Pulverfließeigenschaften - Lehrstuhl Mechanische Verfahrenstechnik
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360<br />
6 Transport und Lagerung von Partikelsystemen .................................. 361<br />
6.1 Molekulare Wechselwirkungen und Partikelhaftkräfte .............. 361<br />
MVT_e_6neu <strong>Mechanische</strong> <strong>Verfahrenstechnik</strong> - Partikeltechnologie Schüttgutspeicherung Prof. Dr. J. Tomas,<br />
10.10.2012<br />
6.1.1 Bindung durch Adhäsionskräfte zwischen den Partikeln ... 362<br />
6.1.1.1 Bindungsarten ................................................................. 362<br />
6.1.1.2 Adhäsionskräfte .............................................................. 363<br />
6.1.1.2.1 Wasserstoffbrückenbindungen.................................. 363<br />
6.1.1.2.2 VAN-DER-WAALS-Kräfte ..................................... 364<br />
6.1.1.2.3 Mikromechanische Bewertung des Haftvermögens . 368<br />
6.1.1.2.4 elektrostatische Kräfte .............................................. 369<br />
6.1.1.2.5 Vergleich der Adhäsionskräfte ................................. 371<br />
6.1.1.2.6 Oberflächenrauhigkeit und VAN-DER-WAALS-Kräfte<br />
.................................................................................. 372<br />
6.1.1.2.7 Haftkraftminimum beschichteter Partikel ................. 373<br />
6.1.1.2.8 Zugabemenge an Nanopartikel ................................. 374<br />
6.1.1.2.9 Rauhigkeitseinfluß auf die Adhäsionskräfte ............. 377<br />
6.1.1.3 Mikromechanik der Kontaktdeformation und Haftkraftver-<br />
stärkung ........................................................................... 378<br />
6.1.1.4 Einfluss von Adsorptionsschichten................................. 383<br />
6.1.1.5 Modellierung der Schüttgut- bzw. Agglomeratfestigkeit385<br />
6.1.2 Bindung mit Hilfe benetzender Flüssigkeiten ................... 386<br />
6.1.2.1 Bindung durch Flüssigkeiten niedriger Viskosität .......... 386<br />
6.1.2.1.1 Kapillarkraftmodell ................................................... 387<br />
6.1.2.1.2 Zerreißarbeit einer Flüssigkeitsbrücke ...................... 390<br />
6.1.2.1.3 Viskose Bindekraft ................................................... 391<br />
6.1.2.1.4 Einaxiale Zugfestigkeit ............................................. 392<br />
6.1.2.2 Flüssigkeitsbindung in Partikelpackungen ..................... 392<br />
6.1.2.3 Bindung durch Flüssigkeiten hoher Viskosität ............... 394<br />
6.1.3 Bindung durch Festkörperbrücken ...................................... 395<br />
6.1.3.1 Kristallisationsbrücken ................................................... 395<br />
6.1.3.2 chemische Brückenbindungen ........................................ 396<br />
6.1.3.3 Sinterbrücken .................................................................. 397<br />
6.1.4 Formschlüssige Bindungen ................................................. 400<br />
6.2 Spannungszustand und Fließverhalten von Schüttgütern ........... 400<br />
6.2.1 Ruhedruckbeiwert ............................................................... 401<br />
6.2.2 Herleitung des MOHRschen Spannungskreises ................. 402<br />
6.2.3 Bruchhypothesen und Fließkriterien ................................... 404<br />
6.2.4 Fließkennwerte von Schüttgütern ....................................... 409<br />
6.2.4.1 Fließfunktion................................................................... 409<br />
6.2.4.2 Kompressionsfunktion .................................................... 410<br />
6.2.5 Messung der Fließeigenschaften von Schüttgütern ............ 412
6.3 Lagerung von Schüttgütern ........................................................ 414<br />
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6.3.1 Verfahrenstechnische Probleme mit Silos und Bunkern .... 414<br />
6.3.2 Auslegung von Silos und Bunker ....................................... 414<br />
6.3.2.1 Auslegungsschritte einer Speicheranlage ....................... 414<br />
6.3.2.2 Auslegung eines Massenflusstrichters ............................ 415<br />
6.3.2.3 Auslegung eines Kernflusstrichters ................................ 417<br />
6.3.2.4 Austraggeräte und Austraghilfen .................................... 418<br />
6.4 Verweilzeitverhalten bei stationärem Partikeltransport ............. 419<br />
6.4.1 Verweilzeitverteilungsfunktion und –verteilungsdichte .... 419<br />
6.4.2 Charakteristische Prozessmodelle des Verweilzeitverhaltens421<br />
6.4.3 Lösung der zweiten KOLMOGOROFF-Differentialgleichung<br />
............................................................................................ 424<br />
6.5 Schwerpunkte und Kompetenzen ............................................... 427<br />
6 Transport und Lagerung von Partikelsystemen<br />
Gliederung: Folie 6.1<br />
• Besonderheit der Schüttgutlagerung in Behältern: Folie 6.2<br />
• Schüttgutmengen: Folie 6.3<br />
• Übersicht über Eigenschaftsfunktionen: Folie 6.4<br />
• Modellhierarchie - multiskalige Modelle: Folie 6.5<br />
6.1 Molekulare Wechselwirkungen und Partikelhaftkräfte<br />
Die Wechselwirkungen in dispersen Stoffsystemen spielen für eine Reihe verfahrenstechnischer<br />
Prozesse eine sehr wichtige Rolle und sind dann auch Gegenstand<br />
einer Prozessführung. Sie lassen sich mikroskopisch mit den Wechselwirkungspaar-Potentialen<br />
zwischen Atomen, Ionen sowie Molekülen und<br />
mit den daraus resultierenden Potentialkräften hinreichend genau beschreiben<br />
( Folie 6.6).<br />
Zwischen benachbarten Partikeln bzw. zwischen Partikeln und Dispersionsmittel<br />
wirken immer VAN-DER-WAALS-Kräfte (Folie 6.7). Hinzu können elektrostatische<br />
Kräfte und noch andere Wechselwirkungen kommen (Kapillarkräfte,<br />
magnetische Kräfte u.a.). Die Wechselwirkungen zwischen festdispersen<br />
Partikeln sind für die Agglomeration (Pelletieren, Brikettieren, Tablettieren<br />
u.a.) sowie für deren Flockung bzw. Dispergierung in Suspensionen<br />
wesentlich. Unter Koaleszenz versteht man das vollständige Vereinigen von<br />
fluiddispersen Partikeln (Tropfen, Blasen) in einem Fluid nach erfolgter An-<br />
361
362<br />
näherung. Die Flüssigkeitsbindungen einem körnigen Gut werden ebenfalls<br />
durch die im System vorhandenen Wechselwirkungen bestimmt. Ähnliches gilt<br />
für das Fließverhalten von Schüttgütern. Im Folgenden werden einige wich-<br />
tige Wechselwirkungen für festdisperse Systeme besprochen. Es lassen sich<br />
folgende Bindungen zwischen Feststoffpartikeln abgrenzen (Folie 6.8):<br />
a) Bindung durch Adhäsionskräfte unmittelbar zwischen den Partikeln,<br />
b) Bindung mit Hilfe benetzender Flüssigkeiten niedriger Viskosität,<br />
c) Bindung durch hochviskose Bindemittel,<br />
d) Bindung durch Festkörperbrücken,<br />
e) formschlüssige Bindung.<br />
6.1.1 Bindung durch Adhäsionskräfte zwischen den Partikeln<br />
6.1.1.1 Bindungsarten<br />
Ganz allgemein kann man bezüglich chemischer Bindungsaktivität der Stoffe<br />
unterscheiden zwischen (siehe Hütte (1991), S. B 153):<br />
- chemisch inaktiv (Edelgase):<br />
Atome mit voll gefüllter äußerer Elektronenschale, hohe Energie (Ionisierungsenergie)<br />
notwendig zum Abtrennen von Valenzelektronen (8.<br />
Hauptgruppe: He, Ne, Ar, Kr)<br />
- chemisch aktiv:<br />
Atome, die 1 oder 2 Elektronen in der äußeren Schale enthalten und sich bei<br />
Elektronenabgabe zu positiv geladenen Kationen umwandeln (1. Hauptgruppe:<br />
Li, Na, K; 2. Hauptgruppe: Mg, Ca) oder denen sie fehlen und sich<br />
bei Elektronenaufnahme zu negativ geladenen Anionen umwandeln (6.<br />
Hauptgruppe: O, S; 7. Hauptgruppe: F, Cl, B).<br />
Wenn man nun einen Festkörper unter Höchstvakuum zerbrechen würde und<br />
anschließend die Bruchstücke wieder exakt zusammenfügen könnte, so würden<br />
erneut dieselben Bindekräfte wirksam, die die Kohäsion in Festkörpern bestimmen<br />
(= chemische Bindungen). Sobald sich aber auf den Bruchflächen<br />
Adsorptionsschichten gebildet haben - und dies geschieht in einer Gasatmosphäre<br />
oder in einer Flüssigkeit sofort - werden diese starken Hauptvalenzbindungen<br />
- homöopolare (= kovalente Bindung):<br />
Bildung gemeinsamer Elektronenpaare der Partner, Überlappung von Atomorbitalen<br />
(Molekülorbitalmodelle), gerichtet mit räumlicher Vorzugsrich-<br />
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tung, z.B. Hartstoffe (Karbide, Nitride), Atomkristalle: nichtmetallische<br />
Kristalle aus einer einzigen Atomsorte, z.B. Diamant, Si, P, As, S<br />
- heteropolare (= Ionenbindung):<br />
Valenzelektronen werden von einem Atom abgegeben und vom anderen<br />
aufgenommen, ungerichtete elektrostatische (COULOMB-) Anziehungskraft<br />
zwischen Anion (- geladen) und Kation (+ geladen) in einem Ionengitter (=<br />
Ionenkristall), Ionenkristalle bestehen aus mindestens 2 Atomsorten, insbesondere<br />
mit Metallionen, z.B. Salze, NaCl, CaF2, Oxidkeramik, MgO, Minerale<br />
und<br />
- metallische Bindungen (= „Elektronengas-Modell“):<br />
frei bewegliche Valenzelektronen im Kristallgitter aus Metallkationen, Kristallorbitalmodell,<br />
ungerichtet<br />
mehr oder weniger vollständig abgesättigt. Sie scheiden deshalb als Adhäsionskräfte<br />
zwischen Partikeln weitgehend aus. Folglich werden damit sog.<br />
schwache Nebenvalenzbindungen zwischen den Atomen, Ionen oder Molekülen<br />
der kontaktierenden Partikeln wirksam:<br />
� Wasserstoffbrückenbindungen<br />
� VAN-DER-WAALS-Kräfte und<br />
� elektrostatische Kräfte<br />
6.1.1.2 Adhäsionskräfte<br />
6.1.1.2.1 Wasserstoffbrückenbindungen<br />
Gerichtete Bindungsbrücke zwischen einem elektronegativen Atom (z.B. O, N,<br />
F, Cl), an das der Wasserstoff kovalent gebunden ist, und einem ebenfalls<br />
elektronegativen Atom eines Nachbarmoleküls, an das es mehr oder weniger<br />
physikalisch gebunden ist, und zwar aufgrund seiner Tendenz zu positiver Polarisation<br />
H + und seines geringen Durchmessers dH = 0,22 nm, schlüpft es als<br />
Brücke in die Gitterzwischenräume O - H--O.<br />
Der Atomkernabstand der H--O Bindung ist mit a = 0,176 nm größer als der<br />
einer intensiveren kovalenten O - H Bindung mit<br />
= r + r = ( 0,<br />
066 + 0,<br />
03)<br />
nm = 0,<br />
096 nm ≈ 0,<br />
1 nm ,<br />
a O H<br />
aber kleiner als der Abstand gebildet durch die beiden Atomradien von<br />
= r + r = 0,<br />
15 nm + 0,<br />
11 nm = 0,<br />
26nm<br />
a O H<br />
einer schwächeren VAN-DER-WAALS-Bindung.<br />
Wasserstoffbrückenbindungen treten zwischen -OH, -NH2 oder ähnlichen<br />
Gruppen in den Partikeloberflächen bzw. in den adsorbierten Hydrathüllen der<br />
Oberflächen auf. Bei wasserstoffhaltigen Stoffen sind sie neben den VAN-<br />
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364<br />
DER-WAALS-Bindungen auch am Zusammenhalt des Molekülverbandes be-<br />
teiligt. Sie sind für Struktur und Eigenschaften beispielsweise des flüssigen und<br />
festen Wassers, der Tonminerale oder Proteine von wesentlicher Bedeutung.<br />
6.1.1.2.2 VAN-DER-WAALS-Kräfte<br />
VAN-DER-WAALS-Kräfte sind immer vorhanden, wenn Atome bzw. Moleküle<br />
aufeinander wirken. Sie ergeben sich aufgrund der elektrischen Dipolmomente<br />
von Atomen und Molekülen.<br />
Sie werden durch:<br />
- Orientierungskräfte = Anziehung zwischen permanenten elektrischen<br />
Dipolen, bei polaren Molekülen (z.B. HCl, H2O, NH3) und zwischen Ionen<br />
und permanenten elektrischen Dipolen,<br />
- Induktionskräfte = Anziehung zwischen permanenten Dipolen oder Ionen<br />
und induzierten Dipolen bei symmetrischen Molekülen ohne permanentem<br />
Dipolmoment (z.B. CO2, CH4),<br />
- Dispersionskräfte = Anziehung zwischen ursprünglich unpolaren aber infolge<br />
der Elektronenbewegung (Elektronenresonanz ausgelöst durch Lichtabsorption<br />
im UV-Wellenlängenbereich λ ≈ 100 nm bzw. νe ≈ 3,0⋅10 15 Hz;<br />
vergleiche Frequenzbereich des sichtbaren Lichtes ν = (3,8...7,7)⋅10 14 Hz,<br />
Wellenlängen λ = 790...390 nm) in den Bindungsorbitalen dann folgende<br />
induzierte elektrische Dipole zwischen Atomen und bei unpolaren Molekülen,<br />
z.B. Kohlenwasserstoffe,<br />
verursacht. Falls solche nicht permanent oder induziert vorliegen, so existieren<br />
sie doch kurzzeitig, weil Atome und Moleküle elektrische Systeme mit bewegten<br />
Ladungen, also elektrische Oszillatoren mit bewegten Ladungsschwerpunkten<br />
(Dispersion), darstellen.<br />
Van-der-Waals-Kristalle: z.B. feste Edelgase bei sehr tiefen Temperaturen,<br />
Molekülgitterkristalle wie fester Wasserstoff oder alle Kristalle organischer<br />
Verbindungen.<br />
Wenn man zwei größere, harte Körper mit ebenen, aber rauhen Oberflächenteilen<br />
aufeinander legt, so wird man beim anschließenden Abheben eines Körpers<br />
die Adhäsionskraft (= Oberflächenkraft) im Vergleich zur Gewichtskraft (=<br />
Volumenkraft) überhaupt nicht bemerken. Mit abnehmender Größe eines Adhäsionspartners<br />
wächst jedoch für ihn das Verhältnis<br />
F π / 2 ⋅ d ⋅ W<br />
H<br />
A,<br />
ss 1<br />
= ∝ , ( 6.1)<br />
2<br />
F m ⋅ g d<br />
G<br />
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P<br />
so dass z.B. das Haften feinster Partikeln an senkrechten oder überhängenden<br />
Wänden oder die Agglomeration feinster Partikeln zu beobachten sind, siehe
dazu auch im Abschnitt 6.1.1.2.3 die Tabelle 6.2. WA,ss ist im Sinne einer cha-<br />
rakteristischen Stoffkonstanten die flächenbezogene Wechselwirkungsarbeit<br />
(= Adhäsionsarbeit, siehe Gl.( 6.2)) zweier kontaktierender ebener Oberflächen<br />
des betrachteten Stoffsystems, die notwendig ist, um sie auf einen unendlichen<br />
Abstand a → ∞ zu entfernen.<br />
Andererseits sind diese Kraftwirkungen deutliche erkennbar, wenn man Körper<br />
mit ebenen und glatten Oberflächen aufeinander legt. Dies veranschaulicht die<br />
Tatsache, dass die Adhäsionskräfte FH von der Anzahl der wechselwirkenden<br />
Kontaktstellen abhängen. Letztere werden zunächst von der Größe der Haftflächen<br />
der Adhäsionspartner und weiter entscheidend von der Oberflächenrauhigkeit<br />
mitbestimmt.<br />
Die Kontakte zwischen den Partnern kann man verbessern, indem man sie mit<br />
einer Normalkraft aneinanderpresst (siehe auch Gl.( 6.51)). Dies wirkt sich für<br />
die Haftung umso stärker aus, je leichter verformbar diese sind. Für diese<br />
Haftverstärkung ist nur die inelastische Verformung wesentlich, weil sie<br />
nicht den Aufbau größerer innerer Spannungen zur Folge hat. Jedoch vollziehen<br />
sich Verformungen (elastisch oder inelastisch) auch unter der Wirkung der<br />
Adhäsionskräfte selbst, wodurch sich aus dem zunächst punktförmigen Anfangskontakt<br />
eine Kontaktfläche entwickelt.<br />
Aus dem Vorstehenden werden auch die großen Schwierigkeiten deutlich, die<br />
einer theoretischen Berechnung der Adhäsionskräfte entgegenstehen, weil diese<br />
nicht nur von<br />
� Größe und Abstand der Adhäsionspartner, sondern auch von<br />
� der Partikelform (einschließlich Oberflächenrauhigkeit),<br />
� der Verformbarkeit (Oberflächenhärte) oder Steifigkeit der Kontakte,<br />
� den Adsorptionsschichten<br />
mitbestimmt werden. Infolgedessen können die zu behandelnden vereinfachten<br />
Modelle keine zuverlässigen Angaben über deren absolute Größe liefern, weil<br />
diese schwierig erfassbaren Einflüsse die Haftkräfte für den Realfall über Größenordnungen<br />
hinweg modifizieren können.<br />
Zunächst geht es darum, auf der Grundlage des physikalischen Charakters dieser<br />
Wechselwirkungen die Kräfte zu bestimmen, mit denen Körper einfacher<br />
geometrischer Formen und ideal glatter Oberfläche aufeinander wirken. Dies<br />
geschieht, indem man die Partnersysteme<br />
- Kugel/Kugel,<br />
- Platte/Kugel (bzw. sehr große Kugel/kleine Kugel) und<br />
- Platte/Platte<br />
betrachtet (Folie 6.7). DERJAGUIN summierte alle molekularen Wechselwirkungskräftepaare<br />
des mittleren Abstandes a eines idealisierten Kontaktes zweier<br />
steifer Kugeln (ohne Deformation) und erhielt mit dem mittleren<br />
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Partikelradius r1,2 = r/2 gemäß Gl.( 6.38) für die Adhäsionsarbeit zweier zu<br />
trennenden Oberflächen mit der oberflächenbezogenen Bindungsenergie<br />
einer Oberfläche σss:<br />
W , = 2 ⋅σ<br />
( 6.2)<br />
A ss<br />
H0<br />
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H<br />
ss<br />
F ≡ F ( a)<br />
= 2 ⋅ π ⋅ r ⋅ W ( a)<br />
= 4 ⋅ π ⋅ r ⋅ σ . ( 6.3)<br />
1,<br />
2<br />
A<br />
Diese DERJAGUIN-Approximation führt zu den folgenden Spezialfällen:<br />
1,<br />
2<br />
Modellkörper Haftkraft Gl.Nr. Haftkraft Gl.Nr.<br />
zwei identische Kugeln in<br />
einer Flüssigkeit<br />
zwei identische Kugeln im<br />
Vakuum (svs ≡ ss)<br />
eine Kugel auf flacher Oberfläche<br />
im Vakuum<br />
eine Kugel auf flacher Oberfläche<br />
in Gas<br />
F σ<br />
H = 2⋅<br />
π⋅<br />
r ⋅ sls ( 6.4)a<br />
F σ<br />
H = 2 ⋅ π ⋅ r ⋅ svs ( 6.4)b<br />
F σ<br />
H = 4 ⋅ π ⋅ r ⋅ svs ( 6.4)c<br />
H = 4 ⋅ π ⋅ r ⋅ sgs ( 6.4)d<br />
F σ<br />
ss<br />
F<br />
F<br />
F<br />
F<br />
H<br />
H<br />
H<br />
H<br />
C<br />
=<br />
⋅ r<br />
H , sls<br />
2<br />
12 ⋅ aF<br />
= 0<br />
C<br />
=<br />
12<br />
( 6.5)b<br />
C<br />
=<br />
C<br />
=<br />
6<br />
( 6.5)d<br />
⋅ r<br />
H,<br />
svs<br />
2<br />
⋅ a F=<br />
0<br />
⋅ r<br />
H , svs<br />
2<br />
6 ⋅ aF<br />
= 0<br />
⋅ r<br />
H,<br />
sgs<br />
2<br />
⋅ a F=<br />
0<br />
Tabelle 6.1: Modellkörper der DERJAGUIN-Approximation<br />
( 6.5)a<br />
( 6.5)c<br />
Gemäß Tabelle 6.1 lässt sich für die spezifisch freie Grenzflächenenergie σss<br />
des ursprünglichen Platte-Platte-Kontaktes auch allgemein unabhängig von<br />
der Partikeloberflächenform schreiben<br />
CH<br />
, s(<br />
v,<br />
g,<br />
l)<br />
s<br />
σ s(<br />
v,<br />
g,<br />
l)<br />
s =<br />
. ( 6.6)<br />
2<br />
24 ⋅π<br />
⋅ aF<br />
= 0<br />
Sie kann als charakteristische Stoffeigenschaftsfunktion betrachtet werden, die<br />
insbesondere von der HAMAKER-Konstante CH,ss und somit von den dielektrischen<br />
Eigenschaften des Partikelmaterials abhängt. Für die Berechnung der<br />
VAN-DER-WAALS-Wechselwirkungen von Partikeln lassen sich zwei theoretische<br />
Ansätze unterscheiden:<br />
a) Das Teilchenmodell (sog. mikroskopische Berechnung) geht vom Prinzip<br />
der Additivität der einzelnen Wechselwirkungen von Atom- bzw. Molekülpaaren<br />
(LONDON) aus, so dass die VAN-DER-WAALS-Kräfte zwischen<br />
den Körpern durch Integration über alle Paare von Atomen<br />
und Molekülen berechnet werden (DE BOER, HAMAKER, CH-Konstante).<br />
Der Zusammenhang zwischen den beiden charakteristischen Materialeigen-
schaftsfunktionen HAMAKER-Konstante CH und Konstante für das<br />
Anziehungspotential A (siehe MVT_e_2neu.doc#MIE_Potential) ist für die<br />
beiden Haftpartner s1 und s2 mit dem Molekülvolumen VM, einer<br />
Molekülzahldichte (svw. Dipolzahldichte) ρn, der Molekülpackungsdichte<br />
εM ≈ π/6 und mit dem mittleren Molekülpackungsdurchmesser dM:<br />
M,<br />
s1<br />
s1<br />
A<br />
ρ n,<br />
s1=<br />
=<br />
=<br />
( 6.7)<br />
3<br />
VM,<br />
s1<br />
π⋅<br />
d M,<br />
s1<br />
Ms1<br />
C<br />
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1 6 ⋅ ( 1−<br />
ε ) ρ ⋅N<br />
2<br />
2 s1,<br />
s2<br />
H,<br />
s1,<br />
s2<br />
= π ⋅ ρn<br />
, s1<br />
⋅ ρn<br />
, s2<br />
⋅ As1,<br />
s2<br />
= π ⋅ . ( 6.8)<br />
3 3<br />
d M,<br />
s1<br />
⋅ d M,<br />
s2<br />
b) Das Kontinuumsmodell (sog. makroskopische Berechnung) geht von den<br />
optischen (Wellen-) Eigenschaften der wechselwirkenden Körper aus. Hier-<br />
bei werden die VAN-DER-WAALS-Kräfte aus dem imaginären Teil der<br />
komplexen frequenzabhängigen Dielektrizitätskonstanten (Permittivitäten)<br />
εr(iν) und Brechungsindizes n(iν) bestimmt. Es fließen auch die optischen<br />
und elektrischen Eigenschaften von Adsorptionsschichten zwischen den<br />
Wechselwirkungspartnern ein (LIFSCHITZ, �ϖ -Konstante, siehe Tabelle<br />
3.3 im LB MVT S. 103).<br />
In der Folie 6.7 sind die Berechnungsformeln für ideal glatte Modellkörper<br />
zusammengestellt. Dabei sind diese weiterhin als ideal steif vorausgesetzt, d.h.,<br />
es tritt keine Verformung der Haftpartner im Kontaktbereich ein.<br />
Diese Beziehungen gelten für den unmittelbaren Nahbereich, d.h. Molekül-<br />
−2<br />
kernabstände a < 1 nm, z.B. a<br />
−2<br />
≈ ( 0,<br />
316 nm)<br />
19 −2<br />
= 10 m . Für größere Ab-<br />
F=<br />
0<br />
− 2 16 −2<br />
stände a > 10 nm ( a < 10 m ) sind die VAN-DER-WAALS-Kräfte mindes-<br />
tens drei Größenordnungen geringer und damit unbedeutend. Gewöhnlich wird<br />
für den unmittelbaren Kontakt von Kugel und Platte ein Gleichgewichtsabstand<br />
von a = aF=0 ≈ 0,3 ... 0,4 nm angenommen (etwa Größe eines Wassermoleküls).<br />
Die nach Folie 6.7 berechneten VAN-DER-WAALS-Kräfte sind in der Folie<br />
6.9 grafisch dargestellt<br />
F<br />
H,<br />
VdW<br />
C ⋅ d<br />
= , ( 6.9)<br />
12<br />
H<br />
2<br />
⋅ a F=<br />
0<br />
