer Zählfehler in Abhängigkeit von der Einzelteilstreung für verschiedene Referenzstückzahlen
und ein mittleres Einzelteilgewicht von 10 Digit
Referenzauflösung = 100 ⋅ Mengenauflösung.
Bei bekannter relativer Standardabweichung der Einzelteile s
W(1)
W
(1)
nref=10
nref=50
nref=100
nref=500
in % kann für Referenzstückzah-
len von 10, 50, 100 oder 500 Stück der erreichbare Zählfehler auf der y-Achse abgelesen werden.
Der Vorteil der hohen Referenzauflösung macht sich insbesondere bei niedrigen Werten der Einzelteilstreuung
bemerkbar, s. vorhergehendes Diagramm. Bei großer Einzelteilstreuung ist die Zählgenauigkeit
durch die Gewichtstreuung der Einzelteile eingeschränkt.
33 BK - Okt. 1999

Zählfehler für 99% ( - - ) bzw. 99,9% statistische Sicherheit
10.0%
8.0%
6.0%
4.0%
2.0%
0.0%
W(1) = 100 digit - nx = 10 000
0% 1% 2% 3% 4% 5% 6% 7% 8%
sW(1)/W(1)
Abbildung 13: Relativer Zählfehler in Abhängigkeit von der Einzelteilstreung für verschiedene Referenzstückzahlen
und ein mittleres Einzelteilgewicht von 100 Digit
Referenzauflösung = Mengenauflösung.
Bei bekannter relativer Standardabweichung der Einzelteile s
W(1)
W
(1)
nref=10
n ref=50
nref=100
nref=500
in % kann für Referenzstückzah-
len von 10, 50, 100 oder 500 Stück der erreichbare Zählfehler auf der y-Achse abgelesen werden.
Die Ergebnisse entsprechen denen, die man auch bei Verwendung einer Waage mit einer
Ablesbarkeit entsprechend 10 Digit des Einzelteilgewichts bei 10-fach höherer Referenzauflösung
erreicht.
34 BK - Okt. 1999

Zählfehler für 99% ( - - ) bzw. 99,9% statistische Sicherheit
10.0%
8.0%
6.0%
4.0%
2.0%
0.0%
W(1) = 100 digit - nx = 10 000
10-fache Referenzauflösung
0% 1% 2% 3% 4% 5% 6% 7% 8%
sW(1)/W(1)
nref=10
nref=50
nref=100
nref=500
Abbildung 14: Relativer Zählfehler in Abhängigkeit von der Einzelteilstreung für verschiedene Referenzstückzahlen
und ein mittleres Einzelteilgewicht von 100 Digit
Referenzauflösung = 10 ⋅ Mengenauflösung.
Bei bekannter relativer Standardabweichung der Einzelteile s
W(1)
W
(1)
in % kann für Referenzstückzah-
len von 10, 50, 100 oder 500 Stück der erreichbare Zählfehler auf der y-Achse abgelesen werden.
Der Vorteil der höheren Referenzauflösung macht sich (s. vorhergehende Abbildung) insbesondere
bei niedrigen Werten der Einzelteilstreuung bemerkbar! Bei großer Einzelteilstreuung ist die Zählgenauigkeit
durch die Streuung des mittleren Gewichts der Einzelteile begrenzt.
35 BK - Okt. 1999

Zählfehler für 99% ( - - ) bzw. 99,9% statistische Sicherheit
Zählfehler für 99% ( - - ) bzw. 99,9% statistische Sicherheit
3.0%
2.0%
1.0%
0.0%
10.0%
8.0%
6.0%
4.0%
2.0%
0.0%
W(1) = 1 digit – nx = 10 000
sW1/W(1)=1%
sW1/W(1)=5%
sW1/W(1)=0,1%
0 100 200 300 400 500
nref
W(1) = 1 digit - nx = 10 000
sW1/W(1)=1%
sW1/W(1)=5%
sW1/W(1)=0,1%
0 20 40 60 80 100
nref
Abbildung 15: Relativer Zählfehler in Abhängigkeit von der Referenzstückzahl für drei verschiedene
Werte der Einzelteilstreuung und ein mittleres Einzelteilgewicht von 1 Digit
36 BK - Okt. 1999

