Ausklammern - Mathesite

Ausklammern Glege 02/01
Ausklammern oder Faktorisieren (= Gegenteil zum Klammer ausmultiplizieren) heißt: aus einer
Summe (oder Differenz) ein Produkt zu bilden.
Beispiel: 8 x - 12 = 4·2 x – 4·3 = 4 · (2 x -3)
Hier steckt der Faktor 4 sowohl in der 8 als auch in der 12. Die 8 wird als 4 mal 2 geschrieben und
die 12 als 4 mal 3. Die gemeinsame 4 wird vor die Klammer geschrieben (ausgeklammert), in die
Klammer wird der Rest hineingeschrieben.
Achtung: wird ein Summand vollständig vor die Klammer gezogen, muss dafür in die Klammer
eine 1 geschrieben werden!
Aufgabe 1)
Beispiel: 2 + 6 z = 2 · 1 + 2 · 3 · z = 2 · (1 + 3 z)
a) 9 z + 3 = b) 8 x + 16 y =
c) 10 x - 15 = d) 21 x + 35 y =
e) 35 y – 14 + 49 x = f) 12 x + 16 y – 24 z =
g) 12 x – 24 y + 36 z = h) 0,25 a - 0,5 b + 0,75 c =
Außer Zahlen können auch Variablen ausgeklammert werden. Dazu muss die gleiche Variable in
allen Summanden vorkommen. Es gilt: x² = x · x
Aufgabe 2)
Beispiel: 4 x 2 + 5 x = 4 · x · x + 5 · x = x · (4 x + 5)
a) 9 z² + 7 z = b) 3 x + 4 x² =
c) 2 x – 3 x² + 5 x³ = d) x + 2 y² - 3 y³ =
Natürlich besteht auch die Möglichkeit, Zahlen und Variablen gleichzeitig auszuklammern.
Aufgabe 3)
Beispiel: 20 x 2 + 15 x = 5 · 4 · x · x + 5 · 3 · x = 5 x · (4 x + 3)
a) 9 z + 6 z² = b) 10 x – 15 x² =
c) 7 y 2 – 14 = d) 7 y 2 – 14 y =
e) 21 x + 35 y – 14 z = f) 21 x + 35 x²– 14 x³ =
g) 21 x 2 + 35 x – 14 x³ = h) 0,25 a 2 - 0,75 a + 1,5 a³ =

Beispiele:
a) 2 a · (x + 1) + 4 a² · (x + 1) – 6 a · (x + 1)
= 2 · a · (x + 1) + 2·2 · a·a · (x + 1) – 3·2 · a · (x + 1)
In den drei Summanden kommen überall die Faktoren 2; a und (x+1) vor. Deshalb werden sie
ausgeklammert. Da der erste Summand vollständig ausgeklammert wird, muss in die Klammer eine
1 geschrieben werden:
= 2 · a · (x+1) · (1 + 2 a – 3)
= 2 · a · (x+1) · (-2 + 2 a)
b) 4 · x² · (a + b) + 2 · x · (a + b)
= 2·2 · x·x · (a + b) + 2 · x · (a + b)
In den zwei Summanden kommen überall die Faktoren 2; x und (a+b) vor. Deshalb werden sie
ausgeklammert. Da der zweite Summand vollständig ausgeklammert wird, muss in die Klammer
eine 1 geschrieben werden:
Aufgabe 4)
= 2 · x · (a + b) · (2 x + 1)
1.) 8 y · (x + z) + 4 y · (x + z) – 12 y² · (x + z) =
2.) 21 · (u – v) – 28 · (u - v) + 7 · (u – v) =
3.) 3 y · (5 - x) + 12 y² · (5 - x) – 18 y² · (5 - x) =
4.) 10 a · (b + 1) + 40 a · (b + 1) – 100 a² · (b + 1) =
5.) 9 r s + 36 r² s – 54 r s² =
6.) 5 a b · (x + y) + 35 a² b · (x + y) – 70 a b² · (x + y) =
7.) 24 a² · (k + 1) + 12 a · (k + 1) – 72 a³ · (k + 1) =
Lösungen der Aufgabe 4:
1.) 4 y · (x + z) · (2 + 1 – 3 y) = 4 y · (x + z) · (3 – 3 y)
2.) 7 · (u – v) · (3 – 4 + 1) = 7 · (u – v) · 0 = 0
3.) 3 y · (5 - x) · (1 + 4 y + 6 y) = 3 y · (5 - x) · (1 - 2 y)
4.) 10 a · (b + 1) · (1 + 4 – 10 a) = 10 a · (b + 1) · (5 – 10 a)
5.) 9 r s · (1 + 4 r – 6 s)
6.) 5 a b · (x + y) · (1 + 7 a – 14 b)
7.) 12 a · (k + 1) · (2 a + 1 – 6 a²)