wobei hier für die Umrechnung (Absorptionsfrequenz ϖ ≡ 2πν e) gilt:<br />
C H<br />
3⋅�<br />
ϖ<br />
= . ( 6.10)<br />
4 ⋅π<br />
h = 4,136 10 -15 eV s Plancksches Wirkungsquantum (1 eV = 1,602 10 -19 J)<br />
= 6,626 10 -34 −34<br />
J s � = h /( 2π)<br />
= 1,<br />
05510<br />
J ⋅ s elementarer Drehimpuls<br />
e = 1,602 10 -19 C Elementarladung ( 1 C = 1 As)<br />
Im Folgenden wird daher nur noch die HAMAKER-Konstante verwendet.<br />
A<br />
367
368<br />
Zur physikalischen Bedeutung der HAMAKER-Konstanten:<br />
Die Konstante des Anziehungspotentiales A für niedrigmolekulare Gase am<br />
einfachsten aus den beiden gemessenen Stoffkonstanten der VAN-DER-<br />
WAALS-Gleichung berechnen, die für Zustände in der Nähe des Gaskondensationspunktes<br />
gilt (siehe J. ISRAELACHVILI: Intermolecular & Surface<br />
Forces, S. 24 und 91):<br />
⎛ a ⎞<br />
⎜<br />
⎜p<br />
+ ⋅(<br />
Vm<br />
− b)<br />
= R ⋅T<br />
2<br />
V ⎟<br />
( 6.11)<br />
⎝ m ⎠<br />
mit dem molaren Volumen oder Molvolumen (s. ideales Gasgesetz<br />
p ⋅ V = m / M ⋅R<br />
⋅T<br />
bzw. p ⋅ Vm<br />
= R ⋅ T )<br />
V m<br />
= M ⋅V<br />
/ m . ( 6.12)<br />
2<br />
Der sog. Binnen- oder Kohäsionsdruck a / Vm<br />
berücksichtigt bei der Kondensation<br />
die zunehmenden Wechselwirkungen der Moleküle untereinander und<br />
wirkt als Vergrößerung des Außendruckes p, d.h. pges = p + pVdW<br />
9 ⋅ a ⋅ b<br />
A = . ( 6.13)<br />
4 ⋅ π<br />
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10.10.2012<br />
2 3<br />
⋅ N A<br />
Z. B. für Wasserdampf ist a = 0,555 Nm 4 /mol 2 und b = 31,0⋅10 -6 m 3 /mol, siehe<br />
Hütte S. B 62, und damit ist die Anziehungskonstante dieser stark polaren Mo-<br />
−77<br />
6<br />
−77<br />
leküle A = ( 0,<br />
1044 ⋅10<br />
J ⋅ m ) ⋅ 0,<br />
555 ⋅ 31,<br />
0 = 1,<br />
8 ⋅10<br />
6<br />
J ⋅ m .<br />
Das sog. Covolumen b berücksichtigt das Eigenvolumen der Moleküle VM<br />
2⋅<br />
π⋅<br />
N A 3<br />
b = 4⋅<br />
N A ⋅ VM<br />
= ⋅d<br />
M ,<br />
3<br />
( 6.14)<br />
so dass sich daraus der Moleküldurchmesser dM berechnen lässt:<br />
1/<br />
3<br />
3 b<br />
d M<br />
2 N ⎟<br />
A<br />
⎟<br />
⎛ ⋅ ⎞<br />
= ⎜<br />
. ( 6.15)<br />
⎝ ⋅π<br />
⋅ ⎠<br />
−6<br />
3<br />
⎛ 3⋅<br />
31,<br />
0⋅10<br />
m / mol ⎞<br />
Für Wasserdampf ist d M = ⎜<br />
23<br />
2 6,<br />
022 10 / mol ⎟<br />
⎝ ⋅ π⋅<br />
⋅ ⎠<br />
= 0,<br />
291 nm . Damit ergibt<br />
sich eine für praktische Anwendungen allerdings zu hohe HAMAKER-<br />
2 A<br />
Konstante A = π ⋅ 6<br />
dM<br />
−77<br />
6<br />
2 1,<br />
8⋅10<br />
J ⋅ m<br />
= π ⋅<br />
−9<br />
6<br />
0,<br />
291⋅10<br />
m<br />
−20<br />
= 29,<br />
3⋅10<br />
J , sonst für Wasser<br />
( )<br />
etwa CH = 15⋅10 -20 J (paarweise Additivität) bzw.<br />
CH = 3,7⋅10 -20 J (Kontinuumstheorie).<br />
6.1.1.2.3 Mikromechanische Bewertung des Haftvermögens<br />
1/<br />
3
Gemäß dem Kugel-Platte-Modell Gl.( 6.9) wächst bei zunehmender Partikelg-<br />
röße d linear die Van-der-Waals-Kraft. Allerdings steigt die Gewichtskraft FG<br />
proportional zur dritten Potenz der Partikelgröße. Der Einfluss der Partikelgrö-<br />
ße lässt sich also am einfachsten durch das Verhältnis der Van-der-Waals-Kraft<br />
zur Gewichtskraft verdeutlichen, siehe auch Gl.( 6.1) im Abschnitt 6.1.1.2.2.<br />
Dies kann auch als Haftvermögen bezeichnet werden (g ist die Fallbeschleuni-<br />
gung und ρs die reine Feststoffdichte des Partikels):<br />
FVdW<br />
CH<br />
= 2 2<br />
F 2πρ<br />
g a ⋅d<br />
( 6.16)<br />
G<br />
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s<br />
Realistische Werte lassen sich nur mit einem charakteristischen Abstand a ge-<br />
winnen. Bei einem geringen Haftvermögen kleiner 1, also mit einer Gewichts-<br />
kraft > Van-der-Waals-Kraft, kann makroskopisch ein leicht bis frei fließendes<br />
rieselfähiges Pulver beobachtet werden. Umgekehrt erwartet man für Partikel<br />
mit einem Haftvermögen deutlich größer als 1 ein kohäsives Fließverhalten des<br />
Pulvers, siehe Tabelle 6.6 im Abschnitt 6.2.4. Eine praktikable Abschätzung<br />
des Haftvermögens lässt sich überschlägig mit der Gl.( 6.16)) vornehmen:<br />
F<br />
F<br />
VdW<br />
G<br />
( 100µm)<br />
2<br />
≈ ( 6.17)<br />
2<br />
d<br />
Daraus gewinnt man die Klassifizierung in der Tabelle 6.2, die eine realisti-<br />
sche Bewertung des Haftvermögens einer Vielzahl feiner bis nanoskaliger tro-<br />
ckener Pulver ermöglicht.<br />
Physikalisches<br />
Wirkprinzip<br />
Partikeldurchmesser<br />
d in µm<br />
FvdW/FG<br />
Bewertung<br />
10 – 100 1 – 100 gering adhäsiv<br />
1 – 10 100 – 10 4 adhäsiv<br />
0,01 – 1 10 4 – 10 8 sehr adhäsiv<br />
Tabelle 6.2: Überschlägige Bewertung des Haftvermögens (Haftkraftverhält-<br />
6.1.1.2.4 elektrostatische Kräfte<br />
nisse) feiner bis nanoskaliger Partikel<br />
Partikeln, die Ladungen unterschiedlichen Vorzeichens tragen, ziehen sich an<br />
(COULOMB-Kräfte). Unterschiedliche Ladungen können beim Kontakt<br />
durch Übertritt von Elektronen (Kontakt-Potential) entstehen /3.95//3.96/. Außerdem<br />
kann die Vorgeschichte, d.h. Kontakt und Reibung, bereits zu geladenen<br />
Partikeln geführt haben.<br />
In einem elektrischen Feld würde ein nicht leitendes Partikel polarisiert. Diese<br />
Ladungstrennung oder -polarisation bleibt auch bei Partikel-Platte-Kontakt<br />
369
370<br />
bestehen. Bei Bewegung eines leitenden Partikels zur positiven Elektrode würde<br />
dagegen dessen in Kontaktnähe konzentrierte, hohe negative Ladung sofort<br />
abfließen. Das Partikel nimmt nach Kontakt damit die Ladung der Kontaktelektrode<br />
an:<br />
+ + + + + + + + + + +<br />
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- - - - - - -<br />
+ + + + + +<br />
-<br />
+ + + + + + + + +<br />
+ + + + + +<br />
+ + + + + +<br />
nicht leitendes Partikel<br />
leitendes Partikel<br />
Bild 6.1: Aufladung von Partikeln im elektrischen Feld<br />
Ursache für Kontakt-Potentiale ist die unterschiedliche Elektronenaustrittsarbeit<br />
der Festkörper. Es wandern Elektronen vom Festkörper mit der kleineren<br />
Austrittsarbeit zu dem mit der größeren. Die Ladungen sind dabei in der Oberflächenschichte<br />
lokalisiert, deren Dicke<br />
- bei Metallen Bruchteile eines nm,<br />
- bei Halbleitern und<br />
- Nichtleitern bis zu 1 µm<br />
beträgt. Folglich ist die elektrostatische Anziehungskraft aufgrund des Kontakt-<br />
Potentials bei elektrischen Leitern größer als bei Nichtleitern, da sich die Ladungen<br />
im Kontaktbereich konzentrieren.<br />
Das Kontakt-Potential, das von der Stoffkombination und vom Oberflächenzustand<br />
der Partikeln abhängt, liegt vielfach zwischen U = 0,1...0,7 V.<br />
Bei der Berechnung der auf Kontakt-Potentiale zurückzuführenden elektrostatischen<br />
Haftkräfte muss von stark vereinfachten Modellvorstellungen ausgegangen<br />
werden, weil das elektronische Energiespektrum der Oberflächen gewöhnlich<br />
unbekannt ist. Hinzu kommt, dass diese Vorgänge in außerordentlich starkem<br />
Maße durch Adsorption und Oberflächenverunreinigungen beeinflusst<br />
werden, d.h., es tritt ein schneller Ladungsausgleich ein, der die Anziehungskräfte<br />
minimiert.<br />
In Folie 6.9 sind Adhäsionskräfte aufgrund von Kontakt-Potentialen mit berücksichtigt.<br />
Es fällt die ausgeprägte Abhängigkeit für elektrische Leiter vom<br />
Abstand der Adhäsionspartner 1/a 2 bzw. 1/a auf. Diese Gleichungen gelten für<br />
etwa a < d. Für wesentlich größere Abstände fällt die Anziehungskraft mit<br />
wachsendem Abstand praktisch stärker ab.<br />
Auf elektrischen Nichtleitern stellt man als Folge der Vorgeschichte, d.h.<br />
Kontakt und Reibung, häufig Überschussladungen fest. Die maximale beo-<br />
-
achtete Ladungsdichte q = Q/AS ≡ σmax beträgt etwa 10 2 e/µm 2 (mit der Ele-<br />
mentarladung e = 1,6⋅10 -19 As) /3.92//3.94/. Trotz des gegenüber den VAN-<br />
DER-WAALS-Kräften geringeren Betrages wirken elektrostatische Kräfte bei<br />
Isolatoren viel weit reichender als diese. Für vollkommene elektrische Isolato-<br />
ren und unter Voraussetzung der Gleichverteilung der Ladungen lassen sich die<br />
darauf zurückzuführenden Anziehungskräfte ebenfalls mit den in Folie 6.7 an-<br />
gegebenen Formeln berechnen /3.94/. In den Modellgleichungen ist keine Ab-<br />
standsabhängigkeit der elektrostatischen Kräfte von nicht leitenden Parti-<br />
keln enthalten. Es kann also a >> d sein. Dies wird bei der elektrischen Staub-<br />
abscheidung (siehe Elektrofilter MVT_e_4.doc Abschnitt 4.6.3.3) und bei der<br />
Elektrosortierung von Mineralen und Abfällen (siehe Elektroscheider<br />
AT_RC_33.doc und AT_RC_335.doc) verfahrenstechnisch ausgenutzt.<br />
6.1.1.2.5 Vergleich der Adhäsionskräfte<br />
In Folie 6.9a sind die Haftkräfte für das Modell glatte Kugel/glatte Platte bei<br />
Berührung in Abhängigkeit vom Kugeldurchmesser miteinander verglichen. Es<br />
ist auch das Kugelgewicht für ρs = 3000 kg/m 3 mit eingetragen, das unter den<br />
getroffenen Modellannahmen für Partikeln d < 100 µm klein im Vergleich zu<br />
den Haftkräften ist.<br />
Sind die Partikeln in einer Flüssigkeit dispergiert, so werden die VAN-DER-<br />
WAALS-Kräfte gegenüber den bisher erörterten Verhältnisse im Vakuum bzw.<br />
in einer Gasatmosphäre wesentlich vermindert /3.97/ und zwar in Anwesenheit<br />
von Wasser um den Faktor bis zu 1/100, mit oberflächenaktiven Substanzen<br />
sogar bis zu 1/5000, ⇒ Anwendung seit Jahrtausenden bei nasser Reinigung<br />
und „Wäschewaschen“.<br />
Für die Adhäsionskräfte zwischen zwei Partikeln muss dann zusätzlich deren<br />
Wechselwirkung mit den Flüssigkeitsmolekülen berücksichtigt werden. Dies<br />
wird beim Teilchenmodell erfasst, indem man eine modifizierte HAMAKER-<br />
Konstante CH,sls (solid-liquid-solid) einführt. Diese ergibt sich für zwei gleichartige<br />
Partikeln mit einer flüssig-analogen Adsorptionsschicht dazwischen zu:<br />
C = C + C − 2 ⋅ C . ( 6.18)<br />
H,<br />
sls<br />
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H,<br />
svs<br />
H,<br />
lvl<br />
H,<br />
svl<br />
CH,svs HAMAKER-Konstante der dispersen Phase mit „Vakuum“ dazwischen<br />
CH,lvl HAMAKER-Konstante des Dispergiermittels im „Vakuum“<br />
Unter der näherungsweise gültigen Voraussetzung, dass sich CH,svl als geometrisches<br />
Mittel von CH,svs und CH,lvl berechnen lässt<br />
C = C ⋅C<br />
, folgt: ( 6.19)<br />
H,<br />
svl<br />
H,<br />
svs<br />
H,<br />
lvl<br />
371
372<br />
H,<br />
sls<br />
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( ) 2<br />
C C<br />
C = − . ( 6.20)<br />
H,<br />
svs<br />
H,<br />
lvl<br />
Je mehr die HAMAKER-Konstanten der dispersen Phase und des<br />
Dispergiermittels übereinstimmen, desto geringer ist die Partikel-Partikel-<br />
Anziehung!<br />
Weiterhin ist in wässrigen Systemen zu beachten, dass der Gleichgewichtsabstand<br />
der Haftpartner durch abstoßende sterische Wechselwirkungen, die auf<br />
die Existenz von Hydrathüllen zurückzuführen sind (siehe VO MVA<br />
MFA_3.doc Abschn. 3.3), größer ist als in Luft bzw. Vakuum.<br />
6.1.1.2.6 Oberflächenrauhigkeit und VAN-DER-WAALS-Kräfte<br />
Die geringe Reichweite der VAN-DER-WAALS-Wechselwirkungen hat zur<br />
Folge, dass beim Kontakt von Partikeln die unmittelbare Oberflächengeometrie,<br />
d.h. der Krümmungsradius der Kontakte, für die Intensität der Wechselwirkungen<br />
sehr maßgeblich ist. Damit gewinnen Partikelform und Oberflächenrauhigkeit<br />
entscheidenden Einfluss auf die Haftkräfte steifer Partikel,<br />
wenn man die aus der Haftung resultierenden Kontaktverformungen, d.h. die<br />
elastischen und inelastischen Repulsionskräfte, ignoriert.<br />
Die Funktion, mit der sich die VAN-DER-WAALS-Kraft mit zunehmender<br />
Partikelgröße verändert, hängt folglich in starkem Maße von der Größe der<br />
Rauhigkeitserhebung ab - Modell von SCHUBERT und RUMPF:<br />
CH,<br />
sls ⎡ d d ⎤ r<br />
F H = FH<br />
0 = ⋅ ⎢<br />
+ 2 2 ⎥ . ( 6.21)<br />
12 ⎣(<br />
d r / 2 + a F=<br />
0 ) a F=<br />
0 ⎦<br />
In der eckigen Klammer der Gl.( 6.21) beschreibt der linke Summand<br />
( ) 2<br />
d / dr<br />
/ 2 + a F=<br />
0 die Wechselwirkungen zwischen der glatten steifen Platte<br />
mit der rauen steifen Kugel bei dem Oberflächenabstand dr/2 + aF=0 und der<br />
2<br />
rechte Summand d r / a F=<br />
0 die Wechselwirkungen zwischen der halbkugelförmigen<br />
steifen Rauhigkeit und der glatten steifen Platte bei einem Mindestabstand<br />
aF=0 (Summe der molekularen Anziehungs- und Repulsionskräfte ist Null,<br />
Index F = 0).<br />
Dies soll anhand Folie 6.9b demonstriert werden, in dem die Haftkräfte für ein<br />
Modell raue Kugel/glatte Platte dargestellt sind /3.92/. Die "Oberflächenrauhigkeit"<br />
wird von einer Halbkugel mit dem Durchmesser dr gebildet,<br />
die der Trägerkugel an der der Platte zugewandten Seite aufgesetzt ist. Verfolgt<br />
man in Folie 6.9b die VAN-DER-WAALS-Kraft zwischen einer rauen Kugel<br />
mit d = 100 µm mit einem variablen Rauhigkeitsradius (-höhe) hr = dr/2 und<br />
einer glatten Platte, so erkennt man, dass mit wachsendem dr = 2 . hr die VAN-<br />
DER-WAALS-Kraft zunächst bis zu einem Minimum abnimmt, um mit weiter
wachsendem dr schließlich wieder anzusteigen. Dieser Kurvenverlauf erklärt<br />
sich daraus, dass bei sehr kleinen Rauhigkeitserhebungen noch die auf die Trä-<br />
gerkugel wirkende Adhäsionskraft überwiegt, wobei sich aber mit wachsendem<br />
dr deren Abstand von der Platte vergrößert. Mit weiterer Vergrößerung von dr<br />
schließlich wird die VAN-DER-WAALS-Kraft der Rauhigkeitserhebung für<br />
die gesamte Adhäsionskraft entscheidend, und letztere steigt wegen der Zu-<br />
nahme von dr → d wieder an.<br />
Eine andere Darstellung des Rauhigkeitseinflusses auf die VAN-DER-<br />
WAALS-Kraft zeigt Folie 6.9b unten (nach H. SCUBERT) am Beispiel des<br />
gleichen Partnermodells wie in Folie 6.9b oben. Hier ist die Haftkraft in Ab-<br />
hängigkeit vom Kugeldurchmesser d mit dem Durchmesser dr einer halbkugel-<br />
förmigen Rauhigkeitserhebung als Parameter aufgetragen (HAMAKER-<br />
Konstante nach LIFSCHITZ CH = 19,1 . 10 -20 J; aF=0 = 0,4 nm). Man erkennt,<br />
dass je nach Größe der Rauhigkeitserhebung die Haftkraft für genügend kleine<br />
Partikel zunächst nur von dr abhängt.<br />
6.1.1.2.7 Haftkraftminimum beschichteter Partikel<br />
Dieses im Vorstehenden erläuterte Haftkraftminimum lässt sich makroskopisch<br />
zur Verbesserung der Fließfähigkeit trockener, feiner kohäsiver Pulver praktisch<br />
ausnutzen. Dazu wird das klassische Modell von SCHUBERT und<br />
RUMPF, Gl.( 6.21), erweitert, siehe Bild 6.2 :<br />
Bild 6.2: Zwei glatte steife Trägerpartikel der Größe d mit einem ideal steifen<br />
Nanopartikel der Größe dr im direkten Kontakt<br />
Wir betrachten nun die Wechselwirkungen zwischen zwei glatten Kugeln –<br />
sog. Trägerpartikel - gleichen Durchmessers d und einem Nanopartikel – ein<br />
sog. Gastpartikel, das als Abstandshalter (wie die Rauhigkeit) dazwischen<br />
wirkt und die VAN-DER-WAALS-Kraft reduziert. Für die Kugel-Kugel-<br />
Wechselwirkung beider Trägerpartikel wird jedoch statt 1/12 (Kugel-Platte-<br />
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d<br />
aF=0<br />
dr<br />
aF=0<br />
d<br />
373
374<br />
Modell) der Faktor 1/24 eingesetzt, siehe Gl.( 6.5)b. Der charakteristische Ab-<br />
stand beider Trägerkugeln setzt sich nun aus dem Durchmesser dr eines kugel-<br />
förmigen Gastpartikels und beiden Mindestabständen der Oberflächen aF=0<br />
zusammen dr + 2 . aF=0, Bild 6.2 :<br />
CH,<br />
sls ⎡ d d ⎤ r<br />
F H0<br />
= ⋅ ⎢<br />
+ 2 2 ⎥<br />
(6.22)<br />
24 ⎣(<br />
d r + 2 ⋅ a F=<br />
0 ) a F=<br />
0 ⎦<br />
Das Haftkraftminimum erhält man unter der Bedingung:<br />
dF<br />
d(<br />
d<br />
r<br />
)<br />
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0<br />
H 0 = (6.23)<br />
dF C 0 H,<br />
=<br />
d(<br />
d ) 24<br />
( −2)<br />
⋅ d 1 ⎤<br />
+ 0<br />
3 2 ⎥<br />
a<br />
F=<br />
0 F=<br />
0 ⎥⎦<br />
(6.24)<br />
H sls<br />
⋅<br />
=<br />
r<br />
⎡<br />
⎢<br />
⎢⎣<br />
( d + 2 ⋅ a )<br />
r<br />
Daraus folgt ein charakteristischer Durchmesser des Gastpartikels dr,min:<br />
d<br />
( −2)<br />
⋅ d<br />
+ 2 ⋅ a<br />
1<br />
+ 3 2<br />
a F=<br />
0<br />
= 0<br />
d<br />
2 ⋅ d<br />
+ 2 ⋅ a<br />
1<br />
= 3 2<br />
a F=<br />
0<br />
( r F=<br />
0 )<br />
3<br />
2<br />
( + 2 ⋅ a ) = 2 ⋅ d ⋅ a<br />
d r F=<br />
0<br />
F=<br />
0<br />
( )<br />
r<br />
F=<br />
0<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎜ ⎟<br />
⎠<br />
⎜<br />
⎛ 2 ⋅ d<br />
d = 3<br />
2<br />
, min 2 ⋅ d ⋅ a F=<br />
0 − 2 ⋅ a F=<br />
0 = a F=<br />
0 ⋅ 3 − 2<br />
⎝ a F=<br />
0<br />
r (6.25)<br />
Das Verhältnis der beiden Haftkräfte mit FH0(dr) und ohne Gastpartikel FH0(d)<br />
ist folglich:<br />
2<br />
F ( d ) ⎡ d d ⎤<br />
H 0 r<br />
r a F=<br />
0 1 d r<br />
= ⎢<br />
+ 2 2 ⎥ ⋅ =<br />
+ 2<br />
FH<br />
0(<br />
d)<br />
⎣(<br />
d 2 a ) a F 0 d ( d / a 2)<br />
d<br />
r + ⋅ F=<br />
0 = ⎦<br />
r F=<br />
0 +<br />
(6.26)<br />
Beispielsweise ergibt sich für ultrafeine Kugeln d = 10 µm mit aF=0= 0,4 nm:<br />
4<br />
2 d<br />
2 10 nm<br />
d a<br />
2 0,<br />
4nm<br />
3<br />
r , min F 0<br />
3<br />
2 = 14 nm<br />
a F 0<br />
0,<br />
4nm<br />
⎟ ⎟<br />
⎛ ⎞ ⎛<br />
⎞<br />
⎜<br />
⋅<br />
⎜ ⋅<br />
=<br />
⎟<br />
= ⋅<br />
⎜<br />
−<br />
⎟<br />
= ⋅<br />
−<br />
⎜<br />
⎝ = ⎠ ⎝<br />
⎠<br />
FH<br />
0(<br />
d r ) 1 d r 1 14 1<br />
=<br />
+ =<br />
+ =<br />
2<br />
2 4<br />
F ( d)<br />
d / a + 2 d 14 / 0,<br />
4 + 2 10<br />
H0<br />
( ) ( ) 469<br />
r<br />
F=<br />
0<br />
Mit einer Beschichtung aus Nanopartikel einer Größe von dr = 14 nm, die als<br />
Abstandshalter funktionieren, lässt sich die charakteristische Haftkraft eines<br />
ultrafeinen Pulvers (d = 10 µm) um den Faktor von etwa 2 . 10 -3 vermindern.<br />
Daraus ergibt sich die Frage, welche Zugabemenge in einer Partikelpackung<br />
erforderlich ist?<br />
6.1.1.2.8 Zugabemenge an Nanopartikel<br />
Die Beladung (Massenanteil) eines Kontaktes zweier monodisperser kugelförmiger<br />
Trägerpartikel der Größe d mit einer notwendigen Anzahl nr an<br />
nanoskaligen kugelförmigen Gastpartikeln (Index r) der Größe dr
3<br />
3<br />
n r ⋅ mr<br />
r s,<br />
r<br />
r r s,<br />
r r<br />
µ r,<br />
k = =<br />
= 3<br />
3<br />
(6.27)<br />
2 ⋅ mP<br />
2 ⋅ ρs<br />
⋅ π / 6 ⋅ d 2 ⋅ ρs<br />
⋅ d<br />
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10.10.2012<br />
n<br />
⋅ ρ<br />
⋅ π / 6 ⋅ d<br />
n<br />
⋅ ρ<br />
Die Anzahl der Gastpartikel nr kann zwischen nr,min = 1 bis zu einer maximal<br />
möglichen Anzahl nr,max bei vollständiger Monoschicht-Bedeckung der<br />
2<br />
Trägerpartikeloberfläche A = π ⋅ d betragen, wenn man als charakteristische<br />
S<br />
Elementarzelle der Oberflächenbedeckung ein Quadrat der Größe dr 2 an-<br />
nimmt:<br />
n<br />
r,<br />
max<br />
A<br />
=<br />
A<br />
S<br />
r<br />
=<br />
π ⋅<br />
d<br />
d<br />
2<br />
r<br />
2<br />
⋅ d<br />
(6.28)<br />
Das ergibt eine „kubische“ Anordnung der Gastpartikel mit einer mittleren An-<br />
zahl der Nachbarn (Koordinationszahl) kr = 4 und einer Packungsdichte der<br />
2<br />
A P,<br />
r π / 4 ⋅ d r π<br />
Oberflächenbelegung von 1− εr<br />
, kub = = = = 0,<br />
7854 .<br />
2<br />
A d 4<br />
In einer Packung der Trägerpartikel einer mittleren Koordinationszahl k (für<br />
3<br />
VP<br />
π⋅<br />
d π<br />
die kubische Packung gilt k = 6 und 1− εkub<br />
= = = = 0,<br />
5236 bzw.<br />
3<br />
V 6⋅<br />
d 6<br />
allgemein k ≈ π/ε) folgt für die mittlere Beladung µr = k . µr,k:<br />
k ⋅ n ⋅ ρ ⋅ d ⋅<br />
3<br />
3<br />
r s,<br />
r r 3⋅<br />
n r d r<br />
µ r =<br />
≈ 3<br />
3<br />
(6.29)<br />
2 ⋅ ρs<br />
⋅ d d<br />
Mit der charakteristischen Größe der Gastpartikel gemäß Gl.(6.25) für eine<br />
minimale Haftkraft folgt für die Beladung:<br />
µ<br />
r<br />
k ⋅ n r ⋅ ρ<br />
=<br />
2 ⋅ ρ<br />
s<br />
s,<br />
r<br />
a<br />
⋅<br />
d<br />
3<br />
F=<br />
0<br />
3<br />
⎛<br />
⋅ ⎜<br />
⎝<br />
3<br />
3<br />
2 ⋅ d ⎞<br />
− 2⎟<br />
a ⎟<br />
F=<br />
0 ⎠<br />
r<br />
r<br />
(6.30)<br />
Problematisch ist eine brauchbare Abschätzung der notwendigen Anzahl an<br />
Nanopartikeln nr, die den beschriebenen Effekt der Haftkraftverminderung im<br />
Mittel in einer Partikelpackung noch bewerkstelligen können.<br />
Die Belegung der Trägerpartikeloberfläche mit den Gastpartikeln in einem 3-<br />
Punkte-Modell nach MEYER [Diss.] kann wie folgt berechnet werden. Zu je-<br />
dem Kontakt zweier Trägerpartikel gehören drei Gastpartikel. Diese drei sta-<br />
tisch stabilen Auflagepunkte mögen ein gleichseitiges Dreieck formen. Die<br />
Fläche des Dreiecks Ar ergibt sich aus einer geometrischen Betrachtung,<br />
tan 60 h /( x1<br />
d r / 2)<br />
+ = ° siehe Bild 6.3 :<br />
1<br />
2<br />
2<br />
A r = ⋅ 2 ⋅ ( x1<br />
+ d r / 2)<br />
⋅ h = ( x1<br />
+ d r / 2)<br />
⋅ tan 60°<br />
= ( x1<br />
+ d r / 2)<br />
⋅ 3<br />
2<br />
A 3 +<br />
( ) 2<br />
x d / 2<br />
r = 1 r<br />
(6.31)<br />