Zählfehler für 99% ( - - ) bzw. 99,9% statistische Sicherheit
Zählfehler für 99% ( - - ) bzw. 99,9% statistische Sicherheit
3.0%
2.0%
1.0%
0.0%
5,0%
4,0%
3,0%
2,0%
1,0%
0,0%
W(1) = 10 digit - nx = 10 000
sW1/W(1)=1%
sW1/W(1)=5%
sW1/W(1)=0,1%
0 100 200 300 400 500
nref
W(1) = 10 digit - nx = 10 000
sW1/W(1)=0,1%
sW1/W(1)=1%
s W1/W (1)=5%
0 20 40 60 80 100
nref
Abbildung 16: Relativer Zählfehler in Abhängigkeit von der Referenzstückzahl für drei verschiedene
Werte der Einzelteilstreuung und ein mittleres Einzelteilgewicht von 10 Digit
37 BK - Okt. 1999

Zählfehler für 99% ( - - ) bzw. 99,9% statistische Sicherheit
Zählfehler für 99% ( - - ) bzw. 99,9% statistische Sicherheit
3.0%
2.0%
1.0%
0.0%
2.0%
1.5%
1.0%
0.5%
0.0%
W(1) = 10 digit - nx = 10 000
sW1/W(1)=1%
10-fache Referenzauflösung
sW1/W(1)=5%
sW1/W(1)=0,1%
0 100 200 300 400 500
nref
W(1) = 10 digit - nx = 10 000
sW1/W(1)=5%
10-fache Referenzauflösung
sW1/W(1)=0,1%
sW1/W(1)=1%
0 20 40 60 80 100
nref
Abbildung 17: Relativer Zählfehler in Abhängigkeit von der Referenzstückzahl für drei verschiedene
Werte der Einzelteilstreuung und ein mittleres Einzelteilgewicht von 10 Digit
38 BK - Okt. 1999

Zählfehler für 99% ( - - ) bzw. 99,9% statistische Sicherheit
Zählfehler für 99% ( - - ) bzw. 99,9% statistische Sicherheit
3.0%
2.0%
1.0%
0.0%
1,0%
0,8%
0,6%
0,4%
0,2%
0,0%
W(1) = 10 digit - nx = 10 000
sW1/W(1)=1%
100-fache Referenzauflösung
sW1/W(1)=5%
sW1/W(1)=0,1%
0 100 200 300 400 500
nref
W(1) = 10 digit - nx = 10 000
100-fache Referenzauflösung
sW1/W(1)=0,1%
sW1/W(1)=1%
0 20 40 60 80 100
nref
Abbildung 18: Relativer Zählfehler in Abhängigkeit von der Referenzstückzahl für drei verschiedene
Werte der Einzelteilstreuung und ein mittleres Einzelteilgewicht von 10 Digit
39 BK - Okt. 1999

Zählfehler für 99% ( - - ) bzw. 99,9% statistische Sicherheit
Zählfehler für 99% ( - - ) bzw. 99,9% statistische Sicherheit
3.0%
2.0%
1.0%
0.0%
1.5%
1.0%
0.5%
0.0%
W(1) = 100 digit – nx = 10 000
sW1/W(1)=1%
sW1/W(1)=5%
sW1/W(1)=0,1%
0 100 200 300 400 500
nref
W(1) = 100 digit - nx = 10 000
sW1/W(1)=1%
sW1/W(1)=0,1%
sW1/W(1)=5%
0 20 40 60 80 100
nref
Abbildung 19: Relativer Zählfehler in Abhängigkeit von der Referenzstückzahl für drei verschiedene
Werte der Einzelteilstreuung und ein mittleres Einzelteilgewicht von 100 Digit
40 BK - Okt. 1999

Zählfehler für 99% ( - - ) bzw. 99,9% statistische Sicherheit
Zählfehler für 99% ( - - ) bzw. 99,9% statistische Sicherheit
3,0%
2,0%
1,0%
0,0%
1.0%
0.8%
0.6%
0.4%
0.2%
0.0%
W(1) = 100 digit - nx = 10 000
sW1/W(1)=1%
10-fache Referenzauflösung
sW1/W(1)=5%
sW1/W(1)=0,1%
0 100 200 300 400 500
nref
W(1) = 100 digit - nx = 10 000
10-fache Referenzauflösung
sW1/W(1)=0,1%
sW1/W(1)=1%
0 20 40 60 80 100
nref
Abbildung 20: Relativer Zählfehler in Abhängigkeit von der Referenzstückzahl für drei verschiedene
Werte der Einzelteilstreuung und ein mittleres Einzelteilgewicht von 100 Digit
41 BK - Okt. 1999

Berechnung der Zählgenauigkeit – Musterausdrucke der EXCEL-Datei Z-GENAU
Mithilfe der EXCEL-Datei Z-GENAU.XLS kann einfach der Zählfehler für jede Zählaufgabe errechnet
werden. Von mindestens 6, besser 10 sorgfältig ausgewählten repräsentativen (s. S. 24) Einzelteilen
wird das Einzelgewicht bestimmt und in die grau unterlegten Felder eingegeben.
Der Mittelwert und die Standardabweichung werden berechnet und als wesentliche Ergebnisse in
gelben Feldern abgegeben. (Das minimale und das maximale Gewicht sowie die relative Standardabweichung
werden zusätzlich in angegeben.)
In weitere graue Felder müssen Eingaben gemacht werden: erforderlich sind
• die (ungefähre) Zahl der zu zählenden Einzelteile,
• die Referenzstückzahl,
• die Ablesbarkeit der Waage
• die (interne) Ablesbarkeit der Waage bei der Referenzbestimmung bzw. die Ablesbarkeit der
Referenzwaage.
Es werden die in den ersten beiden Kapiteln erläuterten Formeln zur Berechnung des Ergebnis angewandt.
In dem Ergebnisfeld können dann die Standardabweichung des Zählergebnis als absolute Zahl
und als Prozentwert abgelesen werden.
Außerdem werden für die statistischen Wahrscheinlichkeiten von 95 %, 99 % und 99,9 % die
maximale Abweichung von der Sollstückzahl und der relative Zählfehler angegeben.
Die folgenden Seiten zeigen als Beispiel Ausdrucke für verschiedene Zählbedingungen.
42 BK - Okt. 1999

Bestimmung der Zählgenauigkeit
Die Zählgenauigkeit wird im wesentlichen durch die Streuung des Gewichts der Einzelteile beeinflußt.
Deshalb müssen zunächst die Gewichte von 10 verschiedenen Einzelteilen bestimmt werden.
Das kleinste Teilegewicht sollte mindestens 10 Digit - bei höheren geforderten Genauigkeiten
100 Digit - der Waagenanzeige betragen.
Teil Einzelgewicht mg Statistische Auswertung
1 23,1000 mg größter Einzelwert 23,3000 mg
2 23,2000 mg
3 23,3000 mg kleinster Einzelwert 23,0000 mg
4 23,2000 mg
5 23,1000 mg maximale Abweichung 0,3000 mg
6 23,2000 mg (größter minus kleinster Wert)
7 23,1000 mg mittleres Gewicht d. Einzelteile 23,1600 mg
8 23,2000 mg
9 23,0000 mg Standardabweichung 0,0843 mg
10 23,2000 mg relative Standardabweichung 0,36 %
Notwendige Angaben zur Berechnung der Zählgenauigkeit
Anzahl der zu zählenden Teile (Sollstückzahl) 300
Referenzstückzahl 10
1 Digit der verwendeten Waage 0,1 mg
1 Digit der verwendeten (Referenz-)Waage oder der internen Auflösung 0,01 mg
Mengengewicht 6 948 mg
Ergebnis der Zählgenauigkeit
Standardabweichung der Stückzahl 0,351
Relative Standardabweichung der Stückzahl 0,12 %
Statistische Wahrscheinlichkeit
95% 99% 99,9%
Maximale Abweichung von der Sollstückzahl ± 1 1 1
Relativer Zählfehler ± 0,23% 0,30% 0,39%
Stückgenaues Zählen ist möglich nein nein nein
Erfüllt die Bedingung der FPVO ja ja ja
43 BK - Okt. 1999