Setzt man eine gleichmäßige Belegung der gesamten Kugeloberfläche eines<br />
Trägerpartikels mit den Gastpartikeln voraus, lässt sich die maximal mögliche<br />
375
376<br />
Anzahl nr,DK der Dreiecke, d.h. die Zahl der potentiell möglichen Kontaktorte,<br />
für die Dreieckskonfiguration (Index DK) berechnen:<br />
AS<br />
n r,<br />
DK = =<br />
A<br />
2<br />
π ⋅ d<br />
3 x + d / 2<br />
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10.10.2012<br />
r<br />
( ) 2<br />
1<br />
r<br />
Mit einer brauchbaren Abschätzung x1 ≈ dr folgt:<br />
n<br />
r,<br />
DK<br />
2<br />
2<br />
π ⋅ d 4 ⋅ π ⋅ d<br />
≈ =<br />
(6.32)<br />
3<br />
2<br />
2<br />
( d + d / 2)<br />
9 3 ⋅ d<br />
r<br />
r<br />
r<br />
Bild 6.3: Zwei glatte Trägerpartikel im Kontakt mit drei ideal steifen Nanopar-<br />
tikeln - 3-Punkte-Modell nach MEYER [Diss.]; a) Seitenansicht und b) Auf-<br />
sicht auf die Kontakt- bzw. Schnittebene zwischen den Trägerpartikeln<br />
Die Gleichverteilung der Gastpartikel auf der Oberfläche des Trägerpartikels<br />
ergibt eine Gleichwahrscheinlichkeit jedes möglichen Kontaktortes. Die Gastpartikel<br />
sind überall auf der Oberfläche „adsorbiert“, so dass die mittlere Koordinationszahl<br />
k einer Packung nicht mehr berücksichtigt wird. Eingesetzt in<br />
Gl. (6.29) ergibt die mittlere Beladung bei der Dreieckskonfiguration in einer<br />
Packung (Hinweis: MEYER erhält µ ≈ , 1⋅<br />
d / d ):<br />
r,<br />
Meyer<br />
0 r<br />
3<br />
2<br />
ρs,<br />
r ⋅ d r 4 ⋅ π ⋅ d 2 ⋅ π ⋅ ρs,<br />
r ⋅ d r d r<br />
µ r,<br />
DK = ⋅ =<br />
≈ 0,<br />
4 ⋅<br />
3<br />
2<br />
(6.33)<br />
2 ⋅ ρ ⋅ d 9 3 ⋅ d 9 3 ⋅ ρ ⋅ d d<br />
µ<br />
dr<br />
s<br />
d<br />
2 ⋅ π ⋅ ρs,<br />
=<br />
9 3 ⋅ ρ<br />
r<br />
d<br />
dr<br />
a ⎛ ⎞<br />
F=<br />
0 ⎜<br />
2 ⋅ d<br />
⋅ ⋅ 3 ⎟<br />
⎜<br />
− 2<br />
d<br />
⎟<br />
⎝ a F=<br />
0 ⎠<br />
r , DK<br />
r<br />
s<br />
(6.34)<br />
s<br />
Wenn man jedoch ideale Monoschichtbelegung der Hälfte aller Trägerpartikel<br />
annimmt, siehe Bild 6.4 , beträgt die maximal mögliche Beladung nr,max mit<br />
der Gl. (6.28) (hier ebenfalls ohne k):<br />
dr<br />
30°<br />
a) b)<br />
x0<br />
x1<br />
dr
µ<br />
µ<br />
r,<br />
max<br />
=<br />
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10.10.2012<br />
π ⋅<br />
ρ<br />
s,<br />
r<br />
2 ⋅ ρ<br />
s<br />
π ⋅ ρs,<br />
=<br />
2 ⋅ ρ<br />
d<br />
⋅<br />
d<br />
2<br />
2<br />
r<br />
d<br />
⋅<br />
d<br />
3<br />
r<br />
3<br />
=<br />
π ⋅<br />
ρ<br />
s,<br />
r<br />
2 ⋅ ρ<br />
a ⎛ ⎞<br />
F=<br />
0 ⎜<br />
2 ⋅ d<br />
⋅ ⋅ 3 ⎟<br />
⎜<br />
− 2<br />
d<br />
⎟<br />
⎝ a F=<br />
0 ⎠<br />
s<br />
d r d r<br />
⋅ ≈ 1,<br />
57 ⋅<br />
d d<br />
(6.35)<br />
r , max<br />
r<br />
(6.36)<br />
s<br />
d<br />
dr<br />
Bild 6.4: Direkter Kontakt zweier glatter Trägerpartikel der Größe d mit einer<br />
idealen Monoschichtbelegung steifer Nanopartikel der Größe dr<br />
Für das Beispiel ultrafeiner Trägerkugeln d = 10 µm und Nanopartikel dr = 14<br />
nm nach Gl.(6.25) ergeben sich Beladungen von (ρs,r = ρs, k = 6, nr = 1)<br />
3<br />
3<br />
k ⋅ n r ⋅ d r ⎛ 14 nm ⎞<br />
−6<br />
µ r = = 3⋅<br />
= 8,<br />
2 ⋅10<br />
g / kg<br />
3<br />
4<br />
2 d ⎜<br />
10 nm<br />
⎟<br />
praktisch unbrauchbar<br />
⋅ ⎝ ⎠<br />
und realistischer:<br />
d r 14 nm<br />
µ r , DK = 0, 4 ⋅ = 0,<br />
4 ⋅ = 0,<br />
56 g / kg<br />
4<br />
d 10 nm<br />
14 nm<br />
µ r , max = 1, 57 ⋅ = 2,<br />
2 g / kg<br />
4<br />
10 nm<br />
Entsprechend dieser Abschätzungen werden offenbar nur geringe Mengen an<br />
Nanopartikeln benötigt. Nach der Zugabe müssen allerdings die Probleme einer<br />
guten Mischung und Dispergierung der Gastpartikel gelöst werden, um ihre<br />
gleichmäßige Verteilung auf den Oberflächen der Trägerpartikel zu gewährleisten,<br />
siehe dazu auch ZIMMERMANN und Mitarbeiter1 sowie TOMAS und<br />
KLEINSCHMIDT2 .<br />
© Dr .- Ing.habil. J. Tomas 1992<br />
1 Kurfeß D., Hinrichsen H., Zimmerman I.: Statistical model of the powder flow regulation by<br />
Nanomaterials, Powder Technol.159 (2005) 63-70<br />
2 Tomas, J., Kleinschmidt, S., Verbesserung der Fließfähigkeit feiner kohäsiver Pulver durch<br />
nanoskalige Fließhilfsmittel, Chemie-Ingenieur-Technik, 81 (2009) 717-733<br />
d<br />
377
378<br />
6.1.1.2.9 Rauhigkeitseinfluß auf die Adhäsionskräfte<br />
Der Einfluss der Rauhigkeit auf die elektrostatischen Adhäsionskräfte ist aus<br />
Folie 6.9b ebenfalls ableitbar. Für nicht leitende Partikeln kann der Rauhigkeitseinfluss<br />
vernachlässigt werden. Infolge dessen können für nicht zu kleine<br />
oberflächenrauhe nicht leitende Partikeln die elektrostatischen Kräfte die<br />
VAN-DER-WAALS-Kräfte übersteigen. Hinzu kommt noch, dass die elektrostatische<br />
Anziehungskraft auf ein Partikel, das einer genügend ausgedehnten<br />
Platte mit konstanter Ladungsdichte entgegen gesetzten Vorzeichens gegenübersteht,<br />
unabhängig vom Abstand ist.<br />
Aus dem Vorstehenden ist deutlich geworden, dass neben<br />
- der Partikelgrößenverteilung<br />
- die Partikelform bzw. die Oberflächenrauhigkeits-Verteilung<br />
die Adhäsionskräfte - abgesehen von den elektrostatischen Kräften auf nicht<br />
leitenden Partikeln und Flüssigkeitsbrücken - über Zehnerpotenzen hinweg<br />
modifizieren kann. D.h., die Haftkräfte gehorchen ebenfalls einer Verteilung<br />
/3.92//3.94/. Dies erklärt die Schwierigkeiten ihrer zuverlässigen Vorausberechnung.<br />
Für genauere Aussagen sollten deshalb die Haftkräfte direkt ausgemessen werden,<br />
z.B. mit modernen Rasterkraftmikroskopen (engl.: AFM atomic force<br />
microscope).<br />
Außerdem lassen sich die folgenden Modelle für eine Rückrechnung aus<br />
kontinuumsmechanisch gemessenen Scher-, Druck- und Zugfestigkeiten von<br />
Partikelpackungen nutzen (siehe Kapitel 6.2.5).<br />
6.1.1.3 Mikromechanik der Kontaktdeformation und Haftkraftverstärkung<br />
Bisher wurden die Haftkräfte zwischen starren bzw. steifen Modellkörpern<br />
betrachtet. Berühren sich aber zwei Partikel ohne Einwirkung einer äußeren<br />
Kraft (Folie 6.10), so steht die Haftkraft im Gleichgewicht mit der abstoßenden<br />
Kraft, die stets eine Verformung im Kontaktbereich als Ursache hat.<br />
Auf diese Weise entstehen aus den Punktkontakten flächenhafte, die immer mit<br />
einer Vergrößerung der Haftkräfte gegenüber dem unverformten Zustand verbunden<br />
sind.<br />
Darüber hinaus ist aus der Erfahrung bekannt, dass durch äußere Anpresskräfte<br />
(Folie 6.10) noch wesentlich stärkere Verformungen und somit Haftkraftverstärkungen<br />
möglich sind.<br />
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10.10.2012
Die Modellierung dieser mikromechanischen Zusammenhänge steckt noch<br />
in den Anfängen, ⇒ siehe dazu die aktuellen Publikationen:<br />
..\..\..\Forschung\Papers_LS_MVT\Tomas\Review_Tomas_CET_6134.pdf<br />
..\..\..\Forschung\Papers_LS_MVT\Tomas\Tomas_Offprint_CES_7149.pdf<br />
..\..\..\Forschung\Papers_LS_MVT\Tomas\Tomas_SAW_Abhandlungen.pdf.<br />
Zur Einführung in die Kontaktmechanik sollen zunächst die rein elastischen<br />
Verformungen behandelt werden:<br />
2 2<br />
* ⎛1−ν 1 1−ν<br />
⎞ 2<br />
E = 2⋅<br />
⎜ +<br />
E1<br />
E ⎟<br />
⎝<br />
2 ⎠<br />
r<br />
1,<br />
2<br />
r1⋅<br />
r2<br />
=<br />
r + r<br />
1<br />
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10.10.2012<br />
2<br />
⎛ 1<br />
= ⎜ +<br />
⎝ r1<br />
1<br />
r<br />
2<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
−1<br />
−1<br />
=<br />
≡<br />
E<br />
2 ( 1−ν<br />
)<br />
r<br />
2<br />
379<br />
Bild 6.5: Elastische Abplattung<br />
von Kugeln:<br />
Voraussetzungen:<br />
� homogene isotrope Körper,<br />
� glatte Oberfläche,<br />
� lineare Elastizität,<br />
� nur Normalspannungen<br />
in der Druckfläche,<br />
� vergleichsweise kleine<br />
Fläche der Abplattung<br />
ra/r1
380<br />
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10.10.2012<br />
2 ( 1−ν<br />
)<br />
*<br />
1/<br />
3<br />
1/<br />
3<br />
3 FN<br />
r 3 FN<br />
d<br />
ra *<br />
⎟ ⎛ ⋅ ⋅ ⎞ ⎛ ⋅ ⋅ ⋅ ⎞<br />
⎟ = ⎜<br />
⎜ 2 E ⎟ ⎜<br />
⎠ ⎝ 8 ⋅ E ⎠<br />
⎜ = ( 6.40)<br />
⎝ ⋅<br />
und mit einer äußeren Druckspannung ( ) 2<br />
verhältnis der Abplattung:<br />
2<br />
1/<br />
3<br />
2<br />
( 1−<br />
ν ) F ⎞ ⎛ 3⋅<br />
( 1−<br />
ν )<br />
σ = 1− ε / ε ⋅ F wird das Größen-<br />
1/<br />
3<br />
N / d<br />
d ⎛ a 3⋅<br />
N<br />
ε ⎞<br />
= 2<br />
d ⎜ ⋅<br />
⎟<br />
8 E d ⎟ = ⎜ ⋅ ⋅ σ<br />
8 E 1 ⎟ , ( 6.41)<br />
⎝ ⋅ ⎠ ⎝ ⋅ − ε ⎠<br />
z.B. Kalksteinpulver d ≈ 10 µm, E ≈ 50 kN/mm 2 , ν ≈ 0,28, σ ≈ 100 kPa<br />
1/<br />
3<br />
da 3<br />
=<br />
=<br />
2<br />
5<br />
⎛ 3⋅<br />
( 1−0,<br />
28 ) ⋅ 0,<br />
5⋅10<br />
Pa ⎞<br />
=<br />
9<br />
d ⎜<br />
8 5010<br />
Pa 0,<br />
5 ⎟<br />
⎝ ⋅ ⋅ ⎠<br />
−9<br />
1/<br />
( 691,<br />
2⋅10<br />
) 0,<br />
00884<br />
bzw. da = 88,4 nm. Mit der Abplattungshöhe ha,1 einer Kugelkappe:<br />
2<br />
2<br />
( r − h a,<br />
1)<br />
= 2⋅<br />
r⋅<br />
h a,<br />
1−<br />
h a,<br />
1≈<br />
2⋅<br />
r⋅<br />
h a = d h a,<br />
1<br />
2 2<br />
ra r −<br />
⋅<br />
= ( 6.42)<br />
gilt der Zusammenhang zwischen Abplattungsradius ra und Abplattungshöhe ha<br />
(Änderung der Mittelpunktsentfernung) beider Kontaktpartner 1 und 2:<br />
h<br />
a<br />
2 2<br />
2<br />
ra<br />
, 1 ra<br />
, 2 ra<br />
2<br />
= h a,<br />
1 + h a,<br />
2 = + = 2 ⋅ = ra<br />
/ r<br />
( 6.43)<br />
d d d<br />
1<br />
2<br />
und das Verhältnis der Abplattung zur Partikelgröße ( ) 2<br />
2 ( 1−<br />
ν )<br />
1/<br />
3<br />
h / d = 2 ⋅ r / d<br />
2<br />
1/<br />
3<br />
2 2<br />
9 FN<br />
9 F ⎞<br />
N<br />
h<br />
⎟<br />
a * * 2<br />
2<br />
4r<br />
E ⎜ d E ⎟<br />
⎠<br />
⎜<br />
⎛ ⋅ ⎞ ⎛ ⋅ ⋅<br />
= ⎜<br />
⎟ =<br />
, ( 6.44)<br />
⎝ ⋅ ⎠ ⎝<br />
⋅<br />
2<br />
= = ⋅ bzw. ha ≈ 0,4 nm.<br />
−5<br />
z.B. ( )<br />
h<br />
a<br />
/ d<br />
0,<br />
00884<br />
/ 2<br />
3,<br />
91<br />
10<br />
Diese Abplattungshöhe liegt in der Größenordnung eines Moleküldurchmessers<br />
und ist damit sehr klein! Die größte Druckspannung ist 50% größer als der<br />
mittlere Kontaktdruck p<br />
3⋅<br />
FN<br />
6 ⋅ FN<br />
3<br />
= = = ⋅ p<br />
( 6.45)<br />
2<br />
2 ⋅ π ⋅ r π⋅<br />
d 2<br />
pmax 2<br />
a<br />
a<br />
und bewirkt beim Erreichen des Fließdruckes pmax= pf eine plastische Kontaktdeformation,<br />
Gl.( 6.54):<br />
3<br />
3<br />
3⋅<br />
F<br />
2<br />
N,<br />
el−pl<br />
3⋅<br />
2 ⋅ E * ⋅ra<br />
, el−pl<br />
E * ⋅ra<br />
, el−pl<br />
ra<br />
, el−<br />
pl = =<br />
=<br />
2 ⋅ π ⋅ p 2 ⋅ π ⋅ p ⋅ 3⋅<br />
r π ⋅ p ⋅ r<br />
r<br />
a,<br />
el<br />
f<br />
f<br />
1,<br />
2<br />
2 ( 1−<br />
ν )<br />
π ⋅ pf<br />
⋅ r1,<br />
2 π ⋅ pf<br />
⋅ ⋅ d<br />
− pl = =<br />
. ( 6.46)<br />
E * 4 ⋅ E<br />
f<br />
1,<br />
2<br />
a<br />
a
Die größte Zugspannung am Umfang des Druckkreises 4 bewirkt ein Biegemo-<br />
ment in Meridianrichtung und ggf. Rissbildung in Umfangsrichtung:<br />
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10.10.2012<br />
( 1−<br />
2 ⋅ υ )<br />
pmax<br />
σ Z,<br />
max =<br />
1oder2<br />
⋅ . ( 6.47)<br />
3<br />
Die Schubspannung 5 ist wesentlich für duktile Werkstoffe<br />
−1<br />
τ( z)<br />
z ν z ra<br />
= + arctan<br />
p max ra<br />
ra<br />
z<br />
⎛ ⎡ ⎞ ⎤<br />
⎢ ⎜ ⎟ ⎥ −<br />
⎣⎢<br />
⎝ ⎠<br />
⎦⎥<br />
+<br />
3<br />
⎡<br />
⎤<br />
⎢ − ⎥<br />
4 ⎣<br />
⎦<br />
1<br />
2<br />
1<br />
1<br />
2<br />
und wird in der Tiefe von etwa z ≈ ra/2 am größten:<br />
max<br />
max<br />
( 6.48)<br />
τ ≈ 0, 31⋅<br />
p , wenn ν ≈ 0,3. ( 6.49)<br />
Rein elastische Abplattungen unter der Einwirkung äußerer Kräfte sind für die<br />
Haftkraftverstärkung verhältnismäßig bedeutungslos, da diese Verformungen<br />
nach Wegfall der äußeren Kräfte völlig verschwinden. Nur bei vergleichsweise<br />
weichen Stoffen, wie z.B. Gummi, hat diese verbleibende Haftung eine gewisse<br />
Bedeutung erlangt – siehe dazu das sog. JKR-Modell6. Wesentlich für die Haftkraftverstärkung ist deshalb eine kombinierte elastisch-plastische<br />
Verformung des Partikelkontaktbereiches7 zu einem<br />
nanoskaligen bis mikroskopisch kleinen Platte-Platte-Kontakt aufgrund des<br />
Einwirkens der Haftkraft FH0 nach Gl.( 6.21) selbst und einer zusätzlichen äußeren<br />
Normalkraft FN. Mit dem Kräftegleichgewicht des weichen Kontaktes<br />
zweier steifer Partikeln<br />
∑ F = 0 = FH<br />
0 + pVdW<br />
⋅ ( Ael<br />
+ A pl ) + FN<br />
− FW<br />
, el − pf<br />
⋅ A pl ( 6.50)<br />
folgt für die gesamte Haftkraft FH nach einigen Umrechnungen (siehe<br />
../../../Forschung/FLIESSEN/B_Theorie_FliessKW/Schüttec_3_Kontakt_Theor<br />
ie.doc#FHA_ges):<br />
H<br />
H0<br />
N<br />
H0<br />
( F F )<br />
F = ( 1+<br />
κ)<br />
⋅ F + κ ⋅ F = F + κ ⋅ + . ( 6.51)<br />
H0<br />
Der dimensionslose Geradenanstieg κ wird als elastisch-plastischer Kontaktverfestigungskoeffizient<br />
bezeichnet8 :<br />
© Dr .- Ing.habil. J. Tomas 1992<br />
4 Huber, M.T., Zur Theorie der Berührung fester elastischer Körper, Annalen der Physik 14<br />
(1904) 153-163<br />
5 Ziegler, F., Technische Mechanik der festen und flüssigen Körper, Springer Verlag, Wien<br />
1985.<br />
6 Johnson, K.L., Kendall, K. and Roberts, A.D. Surface energy and the contact of elastic solids,<br />
Proceedings of Royal Society, A 324 (1971) 301-313<br />
7 Schubert, H., Sommer, K., Rumpf, H., Plastisches Verformen des Kontaktbereiches bei der<br />
Partikelhaftung. Chemie Ingenieur Technik, 48 (1976) 716.<br />
8 Tomas, J., Produkteigenschaften ultrafeiner Partikel - Mikromechanik, Fließ- und Kompressionsverhalten<br />
kohäsiver Pulver, Abhandlungen der Sächsischen Akademie der Wissenschaften<br />
zu Leipzig, Technikwissenschaftliche Klasse, Bnd 1, Heft 3 (2009) 1-46<br />
N<br />
381
382<br />
κ =<br />
κ<br />
κp<br />
− κ<br />
( 6.52)<br />
A<br />
MVT_e_6neu <strong>Mechanische</strong> <strong>Verfahrenstechnik</strong> - Partikeltechnologie Schüttgutspeicherung Prof. Dr. J. Tomas,<br />
10.10.2012<br />
p<br />
Der elastisch-plastische Kontaktflächenkoeffizient κA kennzeichnet das Ver-<br />
hältnis aus plastisch deformierter Kontaktfläche zur gesamten Kontaktfläche<br />
AK = Ael + Apl und schließt einen gewissen elastischen Anteil der Kontaktabp-<br />
lattung ein:<br />
2 1 A pl<br />
κ A = + ⋅<br />
( 6.53)<br />
3 3 A<br />
K<br />
Der plastische Repulsionskoeffizient κp beschreibt das dimensionslose Ver-<br />
hältnis der van der Waals-Anziehung pVdW zur Repulsion aufgrund eines mik-<br />
roplastischen Fließdruckes pf (σsls ≈ 0.25 - 50 mJ/m 2 Oberflächenspannung<br />
solid-liquid-solid und folglich pVdW ≈ 3 - 600 MPa):<br />
p<br />
C<br />
4⋅<br />
σ<br />
VdW<br />
H,<br />
sls<br />
sls<br />
κ p = =<br />
=<br />
( 6.54)<br />
3<br />
pf<br />
6⋅<br />
π⋅<br />
a 0 ⋅p<br />
f a 0 ⋅p<br />
f<br />
Im kreisförmigen Kontaktzentrum wird ein begrenztes plastisches Feld erzeugt,<br />
wobei sich der äußere Ring elastisch verhält. Dadurch wird ein deutlich höherer<br />
p ≈ 3⋅<br />
σ als die Fließspannung σF bei makroskopischer<br />
Mikrofließdruck f F<br />
Zugbeanspruchung erwartet.<br />
Der elastisch-plastische Kontaktverfestigungskoeffizient κ kennzeichnet die<br />
momentane Kontaktsteifigkeit und den Anstieg der Haftkraft FH bei Einwirkung<br />
einer Vorverfestigungskraft FN, Gl.( 6.51). Ein geringer Anstieg κ bedeutet<br />
steifes Kontaktverhalten mit gering ausgeprägtem Haftvermögen FH ≈ FH0.<br />
Dagegen ist mit einem großen Anstieg ein nachgiebiger Kontakt mit großem<br />
Haftvermögen verbunden. Das ist typisch für das Verfestigungsverhalten eines<br />
trockenen kohäsiven Partikelsystems. Der Term κ ⋅FH<br />
0 kennzeichnet die zusätzliche<br />
momentane Kontaktverfestigung als Antwort einer bloßen Einwirkung<br />
der Haftkraft FH0 im unverfestigten Zustand. Dieser Effekt wurde schon<br />
vor etwa 40 Jahren von Krupp9 beschrieben.<br />
Eine aktuelle überschlägige Bewertung dieser Haftkraftverstärkung feiner bis<br />
nanoskaliger Partikel FH(FN) infolge einer Vorbelastung des Kontaktes mit der<br />
Normalkraft FN kann man der Tabelle 6.3 entnehmen10 :<br />
Physikalisches<br />
Wirkprinzip<br />
Partikeldurchme<br />
sser d in µm<br />
El.-pl. Kontaktverfestigungskoeffizient<br />
κ<br />
Bewertung<br />
© Dr .- Ing.habil. J. Tomas 1992<br />
9 Krupp, H., Particle adhesion – Theory and experiment. Advances Colloid Interface Science 1<br />
(1967) 111-239.<br />
10 Tomas, J., Mikromechanik ultrafeiner adhäsiver Partikel, Vortrag ProcessNet-Fachausschüsse<br />
Agglomerations- & Schüttguttechnik, und Trocknungstechnik, Hamburg 2011
MVT_e_6neu <strong>Mechanische</strong> <strong>Verfahrenstechnik</strong> - Partikeltechnologie Schüttgutspeicherung Prof. Dr. J. Tomas,<br />
10.10.2012<br />
1 - 100 0,1 - 0,3 weich<br />
0,1 - 1 0,3 - 0,8 sehr weich<br />
0,01 - 0,1 > 0,8 extrem weich<br />
Tabelle 6.3: Überschlägige Bewertung der Haftkraftverstärkung feiner bis<br />
nanoskaliger Partikel FH(FN) infolge Vorbelastung mit der Normalkraft FN<br />
Dieses bequeme lineare Modell der Haftkraftverstärkung, Gl.( 6.51), wird beispielsweise<br />
durch Zentrifugenversuche mit einer engen Partikelgrößenklasse<br />
(Kalkstein, mittlere Partikelgröße dmi = 60 µm, pf ≈ 500 MPa, CH,svs = 15⋅10 -20<br />
J) bestätigt11 . Die Partikel wurden auf ein poliertes Stahlplättchen so aufgebracht,<br />
dass die Zentrifugalkraft zunächst als Anpresskraft FN und anschließend<br />
nach Wenden als Abreißkraft FH wirkt. Bemerkenswert ist die lineare Zunahme<br />
der Haftkraft mit einer äußeren Normalkraft FN, die auf eine Verformung sehr<br />
kleiner Rauhigkeitserhebungen im nm-Bereich zurückzuführen ist. Bei stärkerer<br />
Anpressung werden auch größere Bereiche der Kontaktzone plastisch verformt.<br />
In diesem Fall ist die Zunahme der Haftkraft manchmal kleiner als im<br />
Anfangsteil.<br />
Für viele feine Pulver können wir zunächst annehmen, dass der elastischplastische<br />
Kontaktflächenkoeffizient κA ≈ const. ist. Für einen konstanten Mikrofließdruck<br />
pf ≈ const. ist auch der plastische Repulsionskoeffizient κp ≈ const.<br />
und somit folgt näherungsweise κ = const.<br />
- Partikelkontaktdeformation (Folie 6.11)<br />
- Messung der Haftkraft (Folie 6.12)<br />
- Messung der Haftkraft mittels PIA (Folie 6.13)<br />
6.1.1.4 Einfluss von Adsorptionsschichten<br />
Deren Wirkung kann sehr komplexer Natur sein /3.97/. Die Adsorptionsschichten<br />
können selbst einen maßgeblichen Beitrag zu den Wechselwirkungen leisten,<br />
falls sie eine genügende Schichtdicke aufweisen. Es hängt dann von der<br />
HAMAKER-Konstanten dieser Schichten und<br />
ihrem (molekularmechanischen) rheologischen<br />
Verhalten ab, ob eine verstärkende oder vermin-<br />
aA<br />
a<br />
© Dr .- Ing.habil. J. Tomas 1992<br />
11 Schütz, W. und H. Schubert, Chemie Ingenieur Technik 48 (1976) 567<br />
d<br />
383
384<br />
dernde Haftwirkung auftritt. So können z.B. Adsorptionsschichten grenz-<br />
flächenaktiver oder anderer organischer Stoffe durch ihre abstandserhöhende<br />
sterische Abschirmwirkung die Adhäsionskräfte deutlich herabsetzen, siehe<br />
dazu auch den Abschnitt 6.1.1.2.6.<br />
Bild 6.6: Partikelkontakt mit Adsorptionsschichten<br />
Ein weiterer Einfluss folgt daraus, dass Adsorptionsschichten die Kontaktgeometrie<br />
und somit auch die Partikelabstände a beeinflussen können, siehe Bild<br />
6.6. In diesem Zusammenhang sind Abhängigkeiten von der Dicke der Adsorptionsschicht,<br />
den stofflichen Eigenschaften, aber auch von der Oberflächenrauhigkeit<br />
festgestellt worden.<br />
Wenn sich die Adsorptionsschichten gegenseitig durchdringen (aA ≥ a/2), dann<br />
wirken in ihnen die entsprechenden Kohäsionskräfte (z.B. Wasserstoffbrückenbindungen<br />
in wässrigen Adsorptionsschichten aufgrund von Adsorption<br />
aus der Umgebungsatmosphäre) /3.98/ bis /3.100/:<br />
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10.10.2012<br />
= σ ⋅ π ⋅ d ⋅ ( a − a / 2)<br />
. ( 6.55)<br />
FH 0 Z,<br />
A<br />
A<br />
a Partikelabstand ohne Adsorptionsschichten<br />
Sie wird wesentlich von der idealen Zerreiß- oder Zugfestigkeit σZ,A einander<br />
"durchdringender" adsorbierter Schichten (aA ≥ a/2) beeinflusst, die sich aus<br />
der maximalen Anziehungskraft der molekularen Wechselwirkungspotentiale<br />
Fmax (siehe Folie 6.6, AT_RC_2_Sem.doc) abschätzen lässt:<br />
σ<br />
E<br />
Z,<br />
max<br />
F<br />
=<br />
d<br />
max<br />
2<br />
A ⋅<br />
n+<br />
1 2<br />
m−n<br />
n ⋅ A a F=<br />
0 d A 1<br />
= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅<br />
E m+<br />
1 a m − n n ⋅ A d<br />
n+<br />
1<br />
Fmax<br />
Mit dem Abstandsverhältnis<br />
a<br />
a<br />
F=<br />
0<br />
Fmax<br />
folgt<br />
σ<br />
E<br />
Z,<br />
max<br />
1<br />
m−n<br />
1<br />
m−n<br />
2<br />
A<br />
1 a<br />
= ⋅<br />
m + 1 a<br />
1<br />
m−n<br />
n+<br />
1<br />
F=<br />
0<br />
n+<br />
1<br />
Fmax<br />
. ( 6.56)<br />
n ( n 1)<br />
A m B n 1⎞<br />
m ( m 1)<br />
B n A<br />
⎜<br />
m 1<br />
⎟<br />
⎠<br />
⎜<br />
⎛ ⋅ + ⋅ ⎞ ⎛ ⋅ ⎞ ⎛ +<br />
= ⎜<br />
⎟ ⋅⎜<br />
⎟ =<br />