Bestimmung der Zählgenauigkeit
Die Zählgenauigkeit wird im wesentlichen durch die Streuung des Gewichts der Einzelteile beeinflußt.
Deshalb müssen zunächst die Gewichte von 10 verschiedenen Einzelteilen bestimmt werden.
Das kleinste Teilegewicht sollte mindestens 10 Digit - bei höheren geforderten Genauigkeiten
100 Digit - der Waagenanzeige betragen.
Teil Einzelgewicht g Statistische Auswertung
1 2,0020 g größter Einzelwert 2,0020 g
2 2,0000 g
3 2,0000 g kleinster Einzelwert 1,9980 g
4 2,0010 g
5 2,0000 g maximale Abweichung 0,0040 g
6 2,0000 g (größter minus kleinster Wert)
7 1,9980 g mittleres Gewicht d. Einzelteile 2,0001 g
8 1,9990 g
9 2,0000 g Standardabweichung 0,0011 g
10 2,0010 g relative Standardabweichung 0,06 %
Notwendige Angaben zur Berechnung der Zählgenauigkeit
Anzahl der zu zählenden Teile (Sollstückzahl) 1 002
Referenzstückzahl 10
1 Digit der verwendeten Waage 0,1 g
1 Digit der verwendeten (Referenz-)Waage oder der internen Auflösung 0,01 g
Mengengewicht 2 004 g
Ergebnis der Zählgenauigkeit
Standardabweichung der Stückzahl 0,533
Relative Standardabweichung der Stückzahl 0,05 %
Statistische Wahrscheinlichkeit
95% 99% 99,9%
Maximale Abweichung von der Sollstückzahl ± 1 1 2
Relativer Zählfehler ± 0,10% 0,14% 0,18%
Stückgenaues Zählen ist möglich nein nein nein
Erfüllt die Bedingung der FPVO ja ja ja
44 BK - Okt. 1999

Fragen zum Thema Zählen
1. Auf welcher Grundgleichung basiert das „Zählen durch Wägen“?
2. Welche Größen beeinflussen die Zählgenauigkeit und welche hat den größten Einfluß?
3. Wie beeinflußt die Referenzstückzahl die Genauigkeit des Zählergebnis?
4. Was ist der Vorteil einer Referenzoptimierung? Innerhalb welchen Bereiches soll die Erhö-
hung der Stückzahl liegen?
5. Was versteht man unter einer „repräsentativen Probenahme“ und warum ist die Probenah-
me bei der Auswahl der Referenzteile von so entscheidender Bedeutung?
6. Können Sie die Standardabweichung für die folgende Reihe von Einzelmeßwerten bestim-
men?
11,10 g / 10,98 g / 10,96 g / 10,99 g / 11,02 g / 11,06 g / 11,02 g / 11,00 g / 11,03 g /
10,92 g
7. Falls Sie die Standardabweichung „zu Fuß“ berechnet haben, kennen Sie schon den Mittel-
wert der oberen Meßwerte, falls Sie einfach die entsprechende EXCEL-Funktion benutzt ha-
ben, dann setzten Sie jetzt bitte die Funktion zur Berechnung des Mittelwertes ein! Wie groß
ist die relative Standardabweichung?
8. Welche Waage empfehlen Sie jemandem, der Teile des Beispiels von Frage 6 „stückgenau“
zählen will, in Einheiten von jeweils 800 Stück?
45 BK - Okt. 1999

Hinweise zur Beantwortung der Fragen
1. n W n
x = x ⋅
W
ref
ref
2. Den größten Einfluß auf die Zählgenauigkeit hat die Streuung des Einzelteilgewichts.
Andere Einflußgrößen: Referenzstückzahl, Mengenstückzahl, Streuung des Referenzge-
wichts, Streuung des Mengengewichts
3. Je größer die Referenzstückzahl, desto größer wird im allgemeinen die Zählgenauigkeit.
4. Bei großen Referenzstückzahlen muß man nicht alle Teile einzeln abzählen sondern nur z.
B. die ersten 10 oder 15. Die Wahrscheinlichkeit eines Zählfehlers bei der Referenzstück-
zahlbestimmung wird herabgesetzt.
Bei der Erhöhung der Referenzstückzahl bei der Referenzoptimierung soll die Stückzahl um
mindestens 2 Teile erhöht werden, es darf höchstens die doppelte Anzahl der ursprüngli-
chen Referenzstückzahl verwendet werden.
5. Beschreibung einer Probenahme s. S. 24.
Aus den Eigenschaften (hier dem Wägewert) von wenigen Teilen wird – mit Hilfe statisti-
scher Methoden – auf die Eigenschaften einer großen Anzahl von Teilen geschlossen. Wenn
die Referenzteile nicht die Gesamtheit aller Teile repräsentieren, fehlt die Grundvorrausset-
zung für die Anwendbarkeit der statistischen Berechnungen.
6. Die Berechnung erfolgt nach der allgemeinen Formel (Gleichung 6, Grundlagen der Stati-
stik)
s =
n 1
⋅ −
n −1 ∑ ( xi x)
i= 1
2
= ± 0,051g
In EXCEL entspricht das der Funktion STABW(...) nicht der Funktion STABWN(…)!
7. Der Mittelwert x beträgt 11,01 g. (Entspricht der EXCEL-Funktion MITTELWERT(…).)
Die relative Standardabweichung beträgt s
x
= 0,0046 = 0,46% .
8. Aus Tabelle 5, S. 23 folgt, daß stückgenaues Zählen bei 1000 Teilen bei einer relativen
Standardabweichung der Einzelteile von 0,5 % nicht möglich ist. Aus Tabelle 4, S. 22, folgt,
daß ein Fehler von ± 0,1 % oder ± 1 auf 1000 Teile z. B. bei einer Ablesbarkeit der Waage
von 1 g und 100-facher interner Auflösung oder bei einer Ablesbarkeit der Waage von
0,1 g und 10-facher interner Auflösung und einer Referenzstückzahl von 279
(Referenzoptimierung einsetzen!) erreicht werden kann.
Wenn Sie die EXCEL-Datei Z-GENAU.XLS verwenden, finden Sie heraus, daß bei einer Refe-
renzstückzahl von 290 mit 95 %iger statistischer Sicherheit stückgenaues Zählen unter den
vorgegebenen Bedingungen möglich ist, nicht jedoch mit 99 %iger oder sogar 99,9 %iger
Sicherheit. Das bedeutet, von 100 Zählvorgängen werden 95 mal wirklich 800 Stück abge-
46 BK - Okt. 1999

wogen werden, in 5 von 100 Fällen kann bei einer Anzeige im Waagendisplay von 800
Stück die wirkliche Stückzahl auch 801 oder 799 betragen.
47 BK - Okt. 1999

Register
A
Ablesbarkeit • 18
Auflösung • 18
D
Digit • 14
F
Fehler • 5
G
Gaußsche Normalverteilung • 9
Gaußverteilung • 24
Genauigkeit • 11
Gesamtheit • 24
H
Häufigkeitsverteilung • 25
M
Maximallast • 18
Mengengewicht • 24
Mittelwert • 5; 6
Mittleres Gewicht • 4
N
Näherung der Standardabweichung • 7
P
Probenahme • 24
Probenahmefehler • 24
R
Referenzgewicht • 16; 24
Referenzmenge • 4
Referenzoptimierung • 16
Referenzstückzahl • 4, 16
Relative Standardabweichung • 7; 18; 19; 42;
45; 46
S
Standardabweichung • 6; 9; 24
Statistische Sicherheit • 9
Statistischer Fehler • 4; 24
Streubereich der Einzelwerte • 9
Streuung • 7; 24
Stückgenaues Zählen • 15
Stückzahl • 4; 24
Summenverteilung • 24
Systematischer Fehler • 5; 24
V
Varianz • 7
Verteilungskurve • 8
W
Wägewert • 4; 5; 46
Wahrer Wert • 6
Wahrscheinlichkeit • 24
Z
Zählfehler • 11; 16; 24
Zählgenauigkeit • 13; 14; 18
Zählwaage • 3; 18
Zufällige Fehler • 5
48 BK - Okt. 1999