( 6.57)<br />
⎝ ⋅ + ⋅ ⎠ ⎝ ⋅ ⎠ ⎝ +<br />
1 ⎛ n + 1 ⎞<br />
= ⋅ ⎜ ⎟<br />
m + 1 ⎝ m + 1⎠<br />
n+<br />
1<br />
m−n<br />
, ( 6.58)<br />
2<br />
wobei für den auf die Dichte bezogenen molekularen E-Modul ( ≡ c Schallge-<br />
schwindigkeit) geschrieben werden kann:<br />
3<br />
( −U<br />
B ) N A ⋅d<br />
= n ⋅ m ⋅ ⋅ 3<br />
a M<br />
( −U<br />
B;<br />
= n ⋅ m ⋅<br />
M<br />
E M<br />
m<br />
ρ s<br />
F=<br />
0<br />
)<br />
. ( 6.59)<br />
S
U = N ⋅ U molare Bindungsenergie bei T = 0 K<br />
B;<br />
m<br />
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A<br />
B<br />
NA = 6,022⋅10 23 mol -1 AVOGADRO-Zahl<br />
M Molmasse<br />
Z.B. für die VAN-DER-WAALS-Kräfte polarer Wassermoleküle n = 6, m =<br />
12, UB,m ≈ 2,9 kJ/mol folgen<br />
( −U<br />
B;<br />
m )<br />
kg 2,<br />
9 kJ / mol<br />
2<br />
E = n ⋅ m ⋅ ρ s ⋅ = 6⋅12⋅1000<br />
⋅<br />
= 11,<br />
6 kN / mm ,<br />
3<br />
M<br />
m 18 g / mol<br />
σ<br />
Z , max<br />
W<br />
E ⎛ n + 1 ⎞<br />
= ⋅⎜<br />
⎟<br />
m + 1 ⎝ m + 1⎠<br />
n+<br />
1<br />
m−n<br />
=<br />
11,<br />
6 kN / mm<br />
12 + 1<br />
2<br />
⎛<br />
⋅⎜<br />
⎝<br />
7<br />
13<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
7<br />
6<br />
=<br />
433 MPa<br />
Dieser Idealwert ist erheblich höher als ein σZ,A ≈ 10 MPa, der für Wassermo-<br />
leküle manchmal angegeben wird. Der Adsorptionsabstand aA lässt sich mit der<br />
Monoschichtbelegung des Adsorbens (Partikel) mit Adsorpt (Wassermoleküle,<br />
siehe dazu Abschnitt 1.2.5.2, MVT_e_1neu.doc, MVT_e_1neu.pdf, S. 34)<br />
X<br />
m<br />
M<br />
⋅ A<br />
W,<br />
mono W S,<br />
m<br />
W,<br />
A,<br />
mono = =<br />
( 6.60)<br />
ms<br />
A W ⋅ N A<br />
auch mit dem Oberflächenbedeckungsgrad X / X A,<br />
mono der Partikeln aus-<br />
drücken:<br />
A<br />
M,<br />
W<br />
W,<br />
A<br />
W,<br />
A,<br />
mono<br />
W,<br />
A<br />
a = d ⋅ X / X . ( 6.61)<br />
AS,m massebezogene Oberfläche der Partikeln<br />
AW ≈ 0,106 nm 2 Platzbedarf eines Wassermoleküls<br />
dM,W<br />
≈ 0,326 nm Wassermoleküldurchmesser ≅ Gleichgewichtsabstand<br />
XW,A adsorbierter Wassergehalt (= mW/ms)<br />
XW,A,mono adsorbierter Wassergehalt bei Monoschichtbelegung<br />
Ab einer relativen Luftfeuchte pD/pDS ≈ 0,8 (Dampfdruck/Sattdampfdruck) tritt<br />
Kapillarkondensation an den Partikelkontakten ein. Das entspricht etwa XW =<br />
0.1...0,8 % je nach spezifischer Oberfläche eines Pulvers.<br />
6.1.1.5 Modellierung der Schüttgut- bzw. Agglomeratfestigkeit<br />
Physikalisch begründete Modelle sind bisher nur für die Zugfestigkeit entwickelt<br />
worden. Bei der Modellentwicklung muss eine Reihe - teilweise weitgehender<br />
- Vereinfachungen vorgenommen werden:<br />
� Vor allem ist von einer vollständigen Zufallsanordnung der Partikeln<br />
auszugehen. Damit stimmen Flächen- und Volumenporosität überein.<br />
� Bindekräfte werden nur an den Kontaktstellen der Partikeln übertragen.<br />
Hierbei liefert die Modellentwicklung für nahezu gleichgroße konvexe Partikeln<br />
für die Zugfestigkeit σZ zunächst /3.130/:<br />
W,<br />
.<br />
385
386<br />
H<br />
σ Z = ( 1−ε)<br />
⋅ k ⋅ . ( 6.62)<br />
AS,<br />
p<br />
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F<br />
AS,p Partikeloberfläche<br />
F H mittlere Haftkraft je Partikelkontakt<br />
k charakteristische Koordinationszahl (mittlere Kontaktanzahl/Partikel)<br />
Für monodisperse Kugeln folgt wegen AS,p = π⋅d 2<br />
1−<br />
ε FH<br />
σ Z = k . ( 6.63)<br />
2<br />
π d<br />
Schwierig sind Aussagen über die Koordinationszahl k, die für Zufallsanord-<br />
nungen nicht berechenbar ist. Hinzu kommt, dass in solchen Systemen nicht<br />
nur Berührungspunkte (a/d = 0), sondern auch Nahpunkte (a/d ≠ 0) zu berücksichtigen<br />
sind. Für die regulären Packungen gleich großer Kugeln gilt (s. Abschnitt<br />
1.3, MVT_e_1neu.doc, MVT_e_1neu.pdf, S. 43, Tabelle 6.4):<br />
Packungsart Koordinationszahl k Porosität ε k⋅ε<br />
kubisch<br />
hexagonal und ortho-rhombisch<br />
6 0,4764 2,86<br />
basisflächenzentriert,<br />
tetragonal raumzentriert<br />
8<br />
0,3954 3,16<br />
hexagonal dicht,<br />
kubisch flächenzentriert<br />
12 0,2595 3,114<br />
Tabelle 6.4: Packung, Koordinationszahl, Porosität und k⋅ε<br />
Davon ausgehend wurde auf empirischem Wege gefunden /3.131/:<br />
k ⋅ε ≈ 3,<br />
1 ≈ π . ( 6.64)<br />
Damit folgt selbst für unterschiedliche Packungsarten (s. RUMPF u.a.):<br />
1−ε<br />
FH<br />
σ Z = 2 . ( 6.65)<br />
ε d<br />
Mit dieser Gleichung ist folglich die Umrechnung von Haftkräften beliebiger<br />
Art zwischen den Partikeln und einer Zugspannung (Zugfestigkeit) eines<br />
Schüttgutes bzw. Agglomerates möglich. Dabei ist jedoch der Zusammenhang<br />
zwischen der dreiachsigen Zugspannung σZ und der nur einaxial messbaren<br />
Zugfestigkeit σZ,1 zu beachten, die sich aus dem zugehörigen MOHR-Kreis für<br />
einen linearen Fließort mit dem inneren Reibungswinkel ϕi ergibt (siehe auch<br />
Abschnitt 6.2.4):<br />
2sin<br />
ϕ<br />
i σ Z,<br />
1=<br />
⋅ σZ<br />
. ( 6.66)<br />
1+<br />
sin ϕi
Für die ebenfalls einfach messbare einaxiale Druckfestigkeit σc gilt entspre-<br />
chend:<br />
i σ c=<br />
⋅ σZ<br />
. ( 6.67)<br />
1−sin<br />
ϕi<br />
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2sin<br />
ϕ<br />
Gln. ( 6.66) und ( 6.67) konnte beispielsweise experimentell für Feuchtagg-<br />
lomerate mit Kraftübertragung durch Flüssigkeitsbrücken bestätigt werden<br />
/3.132/ (siehe auch folgender Abschnitt 6.1.2.1).<br />
6.1.2 Bindung mit Hilfe benetzender Flüssigkeiten<br />
6.1.2.1 Bindung durch Flüssigkeiten niedriger Viskosität<br />
Für die Bindung durch benetzende Flüssigkeiten kommen neben den in Folie<br />
6.8 dargestellten in Abhängigkeit von der (mit zunehmender Ziffer abnehmenden)<br />
Intensität der Bindung folgende Mechanismen in Betracht:<br />
1. Chemische Reaktionen mit der Flüssigkeit, Einbau in das Kristallgitter<br />
(Chemisorption, oder z.B. Hydratation mit H20, Kristallwasserbildung),<br />
2. physikalische Adsorptionsschichtbindung bis zur Kapillarkondensation<br />
(bei Wasserdampf ab etwa pD/pDS ≈ 60..85 %),<br />
3. Flüssigkeitsbrückenbindungen,<br />
4. Übergangsbereich zur Zwischenraumflüssigkeit mit koexistierenden<br />
Flüssigkeitsbrücken einschließlich Inner-(Fein-)kapillarflüssigkeit in den<br />
Partikeln ("innere Feuchtigkeit"),<br />
5. Grobkapillarflüssigkeit in den Partikelzwischenräumen.<br />
6.1.2.1.1 Kapillarkraftmodell<br />
Bei geringen Flüssigkeitsanteilen sind - abgesehen von den<br />
Adsorptionschichten - Flüssigkeitsbrücken (Zwickelkapillaren) zwischen benachbarten<br />
Partikeln vorhanden (Folie 6.14a). Die Bindung ist hier auf den<br />
kapillaren Unterdruck in der Flüssigkeitsbrücke und auf die Randkraft längs<br />
des Dreiphasenkontaktes zurückzuführen. Wenn die Zwischenräume völlig mit<br />
Flüssigkeit gefüllt, an der Oberfläche aber noch konkave Flüssigkeitsmenisken<br />
ausgebildet sind (Folie 6.14c), so wirkt nur ein entsprechender kapillarer Unterdruck.<br />
Beide Mikrovorgänge können nebeneinander an beispielsweise einer<br />
Agglomerationsbildung beteiligt sein, wenn Teile des Agglomerates schon<br />
vollständig mit Flüssigkeit gefüllt sind, in anderen dagegen nur Flüssigkeitsbrücken<br />
existieren (Folie 6.14b).<br />
387
388<br />
Der dritte mögliche Mikroprozess, bei dem feine Partikeln in Flüssigkeits-<br />
tropfen eingebettet sind, spielt zwar für die Nassentstaubung eine Rolle, soll<br />
aber an dieser Stelle nicht weiter erörtert werden.<br />
In Folie 6.14 ist eine Flüssigkeitsbrücke zwischen zwei gleich großen Kugeln<br />
unter der vereinfachenden Annahme dargestellt, dass die Meridiankurven der<br />
Brücke einen Kreisbogen darstellen. Für den Beitrag der Randkraft FR zur<br />
Haftkraft FH gilt somit entsprechend der Ausbildung des Dreiphasenkontaktes –<br />
Kraftterm hier π / 2 ⋅ d ⋅ WA<br />
≡ π ⋅ d ⋅ σlg<br />
siehe Gl.( 6.1):<br />
= σ ⋅ cos(<br />
90°<br />
−α−θ)<br />
⋅ π ⋅d⋅<br />
sin α = π ⋅ d ⋅ σ ⋅ sin(<br />
α + θ)<br />
⋅ sin α . ( 6.68)<br />
FR lg<br />
lg<br />
α Benetzungswinkel (Brückenöffnungswinkel)<br />
θ Randwinkel<br />
Die Oberflächenspannung der Flüssigkeit gegen Gas σlg (svw. flächenbezogene<br />
Bindungsenergie) lässt sich gemäß Gln.( 6.6) und ( 6.54) auch in Abhängigkeit<br />
von den VAN-DER-WAALS-Anziehungskräften in der kondensierten Phase<br />
einer Flüssigkeitsoberfläche wie folgt ausdrücken:<br />
CH, lvl pVdW,<br />
lgl<br />
⋅ a F=<br />
0<br />
σ lg = =<br />
. ( 6.69)<br />
2<br />
24 ⋅ π ⋅ a 4<br />
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F=<br />
0<br />
Der Kapillardruck pK ist die Differenz der äußeren Drücke in zwei benachbar-<br />
ten Phasen, der durch die Grenzflächenspannung aufgenommen wird und sich<br />
mit einem mittleren Krümmungsradius gemäß Gl.( 6.38)<br />
r<br />
1,<br />
2<br />
−1<br />
⎛ 1 1 ⎞<br />
= ⎜ +<br />
r1<br />
r ⎟<br />
( 6.38)<br />
⎝ 2 ⎠<br />
nach LAPLACE berechnet:<br />
⎛ 1 1 ⎞<br />
p = σ ⋅ ⎜ + ⎟<br />
K lg<br />
. ( 6.70)<br />
⎝ R1<br />
R 2 ⎠<br />
R1, R2 Hauptkrümmungsradien der Flüssigkeitsoberfläche<br />
Eine Herleitung der beiden Hauptkrümmungsradien für die kreisförmig gekrümmten<br />
Menisken liefert für den Brückenradius R1 (siehe Sem.)<br />
R 1<br />
( 1−cos<br />
α)<br />
a + d ⋅<br />
= ( 6.71)<br />
2 ⋅ cos( α+<br />
θ)<br />
a Oberflächenabstand beider Kugeln<br />
und für den Kontaktkreisradius R2:<br />
d<br />
R 2 = ⋅ sin α − R1⋅<br />
[ 1−<br />
sin( α+<br />
θ)<br />
] . ( 6.72)<br />
2<br />
Die konkave Krümmung des Brückenradius R1 bewirkt einen kapillaren Unterdruck,<br />
die konvexe des Kontaktkreisradius R2 dagegen einen Überdruck. Im<br />
vorliegenden Fall eines positiv definierten Unterdruckes ∆pK besitzen folglich
die Hauptkrümmungsradien unterschiedliche Vorzeichen, und es existiert in<br />
der Flüssigkeitsbrücke solange ein Unterdruck - und somit ein positiver Beitrag<br />
Fp des Kapillardrucks zur Haftkraft FH -, solange 1 / R1<br />
> 1/<br />
R 2 ist. Dafür gilt:<br />
2<br />
2<br />
π ⋅ d 2 ⎛ 1 1 ⎞ π ⋅ d 2<br />
F = ⋅ ⋅ α = σ ⋅ ⎜ − ⎟<br />
p pK<br />
sin<br />
lg<br />
⋅ ⋅ sin α . ( 6.73)<br />
4<br />
⎝ R1<br />
R 2 ⎠ 4<br />
Somit ergibt sich die gesamte Haftkraft FH = FR + Fp zu:<br />
⎡<br />
d ⎛ 1 1 ⎞ ⎤ 2<br />
F ⎢ ( ) ⎜<br />
⎟<br />
H = π ⋅ d ⋅ σlg<br />
⋅ sin α ⋅ sin α + θ + ⋅ − ⋅ sin α⎥<br />
( 6.74)<br />
⎣<br />
4 ⎝ R1<br />
R 2 ⎠ ⎦<br />
bzw. für vollständige Benetzung θ ≈ 0<br />
⎡<br />
⎤<br />
2 d ⎛ 1 1 ⎞<br />
F = π ⋅ ⋅ σ ⋅ α ⋅ ⎢ + ⋅ ⎜ − ⎟<br />
H d lg sin 1<br />
⎥ . ( 6.75)<br />
⎣ 4 ⎝ R1<br />
R 2 ⎠⎦<br />
Da R1 und R2 von α, θ und a/d abhängen, so lässt sich schreiben:<br />
⎛ a ⎞<br />
H = σ ⋅d⋅f<br />
⎜α,<br />
θ,<br />
⎟ . ( 6.76)<br />
⎝ d ⎠<br />
F lg<br />
Diese Haftkraft sinkt mit steigendem Kontaktabstand (Folie 6.9a). Die maximale<br />
Haftkraft ergibt sich allerdings beim Oberflächenabstand a = 0:<br />
F = π ⋅ d ⋅ σ . ( 6.77)<br />
H,<br />
max<br />
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lg<br />
Für die Bindung in fließenden feuchten Schüttgütern wurde Gleichung ( 6.75)<br />
dahingehend vereinfacht, dass meist vollständige Benetzung vorliegt. Außerdem<br />
liegen dem Modell noch sich berührende gleich große Kugeln a = 0 zugrunde.<br />
Damit ergibt sich für das Flüssigkeitsvolumen in einer Brücke, wenn<br />
man hier auf die Berücksichtigung der Krümmung der beiden Menisken vereinfachend<br />
verzichtet /Diss.B/ (Folie 6.14):<br />
π<br />
3 4<br />
V l ≈ ⋅ 0,<br />
264 ⋅ d ⋅sin<br />
α . ( 6.78)<br />
4<br />
Damit lässt sich ein einfacher analytischer Zusammenhang zwischen dem Flüssigkeitsgehalt<br />
Xl in einem Schüttgut der Porosität ε und dem Benetzungswinkel<br />
α gewinnen (mittlere Koordinationszahl k = π / ε ):<br />
X<br />
m<br />
k<br />
V ⋅ρ<br />
l<br />
l l<br />
l = = ⋅<br />
m π ,<br />
s<br />
3<br />
2 ⋅ ⋅ d ⋅ρ<br />
s<br />
sin<br />
6<br />
ε ⋅ ρ<br />
( 6.79)<br />
2<br />
s<br />
α = 1,<br />
313⋅<br />
Xl<br />
. ( 6.80)<br />
ρl<br />
Für die mittlere Haftkraft FH in einer Partikelpackung mit idealer Zufallsanordnung<br />
gilt dann vereinfachend:<br />
389
390<br />
F<br />
F<br />
K<br />
s<br />
H ≈ 1,<br />
313⋅<br />
π ⋅ d ⋅ σlg<br />
⋅ ⎢1<br />
+ ⎥⋅<br />
Xl<br />
( 6.81)<br />
4 ⋅ σlg<br />
ρl<br />
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⎡<br />
⎢⎣<br />
⎡<br />
p<br />
1<br />
⋅ d ⎤<br />
1<br />
⎥⎦<br />
ε ⋅ ρ<br />
1<br />
⎞⎤<br />
ε ⋅ρ<br />
s<br />
H≈<br />
1,<br />
313⋅<br />
π ⋅ d ⋅ σlg<br />
⋅ ⎢1<br />
+ ⋅ ⎥⋅<br />
Xl<br />
4 ⎜ −<br />
R1<br />
R ⎟<br />
( 6.82)<br />
2 ρl<br />
⎣<br />
⎛<br />
⎝<br />
bzw. mit den Gln.( 6.71) und ( 6.72) für den Oberflächenabstand a = 0:<br />
F<br />
⎡<br />
1<br />
cos α<br />
⎠⎦<br />
cos α<br />
ε ⋅ ρ<br />
s<br />
H ≈ 1,<br />
313⋅<br />
π ⋅ d ⋅⋅σ<br />
lg ⋅⎢1<br />
+ ⋅<br />
⎥⋅<br />
Xl<br />
2<br />
⎜ +<br />
1 cos 1 cos sin<br />
⎟ . (6.83)<br />
− α − α − α ρl<br />
⎣<br />
⎛<br />
⎝<br />
Allerdings ist der Term in den runden Klammern wegen der unterschiedlichen<br />
Vorzeichen der Hauptkrümmungsradien bei praktischen Abschätzungen problematisch,<br />
⇒ liefert bei größeren Flüssigkeitsgehalten zu kleine Haftkräfte.<br />
Die Haftkräfte, die rotationssymmetrische Flüssigkeitsbrücken übertragen, sind<br />
für gleich sowie ungleich große Partnerkugeln und für andere Partnergeometrien<br />
sowohl unter der vereinfachenden Annahme kreisbogenförmiger Meridiankurven<br />
als auch für das exakte Profil berechnet worden /3.102/ bis /3.104/.<br />
Die Verformung der Flüssigkeitsbrücken unter Schwerkrafteinfluss und deren<br />
Auswirkung auf die Haftkraft ist für Partikeln d < 1 mm vernachlässigbar.<br />
Schließlich lassen sich auch Brücken zwischen unregelmäßigen Partikeln in<br />
guter Näherung als rotationssymmetrisch auffassen.<br />
Um die Intensität der Haftkräfte, die durch Flüssigkeitsbrücken hervorgebracht<br />
werden, im Vergleich zu anderen Wechselwirkungen zu kennzeichnen, sind<br />
diese in Folie 6.9a und b mit dargestellt. Danach ist festzustellen, dass diese<br />
nicht nur die intensivsten sind, sondern dass sie sich auch Rauhigkeiten gegenüber<br />
als wenig empfindlich erweisen /3.92/.<br />
6.1.2.1.2 Zerreißarbeit einer Flüssigkeitsbrücke<br />
Für den maximal möglichen Oberflächenbstand, bei dem das Zerreißen der<br />
Flüssigkeitsbrücke eintritt, hat sich folgender einfacher Zusammenhang ergeben<br />
(für Randwinkel θ ≤ 40°):<br />
V a ≈ . ( 6.84)<br />
1/<br />
3<br />
max l<br />
Mit dem mittleren Flüssigkeitsgehalt einer Brücke in einer Partikelpackung<br />
nach der Gl.( 6.79) ist auch (z. B. amax ≈ d für ρs = 2650 kg/m³, ε = 0.5, Xl =<br />
25%):<br />
max 3 ⎟ ⎛ ε ⋅ ρ ⎞ s a = d ⋅ ⎜ ⋅ ⋅ X l<br />
⎝ ρl<br />
⎠<br />
1/<br />
3<br />
⎞⎤<br />
⎠⎦<br />
. ( 6.85)
Falls sich im Anfangszustand die gleichgroßen Kugeln berührt hatten a = 0, ist<br />
eine Arbeit zum Zerreißen der Flüssigkeitsbrücke WZ aufzuwenden:<br />
amax<br />
2 ε ⋅ ρs<br />
WZ = ∫ FH<br />
( a)<br />
da ≈ 1,<br />
27 ⋅σ<br />
lg ⋅ d ⋅Vl<br />
= 2,<br />
2 ⋅σ<br />
lg ⋅ d ⋅ ⋅<br />
ρ<br />
0<br />
l<br />
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10.10.2012<br />
X<br />
l<br />
. (6.86)<br />
Diese Arbeit wird dissipiert. Die massebezogene Dissipationsarbeit des Abreißens<br />
der Flüssigkeitsbrücken in einer Partikelpackung Wm, Z = k ⋅ WZ<br />
/ mP<br />
ist<br />
damit (mittlere Koordinationszahl k = π / ε ):<br />
2,<br />
2<br />
13,<br />
2<br />
2<br />
⋅π<br />
⋅σ<br />
lg ⋅ d ε ⋅ ρ<br />
⋅σ<br />
s<br />
lg ρ s<br />
Wm, Z =<br />
⋅ ⋅ X l = ⋅ ⋅<br />
3<br />
ε ⋅π<br />
/ 6 ⋅ d ⋅ ρ s ρl<br />
ρ s ⋅ d ε ⋅ ρl<br />
X<br />
l<br />
. (6.87)<br />
Davon ausgehend, eine Energiebilanz der kinetischen Energie für das Auftreffen<br />
eines Partikels 1 auf andere mit einer Auftreffgeschwindigkeit v1 und einer<br />
möglichen Rückprallgeschwindigkeit v1R sowie der Dissipationsarbeit des Abreißens<br />
einer Flüssigkeitsbrücke WZ ergibt:<br />
m<br />
2<br />
p<br />
2 2 ( v1<br />
− v1R<br />
) = WZ<br />
⋅ . (6.88)<br />
Bei einer Rückprallgeschwindigkeit von v1R = 0 entspricht das einer kritischen<br />
Prallgeschwindigkeit auftreffender Partikel bei der gerade noch Haftung auftritt:<br />
v1H 2 m,<br />
Z<br />
= ⋅W<br />
/ k . (6.89)<br />
6.1.2.1.3 Viskose Bindekraft<br />
Für Kapillarzahlen Ca < 10 -3 (Verhältnis von viskoser Reibungskraft zur<br />
Oberflächenkraft)<br />
η ⋅ vZ<br />
Ca = (6.90)<br />
σ<br />
lg<br />
ist die kapillare Bindung dominant (siehe Gl.( 6.74)). Dagegen wird für Kapillarzahlen<br />
Ca > 1 die viskose Bindung bedeutsamer. Das heißt, bei ausreichend<br />
hohen Zerreißgeschwindigkeiten vZ ( vZ = d / 2 ⋅γ�<br />
) sollte man zusätzlich eine<br />
Bindekraft aufgrund der Viskosität der Brückenflüssigkeit berücksichtigen<br />
(Adams, Edmondson, 1987):<br />
F<br />
H , vis<br />
3⋅<br />
π d<br />
= ⋅<br />
8<br />
2<br />
⋅η<br />
⋅ v<br />
a<br />
Z<br />
. (6.91)<br />
Diese viskose Bindekraft wird für den direkten Kontakt a → aF=0 maximal.<br />
Die Energiedissipation beim Ablösen einer viskosen Bindung ist damit:<br />
391
392<br />
P<br />
H , vis<br />
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= F<br />
H , vis<br />
⋅ v<br />
Z<br />
2<br />
3⋅ π d ⋅η<br />
⋅ v<br />
= ⋅<br />
8 a<br />
2<br />
Z<br />
. (6.92)<br />
Bem.: Entsprechend der Definition der obigen Kapillarzahl Ca ist das Verhält-<br />
nis der maximalen Energiedissipation (Leistungseintrag) der Kapillarbindung<br />
zur viskosen Bindung von Partikeln in Flocken in einer Suspension („elastische<br />
Flocken“ nach dem JKR-Modell) während der Annäherung, Kollision, Defor-<br />
mation und Flockenwachstum (Adams, Edmondson, S. 163, 1987):<br />
P<br />
P<br />
H , vis<br />
H , JKR<br />
d ⋅η<br />
⋅ vZ<br />
=<br />
2 ⋅σ<br />
sl ⋅ aF<br />
=<br />
0<br />
. (6.93)<br />
Die gesamte Haftkraft der Flüssigkeitsbrücke FH,ges, die sich aus kapillarer<br />
und viskoser Bindung zusammensetzt, folgt mit den Gln.( 6.75) und (6.91) bei<br />
vollständiger Benetzung θ = 0:<br />
F<br />
H,<br />
ges<br />
⎡<br />
d<br />
1<br />
3⋅<br />
π<br />
⋅ η ⋅ v<br />
2<br />
2<br />
= π ⋅ d ⋅ σlg<br />
⋅ sin α ⋅ ⎢1<br />
+ ⋅<br />
4 ⎜ − ⎥ +<br />
R1(<br />
a max ) R 2(<br />
a max ) ⎟<br />
8<br />
⋅<br />
a max<br />
Z .<br />
6.1.2.1.4 Einaxiale Zugfestigkeit<br />
⎣<br />
⎛<br />
⎝<br />
1<br />
⎞⎤<br />
⎠⎦<br />
d<br />
( 6.94)<br />
Die einaxiale Zugfestigkeit im voll ausgebildeten Brückenbereich in einer<br />
Partikelpackung mit idealer Zufallsanordnung lässt sich mit den Gln.( 6.66)<br />
und ( 6.81) sowie mit dem Eintrittskapillardruck pK ≈ pK<br />
, E als charakteristischen<br />
Wert der Porendruckverteilung im Schüttgut Gl.( 6.100) direkt abschätzen<br />
(σlg =72⋅10 -3 J/m 2 für Wasser):<br />
8,<br />
25⋅<br />
( 1−<br />
ε)(<br />
2 − ε)<br />
⋅ σlg<br />
⋅<br />
ε ε ⋅ d ⋅ ( 1+<br />
sin ϕ )<br />
sin ϕ<br />
i s<br />
σ Z,<br />
1 =<br />
X W . ( 6.95)<br />
ρ<br />
i<br />
l<br />
ρ<br />
Dieses mehrfach überprüfte Modell (siehe Diss. B) ist gewöhnlich für Sättigungsgrade<br />
(Flüssigkeitsporenraumanteile Gl.( 6.99))<br />
ρs<br />
( 1−<br />
ε)<br />
⋅ X W<br />
S = < 0,<br />
3 gültig.<br />
ρ ⋅ε<br />
l<br />
6.1.2.2 Flüssigkeitsbindung in Partikelpackungen<br />
In einer Partikelschüttung ist ein Zwischenraumvolumen (äußere Porosität)<br />
vorhanden, das als verzweigtes, vielgestaltiges Kapillarsystem in Abhängigkeit<br />
von der Partikelgrößen- und Partikelformverteilung des Feststoffes sowie dessen<br />
Packungsstruktur vorliegt. Befindet sich eine solche Partikelschüttung im<br />
Kontakt und damit im Austausch mit umgebender Luft, so bilden sich zunächst<br />
Adsorptionsschichten von polaren Wassermolekülen, die sich z.B. mit der
BET-Isothermen (hier in linearisierter Form y = b + ax) im Gültigkeitsbereich<br />
von ϕ = pD/pDS < 0,35 modellhaft erfassen lassen (Folie 6.15):<br />
X<br />
W,<br />
A<br />
p<br />
⋅<br />
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/ p<br />
D DS<br />
W<br />
=<br />
+<br />
⋅ p / p<br />
D DS<br />
( 1−<br />
p / p ) X ⋅ k X ⋅ k<br />
D<br />
DS<br />
mit exp[<br />
E /( RT)<br />
]<br />
k W B<br />
1<br />
W,<br />
A,<br />
mono<br />
W<br />
k<br />
−1<br />
W,<br />
A,<br />
mono<br />
W<br />
( 6.96)<br />
= ( 6.97)<br />
kW stoffabhängige Konstante<br />
EB molare Bindungsenergie der Monoschicht<br />
XW,A,mono<br />
Monoschichtbelegung der Partikeloberfläche (s. Gl.( 6.60))<br />
und bei höheren relativen Luftfeuchten ϕ = pD/pDS (für Partikelschüttungen<br />
etwa im Bereich pD/pDS zwischen 0,6 und 0,85; pD Wasserdampfpartialdruck,<br />
pDS<br />
393<br />
Sattdampfdruck) Flüssigkeitsbrücken infolge Kapillarkondensation an<br />
den Kontaktstellen der Partikeln /3.133//3.134/. Eine derartige Flüssigkeitsbrü-<br />
cke ist stabil, wenn ihr Dampfdruck - resultierend aus der Flüssigkeitsbindung<br />
mittels Kapillardruck pK - dem Wasserdampfpartialdruck pD der feuchten Um-<br />
gebungsluft entspricht, d.h. wenn die KELVIN-Gleichung erfüllt ist:<br />
p ⎡ ⎤<br />
D M W ⋅ pK<br />
= exp⎢−<br />
⎥ . ( 6.98)<br />
pDS<br />
⎣ ρW<br />
⋅ RT<br />
⎦<br />
MW<br />
Molmasse des Wassers<br />
ρW Dichte des Wassers<br />
R = 8,3145 kJ/(kmol K) allgemeine Gaskonstante<br />
T absolute Temperatur<br />
Dementsprechend können mit steigender relativer Luftfeuchte Flüssigkeits-<br />
brücken zunächst nur dort entstehen, wo Gl.( 6.98) zuerst erfüllt ist, d.h. an den<br />
Kontaktstellen, an denen sich benachbarte Partikeln bzw. deren Adsorptions-<br />
schichten berühren. An Nahpunkten mit a > 0 können sich erst bei entspre-<br />
chend höherer relativer Luftfeuchte Flüssigkeitsbrücken bilden, oder diese sind<br />
aufgrund von Sorption allein zur Brückenbildung überhaupt nicht befähigt<br />
(Folie 6.15).<br />
Betrachtet man nun die Feuchte einer Partikelschüttung unabhängig davon, wie<br />
sie entstanden ist, so lässt sich ganz allgemein sagen, dass bei niedrigen<br />
Flüssigkeitssättigungsgraden S (S = Flüssigkeits-/Porenraumvolumen)<br />
V ( 1−ε)<br />
⋅ V ( 1−ε)<br />
⋅ ρ<br />
S = ⋅<br />
( 6.99)<br />
V<br />
l l<br />
s<br />
= = Xl<br />
Poren ε ⋅ Vs<br />
ε ⋅ ρl<br />
Adsorptionsschichten und Flüssigkeitsbrücken an den Kontaktstellen der Partikeln<br />
existieren können (Folie 6.14a). Im Vergleich zu den Adsorptionsschichten<br />
binden dabei die Flüssigkeitsbrücken wesentlich höhere Flüssigkeitsanteile.<br />
Mit weiterer Steigerung von S stellt sich zunächst ein Übergangsbereich ein
394<br />
(Folie 6.14b), in dem Flüssigkeitsbrücken und gefüllte Zwischenräume neben-<br />
einander vorliegen (S ≈ 0,25), bis alle Zwischenräume schließlich gefüllt sind<br />
(Folie 6.14c).<br />
Für die Bindung dieser Flüssigkeitsanteile ist der Kapillardruck maßgebend.<br />
Dieser hängt vom Flüssigkeitssättigungsgrad S nach einem Kurvenverlauf ab,<br />
wie er in Folie 6.15 schematisch dargestellt ist.<br />
Der Kurvenverlauf bei Befeuchtung weicht von dem bei Entfeuchtung ab (Kapillardruck-Hysterese).<br />
Dies ist einerseits durch wechselnde Porenquerschnitte,<br />
die ein- oder ausströmende Flüssigkeitsmenisken vorfinden, und andererseits<br />
durch die Randwinkel-Hysterese bedingt /3.102//3.137/.<br />
Um die Kapillardrücke in verschiedenen Partikelschüttungen und damit deren<br />
Flüssigkeitsbindevermögen vergleichen zu können, ist die Definition eines<br />
mittleren oder charakteristischen Wertes zweckmäßig. Vorwiegend wird dazu<br />
der Eintrittskapillardruck pK,E benutzt (Folie 6.15) /3.135/. Dafür ergab sich<br />
für gut benetzbare Stoffe:<br />
p<br />
K,<br />
E<br />
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10.10.2012<br />
1−ε<br />
σlg<br />
= k K ⋅ ⋅<br />
mit kK = 1,9 ... 14,5. ( 6.100)<br />
ε d<br />
ST<br />
Für kK werden bei Vorliegen einer engen Partikelgrößenverteilung Werte zwischen<br />
6 und 8 genannt /3.135/ /3.136/, für breitere Partikelgrößenverteilungen<br />
zwischen 1,9 und 14,5 /3.137/. In diesem Fall werden das Schüttgut bzw. die<br />
Agglomerate durch den Kapillardruck pK zusammengehalten. Im Bereich hoher<br />
Flüssigkeitssättigungsgrade S ist folglich die Zugfestigkeit σZ gegeben durch<br />
/3.102//3.132/:<br />
σ = S ⋅ p , ( 6.101)<br />
Z<br />
K<br />
wobei der Kapillardruck durch die Abhängigkeit pK = f(S) (Folie 6.15) gegeben<br />
ist und die Fälle Entfeuchtung und Befeuchtung entsprechend zu unterscheiden<br />
sind. Für den Fall der Entfeuchtung liefert der Eintrittskapillardruck pK,E gemäß<br />
Gl.( 6.100) einen Orientierungswert für die Zugfestigkeit.<br />
Abgesehen von den im vorstehenden erörterten Flüssigkeitsbindungsarten kann<br />
bei Vorliegen einer inneren Porosität innere Feuchtigkeit vorhanden sein, die<br />
wegen der Feinheit dieser Porenstruktur sehr fest gebunden ist.<br />
6.1.2.3 Bindung durch Flüssigkeiten hoher Viskosität<br />
Sind die Poren eines Agglomerates vollständig oder teilweise mit einem hochviskosen<br />
Bindemittel (z.B. Asphalt, Wachs, Leim) gefüllt, so wird die Bindung<br />
einerseits von der Kohäsion im Bindemittel und andererseits von der Adhäsion<br />
zwischen Bindemittel und Partikeln bestimmt. Wegen des innigen Kon-
taktes und der Oberflächenrauhigkeit darf man dabei vielfach davon ausgehen,<br />
dass die Adhäsion die Kohäsion überwiegt. Die hohe Viskosität verhindert<br />
die Ausbildung von Kapillarradien. Plastische Stoffe behalten eine beliebig<br />
vorgegebene Oberflächenform, weil die Verformungsenergie größer als der<br />
mögliche Gewinn an Grenzflächenenergie ist.<br />
Die Zugfestigkeit dürfte analog Gl.( 6.101) sich summarisch aus einem Viskositäts-<br />
und Kohäsionsanteil zusammensetzen:<br />
⎛ ηl<br />
⎞<br />
∝ S ⋅ ⎜ + σZ,<br />
⎟ . ( 6.102)<br />
⎝ t ⎠<br />
σZ l<br />
S Bindemittelanteil (-sättigungsgrad, siehe Gl.( 6.99))<br />
σZl Zugfestigkeit (Kohäsionsfestigkeit) des Bindemittels<br />
Viskosität<br />
ηl<br />
6.1.3 Bindung durch Festkörperbrücken<br />
Bei der Bindung durch Festkörperbrücken werden die Bindekräfte von festen,<br />
brückenartig ausgebildeten Verbindungen übertragen (Folie 6.16). Diese entstehen<br />
durch<br />
- das Kristallisieren gelöster Stoffe - Kristallisationsbrücken,<br />
- die verschiedenen Sintermechanismen - Sinterbrückenbindungen,<br />
- das Erhärten eines Bindemittels infolge chemischer Reaktionen - chemische<br />
Brückenbindungen,<br />
- und ggf. das Erhärten eines hochviskosen Bindemittels.<br />
6.1.3.1 Kristallisationsbrücken<br />
Enthält die Flüssigkeit eines feuchten Schüttgutes gelöste Stoffe, so kristallisieren<br />
diese beim Trocknen aus und bauen an den Berührungsstellen in Abhängigkeit<br />
von der Kristallisationszeit t Festkörperbrücken auf /3.128/ (Folie<br />
6.16). Der gelöste bzw. auskristallisierende Anteil kann aus dem gleichen oder<br />
einem anderen Stoff wie das zu agglomerierende Gut bestehen.<br />
Die Zug- oder hier besser Druckfestigkeit σct eines wasserlöslichen Materials<br />
(Salze, Zucker u.ä.) lässt sich dann wie folgt abschätzen /Diss. A/ (Folie 6.17):<br />
σ<br />
ct<br />
= σ<br />
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Ds<br />
⎡ ⎡ t ⎤⎤<br />
⋅ 1 − . ( 6.103)<br />
( − ε)<br />
⋅ cS<br />
⋅ ( X W0<br />
− X WE ) ⋅ ⎢1<br />
− exp⎢<br />
⎥⎥ ⎣ ⎣ t 63 ⎦⎦<br />
395
396<br />
σDs Druckfestigkeit des kristallisierenden Feststoffes (= 30 MPa für<br />
Sylvinit)<br />
cS = msl/mw Sättigungslöslichkeit (= 0,341 bei 20°C für Sylvinit)<br />
msl Masse gelöster Stoff<br />
mw Masse Wasser<br />
XW0 Anfangsfeuchte<br />
XWE End- bzw. Gleichgewichtsfeuchte<br />
t Lagerzeit<br />
t63 Stofftransportwiderstand des Wassers im Schüttgut<br />
Der Zeitparameter t63 erfasst die Kinetik des Mikro-Kristallisationsprozesses,<br />
d.h., nach t = t63 sind [ 1 − exp( −1)<br />
] = 0,<br />
632 oder t = 3⋅t63 [ 1 − exp( −3)<br />
] = 0,<br />
95 .<br />
63% bzw. 95% der Endfestigkeit erreicht. Er lässt sich auch theoretisch im ruhenden<br />
Schüttgut für den diffusionsgesteuerten Stofftransport bei Reihenschaltung<br />
der beiden beteiligten Phasen (der Flüssigphase: Index W = Wasser und<br />
Dampfphase: Index D) als Summe der Widerstände abschätzen:<br />
t = t + t . ( 6.104)<br />
63<br />
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63D<br />
63W<br />
Der Index 0 bedeutet den Bezug auf den Normalzustand bei T = T0 = 273 K.<br />
t<br />
63<br />
2<br />
1−<br />
ε k ϕ ⋅ ρs<br />
⋅ sD<br />
⋅ RT0<br />
⎛ T0<br />
⎞<br />
= ⋅<br />
⋅ ⎜ ⎟<br />
ε M ⋅ p ⋅ D ⎝ T ⎠<br />
W<br />
DS,<br />
0<br />
D,<br />
0<br />
16,<br />
6<br />
+<br />
β<br />
W,<br />
0<br />
⎛ X ⎞ T<br />
1,<br />
94 ⋅ exp ⎜<br />
⎜k<br />
T ⋅<br />
X ⎟<br />
⎝ Tm ⎠<br />
ρs<br />
⋅ ( 1+<br />
cS<br />
) ⋅ X<br />
⋅ AS,<br />
m ⋅<br />
ε ⋅ ρ<br />
l,<br />
0<br />
W<br />
⎛ T0<br />
⎞<br />
⋅ ⎜ ⎟<br />
⎝ T ⎠<br />
6,<br />
85+<br />
nl<br />
( 6.105)<br />
AS,m spezifische Oberfläche<br />
DD,0≈2,12⋅10 -5 m 2 /s Diffusionskoeffizient von Wasserdampf in Luft<br />
kT ≈ 0,7 Adsorptionsparameter oberflächenaktiver Substanzen<br />
∆X<br />
W<br />
k ϕ =<br />
∆(<br />
p / p )<br />
Anstieg der Sorptionsisothermen im unterkritischen Be-<br />
D<br />
DS<br />
reich (Folie 6.15)<br />
nl ≈ 4,0 Exponent der Temperaturabhängigkeiten der Stoffwerte:<br />
Löslichkeit, Flüssigkeitsdichte, Viskosität und Diffusionskoeffizient,<br />
z.B. für eine gesättigte KCL-Lösung (273<br />
K ≤ T ≤ 373 K)<br />
pDS,0 ≈ 735 Pa Sattdampfdruck<br />
sD<br />
maximale Diffusionsschichtdicke ≈ Schütthöhe<br />
βW,0≈0,08 kg/(m 2 ⋅h) Stoffübertragungskoeffizient des Wassers in einer gesättigten<br />
Salzlösung (hier reine KCL-Lösung)<br />
ρl,0 ≈ 1150 kg/m3 Lösungsdichte (KCL-Lösung)<br />
XT = mT/ms Beladung an oberflächenaktive Substanzen mit
X<br />
T,<br />
m<br />
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10.10.2012<br />
A<br />
S,<br />
m T<br />
= Monoschichtbeladung des Tensides<br />
A<br />
T<br />
⋅ M<br />
⋅ N<br />
A<br />
AT Platzbedarf des Tensidesmoleküles<br />
MT Molmasse des Tensides<br />
6.1.3.2 chemische Brückenbindungen<br />
Setzt man einem zu agglomerierenden feinen Produkt ein Bindemittel zu (z.B.<br />
Zement, Kalk, Wasserglas), so entstehen beim Erhärten zwischen den Partikeln<br />
Bindemittelbrücken durch chemische Reaktionen (Folie 6.17). Bei den mehr<br />
oder weniger trockenen Schüttgütern befinden sich die Restwassergehalte meist<br />
im Adsorptionsschichtbereich XWA ≈ 0,1 ... 0,4 %, falls nicht aus Umweltgründen<br />
zusätzlich Wasser zugegeben wurde, z.B. zur Staubbindung bei<br />
Kraftwerksaschen.<br />
Beispielsweise kann ein Stoff s durch Wasseraufnahme (νW stöchiometrischer<br />
Faktor) zu einem hydratisierten Feststoff hs reagieren (Hydratationsreaktion) 12 :<br />
s W 2<br />
+ ϑ ⋅ H O ⇔ hs<br />
( 6.106)<br />
Ms<br />
⋅ XWA<br />
k W ⋅ t<br />
σ ct = σDs<br />
⋅ ( 1−<br />
ε)<br />
⋅ ⋅<br />
( 6.107)<br />
M ⋅ϑ<br />
k ⋅ t + 1<br />
W<br />
W<br />
W<br />
σDs ≈ 35 MPa Bindemittel (Mörtel) aus Portlandzement PZ 1/35, ⇒<br />
gültig für spröde Materialien σct ↔ σDs<br />
Mw= 18 kg/kmol Molmasse des Wassers<br />
ρs ≈ 3100 kg/ m 3 Zement<br />
Ms ≈ 1634 kg/kmol Molmasse des hydratisierten Feststoffes (z.B. Ettringit<br />
CaO⋅3Al2O3⋅3CaSO4⋅32H2O)<br />
νw ≈ 32 stöchiometrischer Faktor der Reaktion,<br />
kw ≈ 97 d -1 Geschwindigkeitskonstante der Reaktion (hier z.B. Zement)<br />
k<br />
E<br />
⎛ A ⎞<br />
( AS,<br />
m ) ⋅ exp⎜−<br />
⎟<br />
⎝ R ⋅ T ⎠<br />
W = k W∞<br />
. ( 6.108)<br />
EA Aktivierungsenergie der Hydratation<br />
kw∞ = f(AS,m) Konstante für T → ∞, Anstieg der Zeitfunktion, ⇑ wenn AS<br />
© Dr .- Ing.habil. J. Tomas 1992<br />
12 Tomas, J.: Zum Verfestigungsprozeß von Schüttgütern - Mikroprozesse, Kinetikmodelle und<br />
Anwendungen (Übersichtsartikel), Chem.- Ing.- Technik 69 (1997) 4, 455-467<br />
397
398<br />
6.1.3.3 Sinterbrücken<br />
Vorrangig werden metallische (Pulvermetallurgie) und keramische Werkstoffe<br />
zu Fertigprodukten gesintert.<br />
Da beim Sintern (thermische Agglomeration) eine entsprechende diffusive,<br />
d.h. thermische Beweglichkeit der Atome und Moleküle der Haftpartner erforderlich<br />
ist, bedürfen Sinterprozesse meist der Wärmezufuhr. Dabei können<br />
chemische Reaktionen den Wärmehaushalt bzw. die Beweglichkeit der Atome<br />
und Moleküle begünstigen.<br />
Dem Sintern ist auch der Mikroprozess der Kontaktdeformation durch viskoses<br />
Fließen der Mikrorauhigkeiten bei Materialien geringen Schmelzpunktes<br />
(gegebenenfalls auch) bei Umgebungstemperatur zuzurechnen. Neben der Verstärkung<br />
der VAN-DER-WAALS-Kräfte analog der plastischen Deformation<br />
der Kontaktpunkte zu Kontaktflächen (siehe auch Gl.( 6.52)), entstehen Festkörperbrücken<br />
durch viskoses Ineinanderfließen des Feststoffes (= gerichtete<br />
Konvektionsströmung). Dem kann vereinfachend ein lineares Materialverhalten<br />
(„Stoffgesetz“) zwischen Beanspruchung und Deformation zugrunde gelegt<br />
werden, mit dem NEWTON-sches Fließgesetz:<br />
du ∆s<br />
τ<br />
t<br />
γ�<br />
= = = oder einfach γ = ⋅ τ . ( 6.109)<br />
dy ∆h⋅<br />
∆t<br />
η<br />
η<br />
h Schichthöhe<br />
s Scherweg<br />
u= ds dt Schergeschwindigkeit<br />
γ Verzerrung oder Verschiebung<br />
η dynamische Viskosität<br />
Man vergleiche auch das HOOK-sche Gesetz:<br />
dl ∆l<br />
σ FN<br />
ε d = = = =<br />
dx l E E⋅<br />
A<br />
oder<br />
τ FS<br />
γ = = .<br />
G G⋅<br />
A<br />
( 6.110)<br />
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10.10.2012<br />
0<br />
εd Druck-Stauchung oder Zug-Dehnung<br />
E Elastizitätsmodul<br />
G Gleitmodul<br />
0 Index für Belastungsbeginn<br />
Die Haftung mittels viskoser Kontaktflächenbildung wird noch durch Ineinanderfließen<br />
des Materials aufgrund der Grenzflächenenergie σsgs (svw. Bindungsenergie<br />
pro Grenzfläche) und der Volumenphase (Schmelzhaftung,<br />
„Kaltverschweißen“) weiter verstärkt und führt zur Sinterhalsbildung. Solche<br />
Sinterbrückenbindungen können schon bei normalen Umgebungstemperaturen
ei (weichen) Plastpulvern, fett- und eiweißhaltigen Futter- und Lebensmitteln<br />
entstehen.<br />
Gewöhnlich beginnen Sinter-Mikroprozesse von VAN-DER-WAALS-Festkör-<br />
pern durch Oberflächen- oder Volumendiffusion schon bei<br />
T≈ ( 0,<br />
75...<br />
0,<br />
9)<br />
⋅ T , ( 6.111)<br />
Tm<br />
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10.10.2012<br />
m<br />
Schmelztemperatur, ⇑ Polymere → Metalle → Metalloxide<br />
wobei molekulare Platzwechselvorgänge sich an der Partikeloberfläche (hohe<br />
Häufigkeit struktureller Fehlordnungen, hohe Diffusionsaktivität) bei geringe-<br />
ren Temperaturen vollziehen als in der Partikelvolumenphase (geringere Fehl-<br />
ordnungshäufigkeit).<br />
Bei merklichem Dampfdruck an der Feststoffoberfläche tritt Verdampfung (=<br />
Sublimation) und bei geringerem Dampfdruck an den Rauhigkeitskontakten<br />
Kondensation (=Desublimation) am sich bildenden Sinterhals ein.<br />
Den Mikroprozesse des Sinterns (Polke, Rumpf, Sommer u.a.) ist eine ausge-<br />
prägte Zeitabhängigkeit t (Mikroprozesskinetik) und Temperaturabhängig-<br />
keit T (⇒ insbesondere der Stoffwerte) eigen (Tabelle 6.5):<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
dS<br />
n<br />
d S<br />
⎛ ⎞<br />
S ⎞<br />
E<br />
⎟ ∝f<br />
( t,<br />
T)<br />
⋅exp<br />
⎜<br />
⎜−<br />
⎟ . ( 6.112)<br />
d ⎠<br />
⎝ RT<br />
⎠<br />
Sinterhalsdurchmesser<br />
d Partikelgröße<br />
ES<br />
Aktivierungsenergie beim Sintern<br />
Mikroprozess N f(t, T) Materialverhalten<br />
viskose Kontaktabplattung 3 3 t 1 FN<br />
2<br />
32 G ⎟<br />
0 d<br />
⎟<br />
⎛ ⎞<br />
⎜ +<br />
⎝ η ⎠<br />
linear viskoelastisch<br />
*<br />
viskoses Fließen mit Sinterhalsbildung<br />
2 8 t ⎛ 2σsg<br />
1 FN<br />
⎞<br />
⎜ + ⎟ 2<br />
5η⎝<br />
d π d ⎠<br />
linear viskos<br />
Oberflächendiffusion 7<br />
4<br />
σsga<br />
ADS<br />
⋅ t<br />
4<br />
d k BT<br />
diffusiver Transport<br />
Volumendiffusion 5<br />
3<br />
σsga<br />
AD<br />
V<br />
⋅ t<br />
3<br />
d k T<br />
diffusiver Transport<br />
Verdampfung und Rekondensation<br />
3<br />
σ<br />
sg<br />
B<br />
3<br />
a Ap<br />
D / p0<br />
⋅ t<br />
dk<br />
T<br />
B<br />
399<br />
diffusiver Transport<br />
* Reihenschaltung von Feder- und Dämpfungselement (MAXWELL-Körper)<br />
Tabelle 6.5: Sinter-Mikroprozesse
400<br />
aA<br />
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10.10.2012<br />
Gitterabstand der Atome (z.B. ≈ 0,3 nm)<br />
DS ,DV Oberflächen- bzw. Volumendiffusionskoeffizient (stoffabhängig)<br />
kB<br />
pD<br />
p0<br />
Boltzmannkonstante = 1,38 10 -23 J/K<br />
Dampfdruck<br />
Sattdampfdruck<br />
Für die zeitabhängige Haftkraft FHt gilt hier analog zur Gl.( 6.51) die lineare<br />
Haftkraftzunahme mit der Haftkraft des Kugelkontaktes κt⋅FH0 plus einer von<br />
außen aufgeprägten Normalkraft κt⋅FN (Verfestigungskraft):<br />
Ht<br />
H0,<br />
t<br />
t<br />
N<br />
t<br />
H0<br />
t<br />
N<br />
t<br />
( F F )<br />
F = F + κ ⋅ F = κ ⋅ F + κ ⋅ F = κ ⋅ + mit ( 6.113)<br />
4 ⋅ π ⋅ d ⋅ σ ⋅ σ<br />
= ( 6.114)<br />
sg Zs<br />
FH 0,<br />
t<br />
⋅ t = κt<br />
⋅ 2 ⋅ π ⋅ d ⋅ σsg<br />
5⋅<br />
ηs<br />
σsg spezifisch freie Grenzflächenenergie (Grenzflächenspannung solid-gassolid<br />
sgs) ≈ 0,1 ... 11,4 J/m² (...Diamant; s. auch Gl.( 6.6))<br />
σZs Zugfestigkeit des sinternden Brückenmaterials<br />
mit dem viskosen Repulsionskoeffizienten<br />
2 ⋅ σZs<br />
κ t = ⋅ t<br />
( 6.115)<br />
5 ⋅ η ( T)<br />
s<br />
und einer Feststoffviskosität bzw. viskosen Partikelkontaktsteifigkeit<br />
( 10 Pa s<br />
13<br />
η > ⋅ ) sowie deren exponentieller Energieverteilung<br />
η<br />
s<br />
s<br />
= η<br />
s,<br />
min<br />
⎜ ⎛ E<br />
⋅ exp<br />
⎝ R ⋅<br />
γ�<br />
( ) ⎟⎟ T − T<br />
r<br />
H0<br />
⎞<br />
.<br />
⎠<br />
( 6.116)<br />
E γ� Aktivierungsenergie des thermisch aktivierten Sinterprozesses<br />
Tr Temperaturparameter, 0 K < Tr < Tg ≤ Tm= 200...400 K für Polymere<br />
Tg Glastemperatur (Gläser = metastabile unterkühlte Flüssigkeiten, d.h.<br />
Bildung amorpher („formloser“) Festkörperstrukturen; nur Nahordnung<br />
der Atom- und Molekülverbände)<br />
Tm Schmelz- oder Erstarrungstemperatur (Bildung makroskopisch regulärer,<br />
kristalliner Festkörperstruktur = Fern- oder Volumenordnung)<br />
σZs Zugfestigkeit des Sintermaterials = 10...60 N/mm 2 für Polymere<br />
ηs,min Viskositätsparameter = ηs,∞ für T → ∞<br />
Hier hat man es mit einem thermisch aktivierten Partikel-Mikrofusionsprozess<br />
zu tun. Unterhalb der sog. „Glastemperatur“ wird die Beweglichkeit (Elastizität)<br />
der Makromolekülketten von Polymeren stark eingeschränkt (Übergang<br />
von einer nichtlinearen „Gummi“-Elastizität in die lineare „Glas-“ oder Festkörper-Elastizität).<br />
Der E-Modul (= Steifigkeit) steigt dann von etwa ER =<br />
0,01...0,1 kN/mm 2 bis auf E ≈ 1000⋅ER.<br />
N
Für die zeitabhängige Zugfestigkeit der unverfestigten Kontakte gilt:<br />
0 H0,<br />
t<br />
0<br />
Zs sg<br />
σ 0t<br />
= ⋅ = ⋅<br />
= κ<br />
2<br />
t ⋅ σ0<br />
. ( 6.117)<br />
ε0<br />
d ε0<br />
5 ⋅ ηs<br />
⋅ d<br />
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10.10.2012<br />
1−<br />
ε<br />
F<br />
1−<br />
ε<br />
4 ⋅ π ⋅ σ<br />
6.1.4 Formschlüssige Bindungen<br />
⋅ σ<br />
Bei faserigen, plättchenförmigen und sperrigen Partikeln können formschlüssige<br />
Bindungen auftreten, indem sich diese ineinander verhaken oder verfilzen,<br />
Folie 6.8c. Dieser Mechanismus tritt z.B. beim Brikettieren von Metallspänen<br />
auf.<br />
6.2 Spannungszustand und Fließverhalten von Schüttgütern<br />
Eine Schüttung stellt eine ruhende oder sich bewegende ("fließende") Packung<br />
von Partikeln dar, deren Zwischenraumvolumen durch Gase und/oder Flüssigkeiten<br />
gefüllt ist. Trotz der daraus resultierenden Inhomogenitäten können<br />
Schüttgüter in mancher Hinsicht als Kontinuum aufgefasst werden. Ein<br />
fluidisiertes feines Pulver verhält sich ähnlich wie eine NEWTONsche Flüssigkeit,<br />
während ein locker gepacktes mit einem idealen plastischen Medium<br />
verglichen werden kann. Mit Zunahme der Packungsdichte nähern sich die<br />
Schüttguteigenschaften denen eines porösen elastisch-plastischen Festkörpers.<br />
In neuerer Zeit gewinnen aber zunehmend Arbeiten an Bedeutung, die das<br />
kontinuumsmechanische Verhalten von Schüttgütern auf die Wechselwirkungen<br />
zwischen den Partikeln zurückführen 8,12, 13 /3.147//3.148/.<br />
6.2.1 Ruhedruckbeiwert<br />
Für Druck und Kompression als wesentliche Beanspruchungen von<br />
Partikelsystemen wird das + Vorzeichen vereinbart. Aufgrund der Belastung<br />
eines Schüttgutes - im Allgemeinen durch sein Eigengewicht - oder äußere<br />
Kräfte FN können elastische, plastische oder viskose Verformungen im Kontinuum<br />
eintreten (siehe auch Abschnitt 6.1.1.3). Im zuerst genannten Fall ergibt<br />
sich bei vertikaler Druckbelastung und verhinderter seitlicher Ausdehnung (-∆<br />
l2 = -∆l3 = 0 und folglich 2 3 σ = σ ) für das Verhältnis der Normalspannungen<br />
(Hauptspannungen):<br />
© Dr .- Ing.habil. J. Tomas 1992<br />
13 Tomas, J.: Modellierung des Fließverhaltens von Schüttgütern auf der Grundlage der Wechselwirkungskräfte<br />
zwischen den Partikeln und Anwendung bei der Auslegung von Bunkeranlagen,<br />
Diss. B (Habilitation), TU Bergakademie Freiberg 1991<br />
⋅ t<br />
401
402<br />
σ<br />
2 λ 0 = ≈ 1− sin ϕi<br />
. ( 6.118)<br />
σ1<br />
λ0 wird in der Bodenmechanik als Ruhedruckbeiwert bezeichnet, nachdem<br />
sich experimentell ergeben hatte, dass Proportionalität zwischen den Normal-<br />
spannungen ( ϕi innerer Reibungswinkel) besteht, wenn nur Deformationen in<br />
vertikaler Richtung auftreten können /3.117/. λ0 hängt von den Materialeigen-<br />
schaften und auch von der Packungsdichte 1 - ε ab:<br />
λ0 = 0 steifer oder starrer Festkörper,<br />
λ0 = 0,4...0,5 Schüttgüter, Böden (aktiver Spannungszustand),<br />
λ0 = 1 Flüssigkeiten und<br />
λ(∆l1=0, ∆l2=∆l3) > 1 Schüttgüter, Böden (passiver Spannungszustand).<br />
Die Aufstellung eines Kräftegleichgewichtes (die Schubspannungspaare sind<br />
momentenfrei!) in vertikaler y-Achse und horizontaler x-Achse an einem solchen<br />
Volumenelement dV = dx⋅dy⋅dz lässt sich formal zu einer einzigen Darstellung<br />
mit m = 0, Formfaktor des ebenen Spannungszustandes, dz ><br />
(3...6)⋅dx, und m = 1 (Formfaktor des axialsymmetrischen Spannungszustandes)<br />
gemäß Folie 6.18 zusammenfassen.<br />
Beide Differentialgleichungen bilden zusammen mit der für die Lösung (mindestens<br />
3 Unbekannte!) notwendigen Beschreibung des Materialverhaltens die<br />
Grundlage für eine umfassende Modellierung der mehrachsigen Spannungsfelder<br />
(⇒ s. auch Charakteristiken- und FEM-Lösungsmethoden).<br />
Betrachtet man nunmehr ein horizontal mit dz ausgedehntes Schüttgut-Prisma<br />
gemäß Folie 6.18, dessen Querschnitt genügend klein ist, d.h.<br />
dx ≈ (25...100)⋅d, ( 6.119)<br />
damit sein Gewicht vernachlässigt werden kann, so gilt das Kräftegleichgewicht<br />
in Folie 6.19.<br />
6.2.2 Herleitung des MOHRschen Spannungskreises<br />
Kräftegleichgewicht am prismatischer Körper der Länge dz in σα- bzw. τα-<br />
Richtung:<br />
∑ Fσ = 0 α<br />
�<br />
σx<br />
+ σy<br />
σx<br />
− σy<br />
σα = + ⋅ cos 2α<br />
+ τxy<br />
⋅sin<br />
2α<br />
( 6.120)<br />
2 2<br />
∑ Fτ = 0 α<br />
�<br />
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10.10.2012<br />
τ α<br />
σ<br />
= −<br />
x<br />
− σ<br />
2<br />
y<br />
⋅sin<br />
2α<br />
+ τ<br />
xy<br />
⋅ cos 2α<br />
. (6.121)<br />
Eliminiert man aus diesen Gleichungen den Winkel α durch Quadrieren und<br />
Addition beider Gln., so folgt in allgemeiner Form der MOHRsche Spannungskreis:
2<br />
2<br />
σx<br />
+ y ⎞ 2 ⎛ σx<br />
− σy<br />
⎞ 2<br />
σα − ⎟ + τα<br />
= ⎜ ⎟ + τxy<br />
. ( 6.122)<br />
⎛ σ<br />
⎜<br />
⎝ 2<br />
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⎟<br />
⎠<br />
⎜<br />
⎝<br />
2<br />
⎟<br />
⎠<br />
Es ist nun von Interesse, wo die Spannung σα Extremwerte annimmt, d.h.<br />
∂σα<br />
1) Für = 0 ≡ τα<br />
∂α<br />
2 ⋅ τxy<br />
⎛ π ⎞<br />
tan 2α0<br />
= − = tan 2⎜<br />
+ α0<br />
⎟<br />
( 6.123)<br />
σ − σ ⎝ 2 ⎠<br />
σ<br />
x<br />
+ σ<br />
y<br />
x y x y<br />
σα → σ1<br />
= + ⋅ cos 2α0<br />
+ τxy<br />
⋅sin<br />
2α0<br />
( 6.124)<br />
σ<br />
+ σ<br />
2<br />
σ<br />
− σ<br />
2<br />
x y x y<br />
→ σ2<br />
= − ⋅ cos 2α0<br />
− τxy<br />
⋅sin<br />
2α0<br />
. ( 6.125)<br />
2<br />
σ<br />
− σ<br />
2<br />
Da auf der Fläche ds⋅dz τα = 0 sein kann, liefert dies die sog. größte Haupt-<br />
spannung σ1 und die kleinste Hauptspannung σ2.<br />
π<br />
2) Für τ xy = τyx<br />
= 0 folgen zwei im Winkel α 1,<br />
2 = α0<br />
± senkrecht aufei-<br />
4<br />
nander stehende Normalspannungen σx ⇒ σ1 und σy ⇒ σ2 sowie die Nor-<br />
mal- und Scherspannung σα ⇒ σ und τα ⇒ τ<br />
σ<br />
σ 1 + σ2<br />
σ1<br />
− σ2<br />
α M<br />
R mit σ M = und σ R = . ( 6.126)<br />
2<br />
2<br />
2 2 2<br />
( − σ ) + τ = σ<br />
Das ist die Gleichung eines Kreises (Folie 6.20). Im Koordinatensystem τ = f(σ<br />
) liegt dessen<br />
- Mittelpunkt bei σM = (σ1 + σ2)/2,<br />
- der Radius beträgt σR = (σ1 - σ2)/2.<br />
Für jede um α geneigte Fläche (im Gegenuhrzeigersinn aufgetragen!) lassen<br />
sich die Spannungen in einer Darstellung<br />
τ = f(σ) ⇔ in σR = f(σM) ⇔ in σ2 = f(σ1) ( 6.127)<br />
mit Hilfe dieses MOHRschen Spannungskreises umwandeln.<br />
In dreidimensionaler Darstellung beachte man: Spannungen (= Kraftvektoren<br />
auf geneigte Flächen mit Normalenvektor) sind Tensoren:<br />
⎛ σ<br />
⎜<br />
⎜τ<br />
⎜<br />
⎝ τ<br />
x<br />
xy<br />
xz<br />
τ<br />
σ<br />
τ<br />
yx<br />
y<br />
yz<br />
τ<br />
τ<br />
σ<br />
zx<br />
zy<br />
z<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎟ . ( 6.128)<br />
⎟<br />
⎠<br />
Im Falle eines Bruches stellt die o.g. Fläche eine Gleitfläche (Gleitebene) dar,<br />
wobei die Neigung der Hauptspannungen abgelesen werden kann (Folie 6.20).<br />
Aus der Darstellung in Folie 6.20 ist zu erkennen, dass die Koordinaten des<br />
Punktes P die Beträge von σ und τ auf der Fläche mit der Neigung α liefern.<br />
403
404<br />
Dabei ist zu beachten, dass Druckspannungen mit positivem, Zugspannungen<br />
mit negativem Vorzeichen aufgetragen werden. Gewöhnlich liegen für die in<br />
Schüttgütern anzutreffenden Spannungszustände die Mittelpunkte der MOHR-<br />
Kreise auf der positiven σ-Achse und ihr Radius ist von null verschieden (d.h.<br />
σ 1 > 0; σ2<br />
> 0 ).<br />
Bei einem einachsigen (einaxialen) Spannungszustand (einachsiger Zug oder<br />
Druck) ist nur eine Hauptspannung von null verschieden und der Kreis berührt<br />
die Ordinate. Sind die Hauptspannungen gleich groß (σ1 = σ2; isostatischer<br />
oder hydrostatischer Spannungszustand), dann schrumpft der Kreis zu einem<br />
Punkt, siehe dazu auch die zweiachsigen Spannungszustände einer gescherten<br />
Partikelpackung: Folie 6.21, Folie 6.22 und Folie 6.23.<br />
6.2.3 Bruchhypothesen und Fließkriterien<br />
Für die Schüttgutmechanik ist von wesentlichem Interesse, bei welchem Spannungszustand<br />
das Fließen, d.h., der Bruch bzw. das Versagen des Schüttgutes<br />
eintritt. Ein Fließkriterium bzw. eine Bruchhypothese muss folglich eine Aussage<br />
über die Spannung machen, die zum Bruch, Fließen oder zu einer irreversible<br />
plastische Verformung führt. Dazu sind nur Zug- oder Schubspannung<br />
und keine Druckspannungen in der Lage.<br />
1) HUBER-MIESES-HENCKY:<br />
� Bruch nach Erreichen maximaler Gestaltänderungsarbeit,<br />
� für Metalle,<br />
� Vergleichsnormalspannung σV ≤ σzul als maximal aufnehmbare Normalspannung<br />
bzw. zulässige Zugspannung gegen Zugbruch:<br />
2 2<br />
2<br />
σ V = σ1<br />
= σx<br />
+ σy<br />
− σxσ<br />
y + 3⋅ τxy<br />
≤ σzul<br />
. ( 6.129)<br />
Für eine große Anzahl von Stoffen reicht diese kontinuumsmechanische Bruchhypothese<br />
nicht mehr aus, da das Versagen des Werkstoffes schon durch ge-<br />
ringere Schubspannungen τzul < σzul verursacht wird. Der Zusammenhang<br />
einer Schubspannung als Funktion der Normalspannung τ = f(σ) (hier werden<br />
Druckspannungen positiv dargestellt) wird für ein gegebenes Material durch<br />
die Einhüllende aller MOHR-Kreise dargestellt, die den Bruchzustand charakterisieren:<br />
2) Von TRESCA:<br />
� Bruch durch maximale Schubspannung τmax,<br />
� Bruch- oder Scherfläche um den sog. Gleitwinkel von α = π/4 = 45°<br />
zur Richtung der beiden Hauptspannungen geneigt,<br />
� für zähe Werkstoffe zweckmäßig,<br />
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10.10.2012
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10.10.2012<br />
� Vergleichsnormalspannung ist:<br />
V<br />
max<br />
2 2<br />
( σx<br />
− σy<br />
) + 4 ⋅ τxy<br />
≤ zul<br />
σ = 2 ⋅ τ =<br />
σ . ( 6.130)<br />
3) COULOMB-MOHR:<br />
� Festkörperreibung (sog. COULOMB-Reibung) eingeführt mittels inne-<br />
ren Reibungswinkel ϕi,<br />
� Verhältnis aus Scherkraft zur Normalkraft = Reibungskoeffizient<br />
F / F = µ = tan ϕ<br />
( 6.131)<br />
S<br />
N<br />
i<br />
i<br />
� Druckfestigkeit (im Inneren jedoch Zug- oder Scherbrüche!) wesentlich<br />
größer als Zugfestigkeit,<br />
� Für "bindige" bzw. "kohäsive" Böden, spröde Werkstoffe,<br />
� Scherfläche um den Gleitwinkel<br />
/ 4 i / 2 ϕ + π = α<br />
σ2<br />
α<br />
τ ( 6.132)<br />
zur Richtung der kleinsten Hauptspannung geneigt,<br />
Grenzspannungsfunktion bzw. Fließort (Folie 6.23):<br />
max<br />
i<br />
c<br />
i<br />
( σ + )<br />
τ = τ = tan ϕ ⋅ σ + τ = tan ϕ ⋅ σ<br />
( 6.133)<br />
σ<br />
− σ<br />
2<br />
( σ + σ )<br />
1 2<br />
σ R = = sin ϕi<br />
⋅ M Z mit<br />
σZ<br />
τc<br />
Z<br />
σ1<br />
+ σ2<br />
σ M = . ( 6.134)<br />
2<br />
(dreiachsige) Zugfestigkeit im negativen σ-Bereich,<br />
Kohäsion, d.h. Scherfestigkeit für σ = 0,<br />
Spannungszustände, die durch Kreise gekennzeichnet sind, die die Umhüllende<br />
schneiden, können nicht existieren, weil das Fließen schon bei niedrigeren<br />
Spannungen eingetreten wäre. Andererseits charakterisieren MOHR-Kreise<br />
innerhalb der Umhüllenden Spannungszustände, die noch kein Fließen, sondern<br />
nur elastische Deformation herbeiführen.<br />
4) JENIKE (1961):<br />
� Grenzspannungsfunktion hat Endpunkt E und<br />
� ist von der Schüttgutdichte ρb bzw. Porosität ε abhängig.<br />
� Unterscheidung in beginnendes (instationäres) und<br />
� stationäres kohäsionslosen Fließens von Schüttgütern bei σ < 100<br />
kPa, d.h. effektiver Fließort (Folie 6.30):<br />
σR<br />
σ1<br />
− σ2<br />
= = sin ϕe<br />
. ( 6.135)<br />
σ σ + σ<br />
M<br />
1<br />
2<br />
ϕe effektiver (oder wirksamer innerer) Reibungswinkel<br />
5) Gemäß MOLERUS (1978):<br />
� Erstmalige Einführung partikelmechanischer Haftkraftmodelle zur<br />
physikalisch begründeten Erklärung bisher nur kontinuumsmechanisch<br />
zugänglicher Stoffgesetze.<br />
405
406<br />
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10.10.2012<br />
� Grenzspannungsfunktion ist von der Wirkung der Haftkräfte zwischen<br />
den Partikeln abhängig.<br />
� Nur irreversible, rein plastische Partikelkontaktdeformation Apl betrachtet<br />
(- Vorzeichen = Haftung, + Vorzeichen = Repulsion):<br />
∑ F = 0 = −FH<br />
0 − pVdW<br />
⋅ A pl − FN<br />
+ pf<br />
⋅ A pl . ( 6.136)<br />
� Diese mittleren mikroskopischen Kontaktkräfte FT und FN und die resultierenden<br />
Spannungen im Kontinuum τ und σ lassen sich unter bestimmten<br />
Voraussetzungen analytisch ineinander umrechnen (1-ε<br />
Packungsdichte):<br />
1−<br />
ε FT<br />
, FN<br />
τ , σ = ⋅<br />
( 6.137)<br />
2<br />
ε d<br />
� Einführung des kohäsiven stationären Fließens kohäsiver Schüttgüter<br />
bei σ < 100 kPa, s. Gln.( 6.51) und ( 6.52).<br />
� Physikalischer begründeter Zusammenhang zwischen dem stationären<br />
ϕst und dem inneren ϕi Reibungswinkel:<br />
ϕ = ( 1+<br />
κ ) ⋅ tan ϕ = const.<br />
( 6.138)<br />
tan st<br />
p<br />
i<br />
� 3 physikalisch begründete Fließkennwerte plus der Einfluss eines charakteristischen<br />
mittleren Druckes σM,st Folie 6.23:<br />
(1) ϕi innere Festkörperreibung (Gleitreibung) versagender Partikelkontakte,<br />
(2) ϕst stationäre Partikelreibung, charakterisiert Zunahme der<br />
Haftkräfte (Reibung) infolge verfestigender äußerer Kräfte,<br />
(3) σ0 dreiachsige Zugfestigkeit des unverfestigten Schüttgutes<br />
und<br />
(4) σM,st Einfluss der mechanischen Beanspruchungsvorgeschichte,<br />
svw. mittlerer Vorverfestigungsdruck, im Schüttgutkontinuum;<br />
unmittelbarer Zusammenhang zur Schüttgutdichte ρb =<br />
f(σM,st) Gl.( 6.164).<br />
� stationärer Fließort:<br />
σM,st Mittelpunktsspannung bei stationärem Fließen<br />
σR,st Radiusspannung bei stationärem Fließen (= Vorverfestigung)<br />
σ R,<br />
st = f ( σM,<br />
st )<br />
( 6.139)<br />
τ = f ( σ)<br />
. ( 6.140)<br />
� Momentanfließort (beginnendes Fließen):<br />
σ R = f [ σM<br />
]<br />
( 6.141)<br />
τ = f σ . ( 6.142)<br />
[ ]
6) NEU! (TOMAS 1987/99): Wesentliche Erweiterung bisheriger partikel-<br />
und kontinuumsmechanischer Bruchhypothesen durch Einführung neu-<br />
er, physikalisch begründeter Modelle der<br />
� Momentanfließorte, stationären Fließorte und Verfestigungsorte für<br />
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10.10.2012<br />
407<br />
elastisch-plastische Kontaktdeformationen und reibungsbehaftetem<br />
Kontaktgleiten mit lastabhängiger Haftkraft sowie der<br />
� Zeitfließorte mit viskoplastischer Kontaktdeformation (Anfang 1987<br />
siehe Diss. B 1991, CET 2003siehe Diss. B 1991, CET 2003):<br />
� Grenzspannungsfunktion ist von der Summe der elastischen Ael, irre-<br />
∑<br />
versibel plastischen Apl und zeitabhängigen viskoplastischen (svw.<br />
viskosen) Avis Partikelkontaktdeformationen abhängig:<br />
H0<br />
VdW<br />
( Ael<br />
+ A pl + A vis ) − FN<br />
+ FW<br />
, el + pf<br />
⋅ A pl + ηs<br />
/ t A vis<br />
F = 0 = −F<br />
− p ⋅<br />
⋅<br />
( 6.143)<br />
� Es werden sowohl geringe elastische Ael als auch plastische Kontaktab-<br />
plattungen Apl mit dem Kontaktflächenverhältnis κA (siehe Gl. (<br />
6.53)) berücksichtigt.<br />
� Verallgemeinert ist die gesamte Haftkraft somit:<br />
H,<br />
ges<br />
H<br />
Ht<br />
( 1+<br />
κ + κ ) ⋅ F + ( κ + κ ) FN<br />
F = F + F =<br />
⋅ . ( 6.144)<br />
t<br />
H0<br />
� Einführung einer zusätzlichen viskoplastischen Kontaktrepulsion<br />
bzw. Kontaktverfestigung κt bei σ < 100 kPa (σa ≡ pVdW Kontaktfes-<br />
tigkeit, siehe auch Gln.( 6.113) und ( 6.115)):<br />
κ<br />
t<br />
σa<br />
=<br />
η ⋅ ε�<br />
V<br />
V<br />
pVdW<br />
≈ ⋅ t . ( 6.145)<br />
η ( T)<br />
s<br />
ηV Volumenviskosität (viskoplastische Steifigkeit),<br />
ε� Kontaktdeformationsgeschwindigkeitsgradient<br />
V<br />
� Damit folgt der Zusammenhang zwischen innerer Partikelreibung und<br />
viskoplastischer zeitabhängiger Kontaktdeformation<br />
ϕ = ( 1+<br />
κ + κ ) ⋅ tan ϕ ≠ f ( t)<br />
= const.<br />
( 6.146)<br />
tan st<br />
t<br />
it<br />
� oder umgerechnet für den Reibungswinkel (Anstiegswinkel eines Zeitfließortes):<br />
tan ϕi<br />
tan ϕ it =<br />
. ( 6.147)<br />
tan ϕi<br />
⋅ pVdW<br />
⋅ t<br />
1+<br />
tan ϕ ⋅ η<br />
st<br />
s<br />
( T)<br />
� Zusätzlich zu den 3 Kennwerten ϕi, ϕst, σ0 in der Gl.( 6.151), 2 neue<br />
physikalisch begründete Fließkennwerte:<br />
(5) ϕit innere Festkörperreibung versagender Partikelkontakte<br />
und<br />
t
408<br />
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(6) 0t<br />
= κt<br />
⋅ σ0<br />
σ dreiachsige Zugfestigkeit des Schüttgutes.<br />
� Erheblich einfachere Gleichung (als MOLERUS) für den stationärer<br />
Fließort, siehe Folie 6.23, erhalten. Mit dem linearen Stoffgesetz der<br />
lastabhängigen Haftkraft FH(FN), Gl.( 6.51),<br />
H<br />
( 1+<br />
κ)<br />
⋅FH<br />
0 + κ FN<br />
F = ⋅ , ( 6.51)<br />
der Grenzbedingung der Tangentialkraft im adhäsiven Partikelkontakt<br />
(Coulomb-Reibung)<br />
T,<br />
C,<br />
H<br />
i<br />
( 1+<br />
κ)<br />
⋅(<br />
F F )<br />
F = µ ⋅ + , ( 6.148)<br />
H0<br />
N<br />
sowie mit einem näherungsweise konstantem elastisch-plastischen Kontaktverfestigungskoeffizienten<br />
κ ≈ const., siehe Gl.( 6.52), und mit dem<br />
Mikro-Makro-Übergang der Kontaktkräfte in Spannungen, Gl.(<br />
6.137), folgt eine bequeme lineare Gleichung des stationären Fließortes<br />
(Index st für stationäres Fließen)<br />
i<br />
( 1+<br />
κ)<br />
⋅ ( σ + σ ) = tan ϕ ⋅ ( σ + )<br />
τ = tan ϕ ⋅<br />
σ<br />
0<br />
und als Radius-Mittelpunkt-Funktion σR,st = f(σM,st):<br />
σ<br />
( σ + )<br />
R, st = sin ϕst<br />
⋅ M,<br />
st σ0<br />
st<br />
0<br />
( 6.149)<br />
( 6.150)<br />
� Momentanfließort für beginnendes Fließen nach elastisch-plastischer<br />
Partikelkontaktverfestigung, Gl.( 6.50) und Folie 6.23:<br />
⎡<br />
⎞ ϕ ⎤<br />
⎢ ⎜ ⎟ ⋅ σ + ⋅ σ ⎥<br />
⎣<br />
⎠ ϕ ⎦<br />
⎜<br />
⎛ sin ϕst<br />
sin st<br />
σR = sin ϕi<br />
⋅ σM<br />
+ −1<br />
M,<br />
st<br />
0 ( 6.151)<br />
⎝ sin ϕi<br />
sin i<br />
oder vereinfacht mit der Gl.( 6.150) des stationären Fließortes:<br />
σ R = sin ϕi<br />
⋅(<br />
σM<br />
− σM<br />
, st ) + σR<br />
, st<br />
( 6.152)<br />
Der Fließort hat einen positiven Anstieg (+ Vorzeichen vor σM bzw. σ),<br />
beginnt links im Punkt der isostatischen Zugfestigkeit σZ und endet<br />
rechts im Mohrkreis des stationären Fließens σM = σM,st:<br />
σR<br />
, st<br />
σ Z =<br />
sinϕ<br />
i<br />
⎛ sinϕ<br />
⎞ st<br />
sinϕst<br />
− σM,<br />
st = ⎜ −1⎟<br />
⋅ σM,<br />
st + ⋅ σ0<br />
⎝ sinϕ<br />
i ⎠ sinϕ<br />
i<br />
( 6.153)<br />
Dementsprechend ist im τ = f(σ) – Diagramm:<br />
⎡ ⎛ sin ϕ ⎞<br />
⎤<br />
st<br />
sin ϕst<br />
τ = tan ϕ ⎢ ⎜<br />
⎟<br />
i ⋅ σ + −1<br />
⋅ σM,<br />
st + ⋅ σ0<br />
⎥<br />
⎣ ⎝ sin ϕi<br />
⎠ sin ϕi<br />
⎦<br />
( 6.154)<br />
⎡ σR<br />
, st<br />
τ = tan ϕi<br />
⋅ ⎢σ<br />
+<br />
⎣ sin ϕi<br />
⎤<br />
− σM,<br />
st ⎥ .<br />
⎦<br />
( 6.155)<br />
� Verfestigungsort als Grenzspannungsfunktion, der alle Spannungszustände<br />
beschreibt, die zu einer Vorverfestigung - also Vorverdichtung<br />
und Konsolidierung - eines kohäsiven Schüttgutes führen Folie 6.23:<br />
R<br />
i<br />
( − σM<br />
+ σiso<br />
) = sinϕ<br />
i ⋅ ( − σM<br />
+ σM,<br />
st ) + R,<br />
st<br />
σ = sinϕ ⋅<br />
σ ( 6.156)
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⎡ ⎛ sinϕ<br />
⎞<br />
⎤<br />
st<br />
sinϕst<br />
= sin ϕi<br />
⋅ ⎢−<br />
σM<br />
+ ⎜ + 1⎟<br />
⋅ σM,<br />
st + ⋅ σ ⎥ ( 6.157)<br />
⎣ ⎝ sinϕ<br />
i ⎠ sinϕ<br />
i ⎦<br />
σR 0<br />
409<br />
Dieser Verfestigungsort hat einen negativen Anstieg (- Vorzeichen vor<br />
σM bzw. σ), beginnt links im Mohrkreis des stationären Fließens σM =<br />
σM,st und endet rechts im Punkt des isostatischen Druckes σiso:<br />
σ<br />
⎛ sinϕ<br />
⎜<br />
⎝<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
sinϕ<br />
R,<br />
st<br />
st<br />
st<br />
σ iso = + σM,<br />
st = + 1 ⋅ σM,<br />
st + ⋅ σ0<br />
( 6.158)<br />
sinϕ<br />
i sinϕ<br />
i<br />
sinϕ<br />
i<br />
Die Funktion τ = f(σ) ist:<br />
⎡ ⎛ sinϕ<br />
⎞<br />
⎤<br />
st<br />
sinϕst<br />
τ = tan ϕi<br />
⋅ ⎢−<br />
σ + ⎜ + 1⎟<br />
⋅ σM,<br />
st + ⋅ σ0⎥<br />
⎣ ⎝ sinϕ<br />
i ⎠ sinϕ<br />
i ⎦<br />
( 6.159)<br />
⎡ σR<br />
, st<br />
τ = tan ϕi<br />
⋅ ⎢−<br />
σ +<br />
⎣ sinϕ<br />
i<br />
⎤<br />
+ σM,<br />
st ⎥ .<br />
⎦<br />
( 6.160)<br />
Mikroskopische Ursache dieser typischen makroskopischen Schüttgutverfestigung<br />
sind die sich entwickelnden elastisch-plastischen<br />
Partikelkontaktverfestigungen gemäß Gl.( 6.50).<br />
� Zeitfließort, d.h. beginnendes Fließen nach zusätzlicher viskoplastischer<br />
Kontaktverfestigung, Gln. ( 6.143) und ( 6.144):<br />
⎡ σR<br />
, st ⎤<br />
σRt = sin ϕit<br />
⋅ ⎢σMt<br />
+ − σM,<br />
st ⎥<br />
( 6.161)<br />
⎣ sin ϕit<br />
⎦<br />
und im τ = f(σ) – Diagramm ist:<br />
⎡ σR<br />
, st ⎤<br />
τt = tan ϕit<br />
⋅ ⎢σt<br />
+ − σM,<br />
st ⎥ . ( 6.162)<br />
⎣ sin ϕit<br />
⎦<br />
Der Verlauf o.g. Grenzspannungsfunktionen hängt folglich ab von<br />
• den granulometrischen Eigenschaften,<br />
• den Bedingungen und Stoffgesetzen der Kontaktverfestigung oder Haftkraftverstärkung<br />
der Partikel im Schüttgut und vor allem<br />
• von den Vorverfestigungsspannung σM,st sowie<br />
• von der Packungsdichte (Porosität).<br />
6.2.4 Fließkennwerte von Schüttgütern<br />
6.2.4.1 Fließfunktion<br />
Vergleicht man ϕi bzw. ϕe mit dem vielfach zur Beurteilung der Fließfähigkeit<br />
von Schüttgütern herangezogenen Böschungswinkel ϕB, so gilt nur für kohäsionslose<br />
Güter ϕi ≈ ϕe ≈ ϕB Folie 6.24. Letzterer lässt sich durch Ausmessen<br />
eines aufgeschütteten Schüttkegels gut reproduzierbar ermitteln /3.145./.
410<br />
Für die Kennzeichnung der Festigkeitseigenschaften eines kohäsiven Schütt-<br />
gutes ist vor allem die einaxiale (einachsige) Druckfestigkeit σc bedeutsam,<br />
die vom Gut als Folge einer Verfestigungsspannung (größte Hauptspannung<br />
beim Verfestigen) σ1 aufgebracht wird (Folie 6.23). Den Betrag von σc erhält<br />
man aus dem zugehörigen Fließort, indem man einen MOHR-Kreis zeichnet,<br />
der durch den Koordinatenursprung (σ2 = 0) verläuft und den Fließort tangiert.<br />
Die einaxiale Druckfestigkeit σc entspricht somit der Spannung, die in einem<br />
Schüttgutzylinder, der mit σ1 verfestigt wurde, bei einachsigem Druck zum<br />
Bruch bzw. Fließen führt. Folglich fließt ein Schüttgut umso leichter, je gerin-<br />
ger σc bei vorhandener Verfestigungsspannung σ1 ist. Für die Charakterisie-<br />
rung der Fließfähigkeit kohäsiver Schüttgüter eignet sich deshalb besonders<br />
der Quotient aus der größten Hauptspannung σ1 und der einaxialen Druckfes-<br />
tigkeit σc, der als Fließfunktion ffc (im Sinne einer dimensionslosen Kennzahl)<br />
bezeichnet wird:<br />
ffc<br />
σ<br />
σ<br />
1 = oder<br />
c<br />
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10.10.2012<br />
ffct<br />
σ<br />
σ<br />
1 = . ( 6.163)<br />
ct<br />
Die von JENIKE /3.143/ vorgeschlagene Einteilung der Schüttgüter soll hier<br />
mit einer Ergänzung bezüglich verhärteten Gutes angeführt werden, Tabelle<br />
6.6 /3.144/.<br />
Bei kohäsionslosem Gut (τc = 0, Fließort geht durch den Koordinatenursprung)<br />
ist keine Druckfestigkeit vorhanden (σc = 0), so dass die Fließfunktion gegen<br />
unendlich geht. Die Klasse "verhärtet" wird dadurch abgegrenzt, dass hier die<br />
einaxiale Druckfestigkeit σct größer als die Verfestigungsspannung σ1 ist, Ta-<br />
belle 6.6:<br />
ffc Kennzeichnung Beispiele<br />
10 ≤ ffc freifließend (rieselfähig) trockener Sand<br />
4 ≤ ffc < 10 leichtfließend feuchter Sand<br />
2 ≤ ffc < 4 kohäsiv trockener Zement<br />
1 ≤ ffc < 2 sehr kohäsiv feuchte Pulver<br />
ffc, < 1 nicht fließend, verhärtet mit<br />
Festkörpereigenschaften<br />
gealterter Zement<br />
ffct<br />
Tabelle 6.6: Fließfunktion von Schüttgütern<br />
Dies kann nach einer Verfestigung des Schüttgutes in zeitlicher Ruhelage als<br />
sog. Zeitverfestigung auftreten und entsteht einerseits als Ergebnis von Festkörperbrückenbindungen<br />
(Gln.( 6.103) oder ( 6.107)). Die sind wiederum über<br />
sog. Zeitfließorte (Folie 6.30) mit den zugehörigen Kenngrößen wie Zugfes-<br />
tigkeit σZt, Kohäsion τct und innere Reibungswinkel ϕit beschreibbar.
Andererseits, wenn ein Pulver längere Zeit unter dem Verfestigungsdruck σ1 in<br />
Ruhe lagert, so wird sich ebenfalls die einaxiale Druckfestigkeit σct erhöhen<br />
und der ffct-Wert verringern (Folie 6.30). Ursache ist hier die zunehmende vis-<br />
kose Abplattung der Partikelkontakte (siehe Abschnitt 6.1.1.3, Gl.( 6.115)).<br />
6.2.4.2 Kompressionsfunktion<br />
Die Kompressibilität bei Schüttgütern entspricht der Druckabhängigkeit der<br />
Packungsdichte und wird beeinflusst von folgenden Mikrovorgängen:<br />
(1) Umlagerung steifer Partikeln mit steifen Kontakten zu einer dichteren Zufallspackung,<br />
(2) Deformation weicher Kontakte von harten (mineralischen) Partikeln und<br />
(3) Deformation weicher Partikeln (z.B. Biozellen).<br />
Siehe Folie 6.25, die typische Verdichtbarkeit oder Kompressibilität, d.h. die<br />
Druckabhängigkeit der Schüttgutdichte kohäsiver Pulver ist durch folgende<br />
Gleichungen beschreibbar (Herleitung siehe Kapitel 7 MVT_e_7neu-<br />
.doc#Schüttgutdichte_Sigma_Mst):<br />
n<br />
M,<br />
st<br />
b b,<br />
0 1 ⎟<br />
0<br />
⎟<br />
⎛ σ ⎞<br />
= ρ ⋅ ⎜ +<br />
σ<br />
ρ ( 6.164)<br />
⎝ ⎠<br />
Hierbei ist ρb0 ist die Schüttgutdichte der lockeren unverfestigten Packung beim<br />
mittleren Druck σM,st = 0.<br />
Diese Verdichtungs- oder Kompressionsfunktion, Gl.( 6.164), lässt sich auch<br />
durch Ersetzen von σM,st mittels der größten Hauptspannung σ1 berechnen:<br />
Die größte Hauptspannung σ1 ist am MOHR-Kreis des stationären Fließens:<br />
σ1<br />
− σ2<br />
σ1<br />
+ σ2<br />
σ 1 = + = σR<br />
, st<br />
2 2<br />
+ σM,<br />
st<br />
(6.165)<br />
Ersetzen der Radiusspannung σR,st mit Hilfe der Gl.( 6.150) des stationären<br />
Fließortes<br />
σ R = sin ϕ ⋅(<br />
σ + σ )<br />
( 6.150)<br />
, st<br />
st M,<br />
st 0<br />
und es folgt Umrechnung σ1 = f(σM,st):<br />
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( σM,<br />
st + σ0<br />
) + M,<br />
st<br />
σ (6.166)<br />
1 = sin ϕst<br />
⋅<br />
σ<br />
1<br />
M,<br />
st<br />
( 1+ sin ϕst<br />
) + sin ϕst<br />
⋅σ<br />
0<br />
σ = σ ⋅<br />
(6.167)<br />
Addieren von σ0 auf beiden Seiten der Gleichung liefert:<br />
σ1<br />
+ σ0<br />
= σM,<br />
st ⋅ 1+ sinϕst<br />
+ sinϕst<br />
⋅ σ0<br />
+ σ0<br />
= σM,<br />
st ⋅ 1+<br />
sinϕst<br />
+ σ0<br />
⋅ 1+<br />
sinϕ<br />
σ + σ = 1+ sinϕ<br />
⋅ σ + σ<br />
1<br />
0<br />
411<br />
( ) ( ) ( st )<br />
( ) ( )<br />
st<br />
σ + σ<br />
M,<br />
st<br />
0<br />
1 0<br />
σ M,<br />
st + σ0<br />
=<br />
(6.168)<br />
1+ sin ϕst
412<br />
Einsetzen von Gl.(6.168) in Gl.( 6.164) liefert die Verdichtungsfunktion als<br />
Funktion ρb = f(σ1), wie sie für die Trichterauslegung benutzt wird:<br />
ρ<br />
ρ<br />
b 1 0<br />
1<br />
b,<br />
0<br />
ρ<br />
ρ<br />
b,<br />
0<br />
⎛<br />
=<br />
⎜<br />
⎝<br />
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( 1+<br />
sin ϕ )<br />
n<br />
1<br />
⎜<br />
st 0 1 sin<br />
⎜<br />
σ + σ ⎞ ⎛<br />
⎟ =<br />
⋅σ<br />
⎠ ⎝ + ϕ<br />
⎛ 1<br />
⎜<br />
⎝1+<br />
sin ϕ<br />
b =<br />
⋅ 1<br />
st<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
n<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
σ<br />
+<br />
σ<br />
1<br />
0<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
n<br />
st<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
n<br />
⎛<br />
⋅<br />
⎜<br />
⎝<br />
σ<br />
+<br />
σ<br />
1<br />
0<br />
n<br />
⎟ ⎞<br />
⎠<br />
(6.169)<br />
Dies kann man auch mit einer modifizierten Schüttgutdichte der lockeren un-<br />
verfestigten Packung ρb,0* ausdrücken:<br />
n<br />
* ⎛ 1 ⎞<br />
ρ b,<br />
0 = ρb,<br />
0 ⋅ ⎜<br />
1 sin ⎟<br />
(6.170)<br />
⎝ + ϕst<br />
⎠<br />
n<br />
*<br />
1<br />
b b,<br />
0 1 ⎟<br />
0<br />
⎟<br />
⎛ σ ⎞<br />
= ρ ⋅ ⎜ +<br />
σ<br />
ρ . ( 6.171)<br />
⎝ ⎠<br />
Der Exponent n lässt sich als Kompressibilitätsindex physikalisch sinnvoll<br />
interpretieren. Kohäsive Pulver haben bei geringen Verfestigungsspannungen σ<br />
1 < 100 kPa meist Werte um n ≈ 0,1 (siehe Tabelle 6.7).<br />
Kompressibilitätsindex Bewertung Beispiele<br />
0 ≤ n < 0,01 inkompressibel trockener Sand<br />
0,01 ≤ n < 0,05 wenig kompressibel feuchter Sand<br />
0,05 ≤ n < 0,1 kompressibel kohäsive Pulver<br />
0,1 ≤ n < 1 sehr kompressibel sehr kohäsive Pulver<br />
Tabelle 6.7: Charakterisierung der Kompressibilität von Schüttgütern<br />
Die Packungsdichte kohäsionsloser Schüttgüter sollte wegen σ0 → 0 durch<br />
folgende halbempirische Formel beschrieben werden:<br />
n<br />
1 1<br />
1 ⎟ ⎛ σ ⎞<br />
⎜<br />
− ε =<br />
2⎜<br />
. ( 6.172)<br />
⎝ σ1/<br />
50 ⎠<br />
Für 1 1/<br />
50 σ =<br />
σ ist 5 , 0 1 = ε − , d.h., es wird annähernd die Packungsdichte einer<br />
kubischen Packung erreicht 1 − ε = π = 0,<br />
5236 .<br />
6<br />
Für die praktische Charakterisierung des Verdichtungsverhaltens von Pulvern<br />
bei nicht zu großen Drücken hat sich diese Vorgehensweise sehr bewährt.<br />
Wenn ein Schüttgut entlang einer Wand gleitet, dann kann die Wandreibung<br />
mittels eines Wandfließortes gekennzeichnet werden (Folie 6.30). Der wichtigste<br />
Parameter ist hierbei der Wandreibungswinkel ϕW, der wie folgt definiert<br />
ist /3.143/:
W<br />
ϕ W = arctan . ( 6.173)<br />
σW<br />
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10.10.2012<br />
τ<br />
ϕW hängt vor allem vom Wandmaterial und dessen Rauhigkeit sowie von den<br />
Fließeigenschaften des Schüttgutes (Feuchte, Partikelgröße u.a.) ab.<br />
6.2.5 Messung der Fließeigenschaften von Schüttgütern<br />
Die Fließeigenschaften kohäsiver Schüttgüter sind überschlägig mit Hilfe sog.<br />
Schnelltests Folie 6.26 und, physikalisch begründet, mittels der Ergebnisse von<br />
Schertests charakterisierbar /3.143.//3.146./ (Folie 6.27).<br />
Ein Translationsschergerät (Folie 6.27a) besteht aus einem oberen linear verschiebbaren<br />
Ring, einem unteren bodenseitig geschlossenen Ring und einem<br />
Deckel. Der Innenraum wird mit der Schüttgutprobe gefüllt und durch Aufbringen<br />
einer Normalspannung σ = Normalkraft FN/Querschnittsfläche A auf<br />
eine bestimmte Porosität ε verdichtet. Durch Verschieben des oberen gegen den<br />
unteren Ring wird die Probe bei einer festgelegten Anschernormalspannung σA,<br />
die auf den Deckel aufgebracht wird, mittels der erforderlichen Schubspannung<br />
τ = FS/A angeschert (Folie 6.29). Dabei muss die Probe gemäß der Grenzbedingung<br />
ideal-plastischer Deformation unter Volumenkonstanz, d.h. dV = 0,<br />
bzw. ε = const. oder ρb = const., und damit auch stationär, d.h. mit zeitlich konstanter<br />
Schubspannung fließen.<br />
- Unter-, Überverfestigung und kritische Verfestigung beim Scherversuch<br />
(Folie 6.28)<br />
- beginnendes und stationäres Fließen (Folie 6.29)<br />
Wird die Probe dann unter schrittweise verminderter Normalspannung σ =<br />
FN/A abgeschert, so erhält man mit der jeweils zugehörigen Schubspannung τ =<br />
FS/A Wertepaare, die das beginnende Fließen (bei Auflockerung bzw. Porositätszunahme)<br />
auf dem Fließort charakterisieren (Folie 6.29).<br />
Wird das Schüttgut zwischen dem An- und Abschervorgang einer Lagerzeit<br />
unter Belastung mit einer Normalspannung σ ausgesetzt, so erhält man den<br />
entsprechenden Zeitfließort, siehe Folie 6.30 links.<br />
Mit Hilfe der in Folie 6.27b dargestellten Anordnung ist die Ermittlung von<br />
Wandfließorten möglich.<br />
Neben der Translationsscherzelle haben sich auch andere Geräte, wie die Torsionsscherzelle<br />
(Folie 6.27c) und die Ringscherzelle (Folie 6.27d), eingeführt,<br />
die auf dem Prinzip der Scherung mittels Drehbewegung - das Drehmoment Mt<br />
wird gemessen - beruhen.<br />
Mit einem Triaxialgerät (Folie 6.27e) sind die Hauptspannungen σ1 und σ2<br />
direkt messbar, wobei sich dann die zugehörigen Normalspannungen σ und<br />
Scherspannungen τ als innere Spannungen an den Gleit- bzw. Scherebenen<br />
entsprechend der Fließbedingung einstellen.<br />
413
414<br />
• Gesamtdarstellung momentaner und stationärer Fließorte, Zeit- und<br />
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10.10.2012<br />
Wandfließort Folie 6.30<br />
Die einaxiale Druckfestigkeit σc von kohäsiven Schüttgütern kann auch direkt<br />
mit der in Folie 6.27f dargestellten Anordnung gemessen werden. Sie besteht<br />
aus einer zylindrischen Form, in die die Schüttgutprobe eingebracht und mit<br />
der größten Hauptspannung σ1 weitestgehend wandreibungsfrei verdichtet<br />
wird. Danach wird die Form entfernt und die stabile Probe auf Druck bis zum<br />
Bruch belastet und den σc-Wert liefert.<br />
Der Zusammenhang zwischen σc = f(σ1) wird Verfestigungsfunktion genannt<br />
und wird in der Folie 6.31 beispielhaft für ein ultrafeines bis nanoskaliges, sehr<br />
kohäsive TiO2-Pulver gezeigt.<br />
Das steife bis nachgiebige Partikelkontaktverhalten und das daraus resultierende<br />
freifließende bis sehr kohäsive Pulverfließverhalten sowie das inkompressible<br />
bis sehr kompressible Verdichtungsverhalten feinkörniger (d < 100<br />
µm), ultrafeiner (d < 10 µm) bis nanoskaliger (d < 0,1 µm) kohäsiver Pulver<br />
wird in der Folie 6.32 zusammengefasst dargestellt.<br />
6.3 Lagerung von Schüttgütern<br />
Verfahrenstechnische Aufgaben einer Speicheranlage (Folie 6.33)<br />
6.3.1 Verfahrenstechnische Probleme mit Silos und Bunkern<br />
Schacht- und Brückenbildung (Folie 6.34)<br />
Schüttgutfluss in Bunkern, Massen- und Kernfluss (Folie 6.35)<br />
Entmischungen (Folie 6.34)<br />
ungünstige Verweilzeitverteilungen (Folie 6.36)<br />
Überlastungen und Havariegefahr (Folie 6.37)<br />
6.3.2 Auslegung von Silos und Bunker<br />
6.3.2.1 Auslegungsschritte einer Speicheranlage<br />
wirtschaftliche Zielstellung (Folie 6.38)<br />
Auslegung Schaft und Trichter (Folie 6.39)
Hilfs- und Nebenanlagen (Folie 6.40)<br />
Verfahrenstechnische Bunkerauslegung:<br />
- Der Speicherbedarf hat übergeordnete Bedeutung für die Gesamtkosten<br />
der Anlage, z. B. in T€/m 3 Lagervolumen, ⇒ z.B. Haus ≈ 400 €/m 3<br />
umbauter Raum.<br />
- Gewöhnlich Auslegung für den ungünstigsten Fall, d.h.,<br />
+ Häufung der Anfuhr und Verzögerung der Abfuhr oder<br />
+ Häufung der Abfuhr ohne Anfuhr.<br />
- Ermittlung mit den Massebilanzen verfahrenstechnischer Prozesse:<br />
E d m m<br />
dm<br />
= � − �<br />
( 6.174)<br />
dt<br />
m gespeicherte Masse<br />
m� d , m� E Auslaufmassestrom (discharge), Einlaufmassestrom (Aufgabe)<br />
∫<br />
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∫<br />
∫<br />
= m�<br />
dt − m�<br />
dt . ( 6.175)<br />
dm E<br />
d<br />
→ Für den Stillstand des Einlaufes, m� E = 0 , ergibt sich die notwendige<br />
Speichermasse)<br />
m = m�<br />
⋅ ∆t<br />
. ( 6.176)<br />
Füll,<br />
1<br />
∆tE,max<br />
d<br />
E,<br />
max<br />
maximales Zeitintervall des Stillstandes des Einlaufstromes,<br />
d.h. der Austrag muss nachgeschaltete Prozesse versorgen<br />
→ Für den Stillstand des Auslaufes, m� d = 0 , muss der Speicher noch<br />
aufnahmebereit sein, d.h.<br />
m = m�<br />
⋅ ∆t<br />
. ( 6.177)<br />
Füll,<br />
2<br />
∆td,max<br />
E<br />
d,<br />
max<br />
maximales Stillstandszeitintervall des Austrages<br />
→ Es muss der ungünstigste beider Fälle, d.h. die maximal notwendige Füllmenge,<br />
ermittelt werden:<br />
m = k ⋅ m�<br />
⋅ ∆t<br />
. ( 6.178)<br />
Füll<br />
V<br />
max<br />
mFüll gesamte notwendige Füllmenge<br />
kv = 1,2...1,3 sog. Vorratskoeffizient zur Sicherheit<br />
6.3.2.2 Auslegung eines Massenflusstrichters<br />
415
416<br />
- fließgerechte Auslegung der Apparatehauptabmessungen des Trichters für<br />
Massenfluss zur Vermeidung von Schacht- und Brückenbildung Folie 6.41,<br />
- Neigungswinkel Θmax, (Folie 6.42, Folie 6.43)<br />
- entscheidend für das gewünschte Massenflussprofil ist die fließgerecht gestal-<br />
tete Trichterform, (Folie 6.44, Folie 6.45)<br />
daher nur Spannungen in Auslaufnähe betrachtet, siehe Folie 6.46.<br />
� unabhängig von den Bedingungen des Schüttgutfüllniveaus<br />
� aber typische Abhängigkeit der wesentlichen Fließkennwerte der Schüttgü-<br />
ter von der Verfestigungsspannung σ1, siehe Folie 6.47<br />
� Es wird ein radiales Spannungsfeld als einfacher Modellansatz angenom-<br />
men:<br />
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• Polarkoordinaten r und θ<br />
• in der Trichterspitze r = 0 sind alle Spannungen σr = 0<br />
� Kräftegleichgewicht am Schlitzauslauf:<br />
Σ F ↓ = 0 = dFG - dFV dFT = dFF = 0 vernachlässigt<br />
Mit der wirksamen Hauptspannung an der Trichterwand σ1‘ oder Auflager-<br />
spannung ist:<br />
ρ ⋅g⋅b⋅<br />
l⋅<br />
dh<br />
b<br />
' ρb<br />
⋅g⋅b<br />
σ1<br />
=<br />
sin2δ<br />
B<br />
oder Kreisöffnung:<br />
π 2<br />
ρb<br />
⋅g⋅<br />
⋅ b ⋅ dh<br />
4<br />
' ρb<br />
⋅g⋅b<br />
σ1=<br />
2⋅<br />
sin 2δ<br />
'<br />
= σ ⋅2<br />
⋅ l⋅<br />
dh<br />
B<br />
1<br />
'<br />
= σ<br />
1<br />
⋅π<br />
⋅<br />
oder zusammengefasst:<br />
B<br />
⋅ sinδ⋅cosδ<br />
b⋅<br />
dh<br />
B<br />
⋅ sinδ⋅cosδ<br />
( 6.179)<br />
( 6.180)<br />
' ρb<br />
⋅g⋅b<br />
σ1<br />
=<br />
. ( 6.181)<br />
( 1+<br />
m)<br />
⋅ sin2δ<br />
m = 0 keilförmiger Trichter<br />
m = 1 konischer Trichter<br />
→ vergleiche auch in der Folie 6.18 die Differentialgleichungen des ebenen<br />
und axialsymmetrischen Spannungsfeldes<br />
b oder D = 2⋅r⋅sinθ eingesetzt in Gl.( 6.181) (in der Trichterspitze sei voraus-<br />
setzungsgemäß σ1 = σ ' 1 = 0, d.h., Hauptspannung und wirksame Hauptspan-<br />
nung an der Wand sind gleich)<br />
⇒ wegen des linearen Verlaufes des radialen Spannungsfeldes gilt dann (δ = θ<br />
+ ϕw)
σ1<br />
r ⋅ g ⋅ ρb<br />
⋅1<br />
+ sin ϕe<br />
) ⋅ s(<br />
θ*)<br />
⋅ ( m + 1)<br />
⋅ sin 2δ<br />
= ff =<br />
( 6.182)<br />
'<br />
σ<br />
2 ⋅ r ⋅ g ⋅ ρ ⋅ sin θ<br />
1<br />
bzw.<br />
ff<br />
=<br />
( 1<br />
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+<br />
b<br />
( 1+<br />
sin ϕw<br />
)<br />
m)<br />
⋅ sin 2(<br />
θ + ϕw<br />
) ⋅ s(<br />
θ*)<br />
⋅<br />
( 6.183)<br />
2 ⋅ sin θ<br />
in dimensionsloser Darstellung von JENIKE gelöst; dabei ist die Funktion<br />
s(θ*) = f(θ, ϕw, ϕe), dafür<br />
� Aufstellung von 2 gewöhnlichen nichtlinearen Differentialgleichungen erster<br />
Ordnung und deren Lösung notwendig,<br />
� Lösungsgrenzen, d.h., Randbedingung ob an der Wand Fließen oder nicht<br />
eintritt ergibt die folgenden Massenfluss/Kernflussgrenzen (Folie 6.42, Folie<br />
6.43),<br />
� entsprechend Gl.( 6.183) ist ebenfalls ff = f (θ, ϕw, ϕe) Folie 6.48,<br />
� komplett s. alte Umdrucke der BAF bzw. JENIKE’s Bull. 123 (1964).<br />
Kriterium der Brückenbildung, siehe Folie 6.46:<br />
σc > σ'1 Brückenbildung!<br />
σc < σ'1 keine Brückenbildung!<br />
Aus der Gl.( 6.181) folgt für den kritischen Punkt<br />
σc = σ ' 1<br />
die minimale Öffnungsweite zur Vermeidung von Brücken (Folie 6.41):<br />
b<br />
min<br />
( m + 1)<br />
⋅σckrit⋅sin2(<br />
θ + ϕw<br />
)<br />
= . ( 6.184)<br />
ρ ⋅g<br />
b<br />
Die ausgeführte Öffnungsweite zur Vermeidung von Brückenbildung muss<br />
b ≥ bmin sein!<br />
Gelingt dies nicht, muss an dieser Stelle die Austraghilfe angesetzt werden!<br />
Als Grundlage einer numerischen Berechnung ist mit der neuen allgemeinen<br />
Fließortgleichung ( 6.151) die charakteristische, physikalische begründete<br />
Materialeigenschaftsfunktion, siehe Folie 6.47, anzusetzen (siehe auch 6.1):<br />
c<br />
2 ⋅ ( sin ϕst<br />
− sin ϕi<br />
)<br />
( 1+<br />
sin ϕ ) ⋅ ( 1−<br />
sin ϕ )<br />
st<br />
i<br />
1<br />
2 ⋅sin<br />
ϕst<br />
⋅ ( 1+<br />
sin ϕi<br />
)<br />
⋅ σ0<br />
( 1+<br />
sin ϕ ) ⋅ ( 1−<br />
sin ϕ )<br />
σ =<br />
⋅ σ +<br />
( 6.185)<br />
und dazu analog für Zeitverfestigungen mit der neuen allgemeinen Gleichung<br />
für Zeitfließorte ( 6.162):<br />
ct<br />
2 ⋅ ( sin ϕst<br />
− sin ϕit<br />
)<br />
( 1+<br />
sin ϕ ) ⋅ ( 1−<br />
sin ϕ )<br />
st<br />
it<br />
1<br />
st<br />
2 ⋅ sin ϕst<br />
⋅ ( 1+<br />
sin ϕit<br />
)<br />
⋅ σ0t<br />
( 1+<br />
sin ϕ ) ⋅ ( 1−<br />
sin ϕ )<br />
σ =<br />
⋅ σ +<br />
. ( 6.186)<br />
Diese linearen Funktionen, wie sie auch durch lineare Regression der Messergebnisse<br />
der Scherversuche gewonnen werden können, sind folgenden Typs:<br />
st<br />
i<br />
it<br />
417
418<br />
σ c = a1⋅ σ1<br />
+ σc,<br />
0<br />
( 6.187)<br />
a1<br />
σc,0<br />
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Anstieg der Eigenschaftsfunktion<br />
Ordinatenabschnitt der Druckfestigkeitsfunktion für σ1 = 0<br />
Mit den beiden Gln.( 6.182) und ( 6.187) lässt sich die kritische Druckfestigkeit<br />
'<br />
σ = a ⋅σ<br />
⋅ff<br />
+ σ<br />
im Schnittpunkt beider Funktionen ermitteln σc = σ1’: c 1 1 c,<br />
0<br />
σc,<br />
0<br />
σ c,<br />
krit =<br />
( 6.188)<br />
− a ⋅ff<br />
1 1<br />
und eingesetzt in Gl.( 6.184) folgt:<br />
b<br />
min<br />
( m + 1)<br />
⋅σ<br />
c,<br />
0⋅sin2(<br />
θ+<br />
ϕw<br />
)<br />
= . ( 6.189)<br />
ρ ⋅g⋅(<br />
1−a<br />
⋅ff<br />
)<br />
b<br />
1<br />
6.3.2.3 Auslegung eines Kernflusstrichters<br />
� Ermittlung der Mindestauslaufweite bmin zur Vermeidung einer stabilen<br />
Schachtbildung! (Folie 6.49)<br />
� da gewöhnlich bmin Schacht > bmin Brücke, hier keine Berücksichtigung der Brü-<br />
ckenbildung notwendig!<br />
� Nichtsdestotrotz in mangelhaft ausgelegten Kernflussbunkern kann natür-<br />
Daher:<br />
lich Brückenbildung auftreten, z. B. → Baustellensilos für Zement.<br />
� Abschätzung des maximalen Verfestigungsdruckes σ1, d.h. des wirksamen<br />
Vertikaldruckes pv ≈ σ1 in einem möglichen Schacht mit Hilfe der Schei-<br />
ben-Element-Methode (Folie 6.50)<br />
� Funktion G(ϕi) als „Sicherheitsbeiwert“ (Folie 6.51)<br />
6.3.2.4 Austraggeräte und Austraghilfen<br />
Anforderungen an Austraggeräte, Förderer und Dosierer:<br />
Schüttgutförderer, sind im Allgemeinen einfache - daher auch oft unterschätzte<br />
- allerdings sehr wesentliche Strukturelemente von Haupt-, Hilfs- und Nebenanlagen<br />
verschiedener Zweige einer stoffwandelnden Industrie oder Stoffwirtschaft.<br />
Ihre auf die Gewährleistung der Qualität des Fördergutes bezogenen<br />
und somit verfahrenstechnischen Hauptaufgaben sind:<br />
• Vermeidung von<br />
∗ Materialflussstörungen,<br />
∗ Betriebsstörungen,<br />
zur Gewährleistung der Funktion und Verfügbarkeit der Gesamtanlage;
• Gewährleistung einer hohen Konstanz der Schüttgutmengenströme und<br />
Qualitätskenngrößen hinsichtlich<br />
∗ Momentangenauigkeit bei Messzeitintervallen ∆t = 1 s für Messzeiten tm<br />
= 1 min,<br />
∗ Kurzzeitgenauigkeit bei Messzeitintervallen ∆t = 1 min für Messzeiten tm<br />
= 1 h,<br />
∗ Langzeitgenauigkeit bei Messzeitintervallen ∆t = 1 min für Messzeiten tm<br />
> 10 d;<br />
• dem entsprechend Vermeidung von Schwankungen der<br />
∗ Feststofffüllvolumenanteile oder -beladungen,<br />
∗ Partikelgrößenverteilungen und Dichten,<br />
∗ chemisch-mineralogischen oder biologischen Zusammensetzungen,<br />
∗ Vermeidung von Stoffumwandlungen während des Förderns,<br />
∗ Vermeidung von Staubbildung, Stör- oder Schadstoffemissionen,<br />
∗ Vermeidung von Anbackungen oder Bildung von Agglomeraten,<br />
∗ Vermeidung von Verunreinigungen durch Abrieb oder Verschleiß,<br />
zwecks Gewährleistung der Fördergutqualitäten;<br />
• Ausreichende Flexibilität beim Verwenden verschiedener Produkte und<br />
Mengenströme.<br />
Leider werden Schüttgutförderer ihrer eigentlichen Aufgabenstellung oftmals<br />
nicht gerecht und bringen darüber hinaus noch zusätzliche funktionelle Probleme<br />
durch Fließstörungen infolge Anbackungen, schwankende Mengenströme,<br />
Entmischungen, breite Verweilzeitverteilungen verbunden mit der Gefahr von<br />
Zeitverfestigungen, Stoffumwandlungen, Explosionsgefahr, Verderbgefahr,<br />
mangelhafte Mengenstrom- bzw. Qualitätskontrolle sowie Havariegefahr durch<br />
Überlastungen der Bauwerke und Fördertechnik und letztlich mangelhafte Verfügbarkeit<br />
des Verfahrens bzw. der gesamten Anlage.<br />
� Austraggeräte für Massenfluss (Folie 6.52, Folie 6.53)<br />
� Druck auf Austraggeräte (Folie 6.54)<br />
6.4 Verweilzeitverhalten bei stationärem Partikeltransport<br />
6.4.1 Verweilzeitverteilungsfunktion und –verteilungsdichte<br />
In der <strong>Verfahrenstechnik</strong> strebt man kontinuierliche Prozesse an - Fließprozessketten,<br />
z.B. bestehend aus: Rohstofflagerung, Dosieren, Fördern, Vorklassieren,<br />
Zerkleinern, Nachklassieren, Zwischenlagern, Dosieren, Fördern, Sortieren,<br />
Lösen, Sedimentieren, Filtrieren, Trocknen, Produktlagerung. Deshalb<br />
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10.10.2012<br />
419
420<br />
werden kontinuierlich arbeitende Apparate und Maschinen bevorzugt (Durch-<br />
flussapparate und -maschinen).<br />
Dann unterscheidet sich im Allgemeinen die Aufenthaltszeit der einzelnen Par-<br />
tikelvolumenelemente im Prozessraum. Was ist die Folge?<br />
Im Allgemeinen genügt es für die Prozessführung nicht, nur die mittlere Ver-<br />
weilzeit zu kennen, während der sich die Partikeln im Prozessraum aufhalten:<br />
dm<br />
dt<br />
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1<br />
m<br />
= m�<br />
→ ∫ dm = ∫ dt → τm<br />
= . ( 6.190)<br />
m�<br />
m�<br />
Die Verweilzeitverteilungsfunktion F(τ) liefert eine Aussage darüber, wel-<br />
cher Anteil der zu einem Zeitpunkt τ = 0 in den Prozessraum eingetretenen<br />
Partikelmasseelemente nach der Zeit τ wieder ausgetreten ist - auf den Index r<br />
= 3, d.h. Mengenart Masse, kann hier deshalb verzichtet werden, da ohnehin<br />
masse- oder volumenbezogene Partikelkonzentrationen verwendet werden. Die<br />
Verweilzeitverteilungsdichte f(τ) - auch Verweilzeitspektrum genannt - ist<br />
nach<br />
dF(<br />
τ)<br />
f ( τ)<br />
= F�<br />
( τ)<br />
=<br />
( 6.191)<br />
dτ<br />
mit der Verweilzeitverteilungsfunktion verknüpft. Sie vermittelt folglich eine<br />
Aussage über die Verteilung der austretenden Partikelvolumenelemente auf<br />
die verschiedenen Verweilzeiten.<br />
Bei einem diskontinuierlichen Prozess sind alle Partikelvolumenelemente die<br />
gleiche Zeit τR den Wirkungen des Prozesses unterworfen. Die Verweilzeitverteilungsfunktion<br />
F(τ) entspricht folglich der gewählten Verweildauer t = τR<br />
im Prozessraum (Θ-Funktion, Folie 6.55.1):<br />
⎩ ⎨⎧<br />
0 für τ<<br />
τR<br />
F ( τ)<br />
= Θ(<br />
τ)<br />
=<br />
( 6.192)<br />
1 für τ≥τ<br />
R<br />
und die Verweilzeitverteilungsdichte f(τ) der Dirac-schen δ-Funktion (δ - Impuls):<br />
⎧0<br />
für τ≠τ<br />
R<br />
f ( τ)<br />
= F�<br />
( τ)<br />
= δ(<br />
τ)<br />
= ⎨ . ( 6.193)<br />
⎩∞<br />
für τ=<br />
τR<br />
Bei kontinuierlichen Prozessen wird die Verweilzeit der<br />
Partikelvolumenelemente meist unterschiedlich sein. Dabei kann sich weiterhin<br />
die Verweilzeitverteilung des dispersen (körnigen) Stoffes von der kontinuierlichen<br />
Phase (Dispersionsmittel Fluid) unterscheiden. Man kann weiterhin sagen,<br />
dass sich vielfach sogar das Verweilzeitverhalten der einzelnen<br />
Partikelgrößenklassen unterscheiden wird.<br />
Will man nun die Verweilzeitverteilung ermitteln, so geht man wie folgt vor:
Zunächst ist es erforderlich, eine Probe des zu verarbeitenden Stoffes so zu<br />
markieren (z.B. farblich), dass sich Anteile dieser Probe im gesamten Mengenstrom<br />
mit genügender Genauigkeit erfassen lassen. Dann setzt man diese Probe<br />
stoßartig dem Aufgabemengenstrom zu, ohne diesen wesentlich zu stören, und<br />
verfolgt den Austritt der markierten Probe aus dem Prozessraum als Funktion<br />
*<br />
der Zeit. Bezeichnet man mit m� A = m�<br />
0 den bei τ = 0 zugesetzten Indikator-<br />
*<br />
mengenstrom (Aufgabe) und mit m�<br />
d = m�<br />
( τ)<br />
die nach der Zeit τ insgesamt aus<br />
*<br />
dem Prozessraum austretenden Teilmengenstrom (Austrag) von m� 0 , so erhält<br />
man die Verweilzeitverteilungsfunktion nach:<br />
*<br />
*<br />
m�<br />
( τ)<br />
m ( τ)<br />
F(<br />
τ)<br />
= = . ( 6.194)<br />
m�<br />
m<br />
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*<br />
0<br />
*<br />
0<br />
Für die Verweilzeitverteilungsdichte folgt:<br />
dF(<br />
τ)<br />
1 dm *<br />
( τ)<br />
= = . ( 6.195)<br />
dτ<br />
m dτ<br />
f *<br />
0<br />
Da man die Messung im Austragsmengenstrom meist diskretisiert nach den<br />
Zeiten τi (i = 1, 2, 3 ...) vornehmen wird, so folgt aus der letzten Gleichung (<br />
6.195):<br />
f ( τ<br />
i−1<br />
F(<br />
τi<br />
) −F(<br />
τ<br />
... τi<br />
) =<br />
τ −τ<br />
i<br />
i−1<br />
i−1<br />
*<br />
mτ<br />
m i − *<br />
) m0<br />
m<br />
=<br />
τ −τ<br />
i<br />
*<br />
τi−1<br />
*<br />
0<br />
i−1<br />
1<br />
=<br />
m<br />
*<br />
0<br />
∆m<br />
∆τ<br />
*<br />
i<br />
i<br />
. ( 6.196)<br />
Mit den zuletzt errechneten Werten erhält man für die Verweilzeitverteilungsdichte<br />
zunächst ein Histogramm, das sich durch Flächenausgleich in eine stetige<br />
Kurve überführen lässt.<br />
Einerseits liefert das erste vollständige Anfangsmoment der Verweilzeitverteilungsfunktion<br />
(siehe auch Gl.(1.27) im Abschnitt 1.2.2.2 (MVT_e_1neu.doc#mittlere_Partikelgröße)<br />
die Schätzung des Erwartungswertes und damit<br />
die mittlere Verweilzeit τm<br />
∞<br />
∫<br />
0<br />
1<br />
M = τ = τ ⋅ f ( τ)<br />
dτ<br />
( 6.197)<br />
1,<br />
3<br />
m<br />
mit der Gl. ( 6.195)<br />
*<br />
∞<br />
dm�<br />
1<br />
m�<br />
*<br />
0<br />
τm = ∫ τ ⋅ ⋅ dτ<br />
= dm�<br />
*<br />
* ∫ τ ⋅<br />
dτ<br />
m�<br />
0<br />
0 0<br />
( 6.198)<br />
und wiederum für die numerische Auswertung diskretisiert ergibt sich:<br />
τ<br />
m<br />
1<br />
≈<br />
m�<br />
*<br />
0<br />
⋅<br />
N<br />
∑<br />
i=<br />
1<br />
τ<br />
m,<br />
i<br />
⋅<br />
N<br />
* * 1<br />
( m�<br />
i − m�<br />
i−1<br />
) = ⋅∑<br />
τm,<br />
i ⋅ ( cs,<br />
i − cs,<br />
i−1<br />
)<br />
c<br />
s,<br />
0<br />
i=<br />
1<br />
. ( 6.199)<br />
τm,i Mittelwerte der Verweilzeitklassen i = 1, 2, 3 ... N<br />
421
422<br />
c<br />
*<br />
= m�<br />
/ V gemessene Partikelkonzentration der Verweilzeitklasse i<br />
s,<br />
i<br />
i<br />
Andererseits gilt aber auch unter Beachtung, dass das dV� τ das Füllvolumen<br />
VFüll bzw. ∫ dm� τ die Füllmasse mFüll darstellt:<br />
mFüll VFüll<br />
τ m = = . ( 6.200)<br />
m�<br />
V�<br />
Von Bedeutung ist weiterhin das zweite zentrale Moment. Es bezieht sich auf<br />
die Abweichungen von der mittleren Verweilzeit und stellt die Varianz der<br />
Verweilzeitverteilung dar:<br />
τm<br />
s<br />
2<br />
2 1<br />
2<br />
M 2,<br />
3=<br />
σ ( τ)<br />
= ∫ ( τ−τ<br />
m ) ⋅ f ( τ)<br />
dτ<br />
= ⋅ ∫ ( τ−τ<br />
m ) dcs<br />
. ( 6.201)<br />
c<br />
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10.10.2012<br />
∞<br />
0<br />
Wiederum für die numerische Auswertung diskretisiert, ergibt sich:<br />
s,<br />
0<br />
c<br />
cs<br />
, 0<br />
2 1<br />
σ ( τ ) ≈ ⋅<br />
�<br />
τ<br />
�<br />
N<br />
N<br />
2 * * 1<br />
2<br />
∑ ( τ m,<br />
i −τ<br />
m ) ⋅ ( m�<br />
i − mi−1<br />
) = ⋅∑<br />
( τ m,<br />
i − m ) ⋅ ( cs,<br />
i − cs,<br />
i−1<br />
)<br />
*<br />
m0 i=<br />
1<br />
cs,<br />
0 i=<br />
1<br />
∫<br />
( 6.202)<br />
6.4.2 Charakteristische Prozessmodelle des Verweilzeitverhaltens<br />
Bei der Kennzeichnung des Verweilzeitverhaltens kontinuierlicher Prozesse<br />
lassen sich typische Idealmodelle abgrenzen (Folie 6.55.2) und zwar<br />
- das ideale Strömungsrohr (Pfropfenströmung Folie 6.55.2a),<br />
- der ideale Durchlaufmischer (Folie 6.55.2b) und<br />
- die ideale Mischerkaskade, Reihenschaltung ideal. Mischer<br />
(Folie 6.55.2c).<br />
Das ideale Strömungsrohr entspricht hinsichtlich des Charakters der<br />
Verweiltzeitverteilung einem diskontinuierlichen Prozess.<br />
Beim idealen Durchlaufmischer erfasst die Mischwirkung das gesamte Volumen,<br />
und sie ist so intensiv, dass jedes neu eintretende Partikelvolumenelement<br />
sofort gleichmäßig über das Gesamtvolumen des Prozessraumes verteilt wird<br />
und somit die stoffliche Zusammensetzung des Austragsmengenstromes der<br />
momentanen Füllung des Prozessraumes entspricht.<br />
Zur Ableitung der Verweilzeitverteilung für den idealen Durchlaufmischer<br />
verhelfen folgende Überlegungen. Während eines differentiellen Zeitelementes<br />
dτ verlässt das Partikelvolumenelement Vdτ � den Prozessraum, und somit beträgt<br />
die äquivalente Änderung der gespeicherten und markierten Probemenge<br />
dmp* im Prozessraum mit deren Massenanteil µP* in Form einer Komponentenbilanz<br />
geschrieben:
dm<br />
*<br />
p<br />
dτ<br />
dm<br />
m<br />
*<br />
p<br />
*<br />
p<br />
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10.10.2012<br />
= −m�<br />
A,<br />
p<br />
= −m�<br />
A<br />
*<br />
mp<br />
( τ)<br />
⋅ = −m�<br />
m<br />
Füll<br />
A<br />
⋅ µ<br />
*<br />
p<br />
bzw.<br />
m�<br />
A 1<br />
= − ⋅ dτ<br />
= − ⋅ dτ<br />
. ( 6.203)<br />
m τ<br />
Füll<br />
m<br />
mp* zur Zeit τ noch im Prozessraum vorhandene markierte Probemenge<br />
Die Integration in den Grenzen von τ = 0 und mP * = m 0 * bis τ liefert dann die<br />
nach τ noch im Prozessraum verbliebene Restmenge bzw. -konzentration an<br />
markierter Probe:<br />
*<br />
* ⎡ τ ⎤<br />
m p(<br />
τ)<br />
= m0<br />
exp⎢−<br />
⎥ . ( 6.204)<br />
⎣ τm<br />
⎦<br />
Die Verweilzeitverteilungsfunktion F(τ) (Folie 6.56.5) macht demgegenüber<br />
eine Aussage über den nach der Zeit τ bereits aus dem Prozessraum ausgetra-<br />
genen Anteil der markierten Probe, also:<br />
*<br />
*<br />
m ( τ)<br />
mp<br />
⎡ τ ⎤<br />
F ( τ)<br />
= = 1−<br />
= 1−exp⎢−<br />
*<br />
*<br />
⎥ bzw. ( 6.205)<br />
m0<br />
m0<br />
⎣ τm<br />
⎦<br />
1 ⎡ τ ⎤<br />
f ( τ)<br />
= exp⎢−<br />
⎥ . ( 6.206)<br />
τm<br />
⎣ τm<br />
⎦<br />
τ ⋅f<br />
( τ)<br />
bezeichnet man als normierte Verweilzeitverteilungsdichte. Sie ist für<br />
m<br />
den idealen Durchlaufmischer in Folie 6.56.4 mit dargestellt (n = 1).<br />
Dem ungünstigen Verweilzeitspektrum eines idealen Durchlaufmischers - sog.<br />
Kurzschlussströmung, da meist eine bestimmte Verweildauer gefordert wird -<br />
kann man durch Hintereinanderschalten mehrerer Durchlaufmischer zu einer<br />
Kaskade idealer Mischer begegnen (Folie 6.55.2). Für deren Verweilzeitver-<br />
teilungsfunktion ergibt sich:<br />
n 1 ⎛<br />
F(<br />
τ)<br />
= 1−<br />
∑ ⋅⎜<br />
⎜<br />
i = 1 ( i −1)!<br />
⎝<br />
τ<br />
τ<br />
m<br />
, n<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
i−1<br />
⎡ τ<br />
⋅exp⎢−<br />
⎢⎣<br />
τm<br />
i = 1, 2, 3, ... n Stufenzahl<br />
Vn V τm<br />
τm,<br />
n = = = mittlere Verweilzeit in einer Stufe<br />
V�<br />
n ⋅ V�<br />
n<br />
und die normierte Verweilzeitverteilungsdichte<br />
τ<br />
m<br />
n−1<br />
, n<br />
⎤<br />
⎥ ⎥ ⎦<br />
( 6.207)<br />
n ⎛ ⎞ ⎡ ⎤<br />
⎜<br />
τ<br />
τ<br />
⋅f<br />
( τ)<br />
= ⋅ ⎟<br />
⎜ ⎟<br />
⋅ exp⎢−<br />
⎥ . ( 6.208)<br />
( n −1)!<br />
⎝ τm,<br />
n ⎠ ⎢⎣<br />
τm,<br />
n ⎥⎦<br />
In Folie 6.56.4 sind die normierten Verweilzeitverteilungsdichten von<br />
Mischerkaskaden als Funktion der dimensionslosen Verweilzeit τ/τm mit ver-<br />
schiedener Stufenzahl n dargestellt, wobei vorausgesetzt wurde, dass der Ge-<br />
423
424<br />
samtinhalt der Kaskade und damit ihre mittlere Gesamtverweilzeit τm = n⋅τm,n<br />
konstant bleibt. Man erkennt deutlich, dass sich mit wachsender Stufenzahl die<br />
Verweilzeitspektren immer mehr an die mittlere Verweilzeit anschmiegen.<br />
Eine Mischerkaskade mit n → ∞ ist dem idealen Strömungsrohr gleichwertig.<br />
Muss man für einen Prozess eine genügend enge Verweilzeitverteilung reali-<br />
sieren, so ist bei gleich bleibendem Gesamtprozessraumvolumen eine ausreichende<br />
Stufenzahl vorzusehen, z.B. für:<br />
* mechanische und thermische Stofftrennprozesse,<br />
* chemische Reaktionen.<br />
Sowohl der ideale Durchlaufmischer als auch die reine Pfropfenströmung sind<br />
in der Praxis kaum verwirklicht. Vielfach überlagern sich beide. In diesem Sinne<br />
lässt sich das Strömungsrohr mit axialer Vermischung (Rückvermischung<br />
durch Turbulenz) abgrenzen (Folie 6.56.6), das für eine Reihe von mechanischen<br />
Prozessen typisch ist (z.B. Mahlen in Trommelmühlen).<br />
In diesem Zusammenhang ist eine dimensionslose Kenngröße von Bedeutung,<br />
die das Verhältnis aus gerichtetem konvektiven Partikeltransport v⋅L (L -<br />
Länge des Prozessraumes, v - Partikelgeschwindigkeit) zum zufälligen<br />
diffusiven Partikeltransport DP (= axialer Diffusionskoeffizient, z.B. Dt im<br />
Falle der Turbulenz) charakterisiert und BODENSTEIN-Zahl Bo genannt<br />
wird:<br />
v ⋅ L<br />
Bo = . ( 6.209)<br />
D<br />
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10.10.2012<br />
P<br />
Sie kennzeichnet den Mischungszustand eines strömenden Partikelkollektives;<br />
und zwar gilt<br />
• Bo → 0: D → ∞ großer Diffusionskoeffizient, ideale Mischung,<br />
• Bo → ∞: D → 0 ideale Verdrängung (Pfropfenströmung).<br />
Deshalb kann man auch die Frage aufwerfen, ob sich ein gegebener kontinuierlicher<br />
Prozess nicht angenähert mit einer Mischerkaskade von n Stufen vergleichen<br />
lässt. Dadurch gelangt man zur äquivalenten Rührstufenzahl näq:<br />
n<br />
äq<br />
2 ( 1+<br />
Bo + 1)<br />
1<br />
= ⋅<br />
. ( 6.210)<br />
2<br />
• näq =1: Bo → 0, D → ∞, ideale Mischung,<br />
• näq → ∞: Bo → ∞, D → 0, ideale Pfropfenströmung.<br />
Praktisch lässt sich die BODENSTEIN-Zahl über ein Modell des diffusionsgesteuerten<br />
axialen Partikeltransportes in einem Apparat gewinnen:<br />
Dem konvektiven axialen Partikeltransport durch den Prozessraum ist eine diffusionsgesteuerte<br />
axiale Partikelvermischung überlagert. Konzentrations- und<br />
Geschwindigkeitsunterschiede quer oder radial dazu werden vernachlässigt.
6.4.3 Lösung der zweiten KOLMOGOROFF-Differentialgleichung<br />
Einerseits lässt sich dieses vereinfachte eindimensionale<br />
Partikeldispersionsmodell aus dem allgemeinen Modell mechanischer Prozesse<br />
Gl.(2.82) im Abschnitt 2.4 MVT_e_2.doc gewinnen. Andererseits kann man es<br />
auch aus einer integralen Modellgleichung für den Transport oder die „Verschiebung“<br />
molekularer Fluidteilchen ableiten - FOKKER-PLANCK-<br />
Gleichung der statistischen Physik – (siehe Abschnitt 4.3.1<br />
MVT_e_4neu.doc#Fokker_planck, Gl. (4.153)):<br />
2<br />
3<br />
∂q(<br />
x,<br />
t)<br />
u ( x)<br />
∂q(<br />
x,<br />
t)<br />
u 2(<br />
x)<br />
∂ q(<br />
x,<br />
t)<br />
1 ∂<br />
= − ⋅ + ⋅ − ⋅<br />
2<br />
∂t<br />
1!<br />
∂x<br />
2!<br />
∂x<br />
3!<br />
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10.10.2012<br />
[ q(<br />
x,<br />
t)<br />
⋅ u ( x)<br />
]<br />
1 3 +<br />
3<br />
∂x<br />
...<br />
( 6.211)<br />
Dabei wird vorausgesetzt, dass sich der dem Fluidteilchentransport zugrunde<br />
liegende physikalische Grundvorgang bei jedem Schritt δx nicht ändert und nur<br />
vom Zustand des Stoffsystems zum Zeitpunkt t abhängt. Ein derartiger stochastischer<br />
Prozess wird in der statistischen Physik stetiger MARKOFF-Prozess<br />
genannt. Höhere Ordnungen werden gewöhnlich u n><br />
2(<br />
x)<br />
≈0<br />
gesetzt und man<br />
erhält die sog. zweite KOLMOGOROFF-Differentialgleichung für die<br />
Wahrscheinlichkeit q( x,<br />
t)<br />
⋅ dx dafür<br />
∂q(<br />
x,<br />
t)<br />
∂<br />
= −<br />
∂t<br />
2<br />
[ u ( x)<br />
⋅ q(<br />
x,<br />
t)<br />
] 1 ∂ [ D(<br />
x)<br />
⋅ q(<br />
x,<br />
t)<br />
]<br />
1<br />
∂x<br />
+ ⋅<br />
2<br />
∂x<br />
2<br />
, ( 6.212)<br />
dass sich das betrachtete Fluidteilchen zum Zeitpunkt t im Intervall x bis x + dx<br />
befindet ( D( x)<br />
≡ 2 ⋅ D * ). Mit der Partikelkonzentration c(x, t) und der<br />
Partikelgeschwindigkeitsverteilung v(x, t) lautet Gl.( 6.212) nunmehr in<br />
normierter Schreibweise:<br />
∂C(<br />
X,<br />
θ)<br />
∂C(<br />
X,<br />
θ)<br />
= − +<br />
∂θ ∂X<br />
0<br />
1<br />
Bo<br />
ax<br />
2<br />
∂ C(<br />
X,<br />
θ)<br />
⋅ . ( 6.213)<br />
2<br />
∂X<br />
C ( X,<br />
θ ) = c(<br />
x,<br />
t)<br />
/ c normierte Partikelkonzentration ( 6.214)<br />
X = x / L<br />
normierte Apparateaxialkoordinate ( 6.215)<br />
θ = τ / τm<br />
normierte Verweilzeit ( 6.216)<br />
Boax = v ⋅ L / Dax<br />
axiale BODENSTEIN-Zahl ( 6.217)<br />
v = L / τ<br />
mittlere Partikeltransportgeschwindigkeit ( 6.218)<br />
m<br />
Dax axialer Partikeldispersionskoeffizient<br />
Diese Differentialgleichung lässt sich mit den Randbedingungen<br />
1) an der Partikelaufgabe bei x < 0 findet keine „Rückdiffusion“ aus dem<br />
Bilanzraum 0 ≤ x ≤ L heraus statt, d.h. für x = 0 und t > 0 ist:<br />
425
426<br />
∂C(<br />
0,<br />
θ)<br />
∂C(<br />
0,<br />
θ)<br />
= 0=<br />
− +<br />
∂θ<br />
∂X<br />
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10.10.2012<br />
1<br />
Bo<br />
ax<br />
2<br />
∂ C(<br />
0,<br />
θ)<br />
⋅ , ( 6.219)<br />
2<br />
∂X<br />
2) am Partikelaustrag bei x = L findet keine „Rückdiffusion“ in den Bilanz-<br />
raum 0 ≤ x ≤ L hinein statt:<br />
2<br />
∂ C(<br />
L,<br />
θ)<br />
0 = , ( 6.220)<br />
2<br />
∂X<br />
analytisch durch die Berechnung des axialen Dispersionskoeffizienten Dax<br />
(Partikeltransportkoeffizient) mit Hilfe des zweiten zentralen Momentes einer<br />
gemessenen Verweilzeitverteilung gemäß Gl.( 6.201) berechnen<br />
⎪⎧<br />
⎡<br />
⎤⎪⎫<br />
2 2 ⋅ D<br />
⎛ ⎞<br />
ax Dax<br />
v ⋅ L<br />
σ ( τ,<br />
L)<br />
= ⋅ ⎨L<br />
− ⋅ ⎢1−exp<br />
⎜<br />
⎜−<br />
⎟<br />
3<br />
⎥⎬<br />
( 6.221)<br />
v ⎪⎩<br />
v ⎣ ⎝ Dax<br />
⎠⎦⎪⎭<br />
oder mit der BODENSTEIN-Zahlen Boax = v ⋅ L / Dax<br />
und der mittleren Strö-<br />
v = L / τ nach Gl.( 6.218)<br />
mungsgeschwindigkeit m<br />
[ ( ) ] ⎬<br />
⎭ ⎫<br />
2<br />
2 ⋅ τ ⎧ m 1<br />
( τ,<br />
L)<br />
= ⋅ ⎨1<br />
− ⋅ 1−<br />
exp − Bo . ( 6.222)<br />
Boax<br />
⎩ Boax<br />
2<br />
σ ax<br />
2<br />
Dax gewinnt man iterativ mit Hilfe der numerisch berechneten Varianz σ ( τ,<br />
L)<br />
gemäß Gl.( 6.202) zweckmäßig durch quadratische Auflösung:<br />
⎪⎧ 2 2<br />
v ⋅ L<br />
2 ⋅ v ⋅ σ ( τ,<br />
L)<br />
⎪⎫<br />
D ax = ⋅ ⎨1<br />
− 1−<br />
⋅ [ 1−<br />
exp(<br />
−Boax<br />
) ] 2<br />
⎬ .<br />
2 ⋅ [ 1−<br />
exp(<br />
−Boax<br />
) ] ⎪⎩<br />
L<br />
⎪⎭<br />
Für große 3<br />
Boax > ist der Term 1 exp(<br />
− Boax<br />
) = 0,<br />
95 ≈ 1<br />
( 6.223)<br />
− vernachlässigbar<br />
und es folgt vereinfachend:<br />
v ⋅ L ⎪⎧<br />
D ax ≈ ⋅ ⎨1<br />
−<br />
2 ⎪⎩<br />
2<br />
⎪⎫<br />
2<br />
2 ⋅ v 2 L<br />
1−<br />
⋅ σ ( τ,<br />
L)<br />
⎬ =<br />
2<br />
L ⎪⎭<br />
2 ⋅ τm<br />
⎪⎧<br />
⋅ ⎨1<br />
−<br />
⎪⎩<br />
2<br />
σ ( τ,<br />
L)<br />
⎪⎫<br />
1−<br />
2 ⋅ 2 ⎬ .<br />
τm<br />
⎪⎭<br />
( 6.224)<br />
Der letzte Term unter der Wurzel stellt eine auf den geschätzten Erwartungs-<br />
wert bezogene Varianz σ 2 (τ, L) oder Standardabweichung σ(τ, L) dar. Dies<br />
lässt sich somit auch als eine dimensionslose statistische Kennzahl - sog. Va-<br />
riationskoeffizient der Verweilzeitverteilung vvk - aufschreiben:<br />
v<br />
vk<br />
σ(<br />
τ,<br />
L)<br />
( τ , L)<br />
= . ( 6.225)<br />
τ<br />
m<br />
Daraus gewinnt man nun die Beziehungen der dimensionslosen Kennzahlen<br />
und zwar aus der Gl.( 6.222)<br />
[ ( ) ] ⎬<br />
⎭ ⎫<br />
2 2 ⎧ 1<br />
v vk ( τ, L)<br />
= ⋅ ⎨1<br />
− ⋅ 1−<br />
exp −Boax<br />
( 6.226)<br />
Boax<br />
⎩ Boax
und angenähert für die BODENSTEIN-Zahl<br />
Bo<br />
ax<br />
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10.10.2012<br />
2<br />
≈ . ( 6.227)<br />
2<br />
1−<br />
1−<br />
2 ⋅ v ( τ,<br />
L)<br />
vk<br />
Betrachtet man darüber hinaus in Gl.( 6.226) vereinfachend nur den ersten<br />
Term vor der geschweiften Klammer, erhält man den unmittelbare Zusammenhang<br />
zwischen der BODENSTEIN-Zahl und dem Variationskoeffizienten der<br />
Verweilzeitverteilung:<br />
2<br />
= . ( 6.228)<br />
v ( τ,<br />
L)<br />
Boax 2<br />
vk<br />
Der axiale Partikeldispersionskoeffizient Dax ist folglich:<br />
D<br />
ax<br />
2<br />
3 2<br />
2 2<br />
σ ( τ,<br />
L)<br />
⋅ v σ ( τ,<br />
L)<br />
⋅ L vvk<br />
( τ,<br />
L)<br />
≈ =<br />
= ⋅ ( v ⋅ L)<br />
3<br />
. ( 6.229)<br />
2 ⋅ L 2 ⋅ τ 2<br />
m<br />
Mit Hilfe der Gln.( 6.228) und (6.92) wird auch der in der statistischen Analogiebetrachtung<br />
der turbulenten Diffusion im Abschnitt 4.2.2.1 MVT_e_4neu-<br />
.doc#Diffusionskoeffizient_turb benutzte Zusammenhänge zwischen dem turbulenten<br />
Diffusionskoeffizienten Dt, einer mittleren Partikelgeschwindigkeit<br />
und charakteristischen Fluidgeschwindigkeit 0 u v ≈ sowie einer für den Partikeltransport<br />
längs des Weges L wesentlichen Apparateabmessung 0 D L ≈<br />
deutlich:<br />
D ≈ D ∝ v ⋅ L ≈ u ⋅ D . ( 6.230)<br />
t<br />
ax<br />
0<br />
0<br />
Neben der idealen Mischung und Verdrängung können zusätzliche Beeinflussungen<br />
des Verweilzeitverhaltens durch<br />
- Toträume (d.h. Bereiche, die sich der Mischwirkung entziehen ⇒lange<br />
Verweildauer, sehr flaches F(τ)),<br />
- Kurzschlüsse zwischen Aufgabe- und Austragöffnung ⇒ sehr kurze Verweildauer<br />
("Schnelldurchläufer", großer Anstieg von F(τ)) sowie<br />
- Rückvermischen<br />
bei mehrstufigen Anordnungen eintreten. Diese Einflüsse wirken sich auch in<br />
charakteristischer Weise auf die Kurvenverläufe aus und lassen sich angenähert<br />
durch Korrekturglieder erfassen. So kann man für die Verweilzeitverteilungsfunktion<br />
F(τ) einer Rührstufe setzen:<br />
⎡ ( τ−τ<br />
⎤ ε )<br />
F ( τ)<br />
= 1−<br />
exp⎢−<br />
η ⋅ ⎥ mit F(τ) ≥ 0. ( 6.231)<br />
⎣ τm<br />
⎦<br />
Der Parameter η macht folglich eine Aussage über die Vollkommenheit, d.h.<br />
den Wirkungsgrad der Mischung. Bei vollständiger Mischung ist η = 1; mit<br />
427
428<br />
positiven oder negativen Abweichungen. Der Parameter τε ist ein Maß für die<br />
Phasenverschiebungen im System (Tabelle 6.8)<br />
* τε/τm > 0 Pfropfenströmung;<br />
* τε/τm < 0 Kurzschluss.<br />
Problematisch ist jedoch die praktische Handhabbarkeit dieses Models.<br />
η τε/τm<br />
Vollständige Vermischung 1 0<br />
Pfropfenströmung > 1 > 0<br />
Totraum vorhanden > 1 0<br />
Kurzschluss vorhanden < 1 < 0<br />
Beispiele:<br />
MVT_e_6neu <strong>Mechanische</strong> <strong>Verfahrenstechnik</strong> - Partikeltechnologie Schüttgutspeicherung Prof. Dr. J. Tomas,<br />
10.10.2012<br />
Tabelle 6.8: Physikalische Bedeutung von η und τε<br />
- Massenflussbunker (Folie 6.35)<br />
* Pfropfenströmung dicht gepackten Schüttgutes<br />
- Kernflussbunker (Folie 6.35) und Probleme damit (Folie 6.34)<br />
* Totzonen an den Wänden<br />
Zeitverfestigung von empfindlichen Materialien ⇒ Tendenz zu Festkörperbrückenbindungen<br />
(Folie 6.36)<br />
* Kurzschlüsse im fließenden Kern (Folie 6.36)<br />
mangelhafte Entgasung pneumatisch geförderter Güter<br />
6.5 Schwerpunkte und Kompetenzen<br />
Anhand dieser Schwerpunkte können Sie Ihr Wissen und Ihre verfahrenstechnischen<br />
Kompetenzen überprüfen:<br />
• Mikromechanische Grundlagen der Partikelhaftung und Makromechanik<br />
des Fließens kohäsiver Pulver:<br />
Haftkräfte zwischen feinen Partikeln, Fliessorte und Fließkennwerte<br />
kohäsiver Schüttgüter anhand eines τ=f(σ)-Diagramms,<br />
• Produktbewertung:<br />
Fließfähigkeit und Kompressibilität kohäsiver Pulver, Wirkprinzipien<br />
der Schergeräte, Methodik eines Scherversuches;<br />
• Prozessauslegung:<br />
Verfahrenstechnische Probleme, Vor- und Nachteile der Kern- und<br />
Massenflussbunker, Methodik der fließgerechten Auslegung eines Massenflussbunkers<br />
(Verfestigungsfunktionen und Auslegungsdiagramme);