Technische_Mechanik_III_-_Dynamik_und_Kinetik-kurz

LISTE DER WARENZEICHEN
Technische Mechanik III
- Dynamik/Kinetik -
von
Annette Kunow
- 1 -

INHALTSANGABE
INHALTSANGABE
Liste der Warenzeichen ...................................................- 3 -
Vorwort ............................................................................- 4 -
Inhaltsangabe ..................................................................- 6 -
1 Einleitung ...................................................................- 11 -
2 Kinematik des Massenpunktes ...................................- 13 -
Lehrziel des Kapitels ............................................- 13 -
Formeln des Kapitels ............................................- 13 -
2.1 Geometrie der Bewegung .................................- 15 -
2.2 Geradlinige Bewegung ......................................- 19 -
2.3 Ermittlung der Bewegung bei gegebener
Beschleunigung .........................................................- 20 -
2.3.1 Gleichförmige Bewegung a = 0.................. - 20 -
2.3.2 Gleichmäßig beschleunigte Bewegung a = a 0
= const. - 22 -
2.3.3 Zeitabhängige Beschleunigung a = a(t) .....- 27 -
2.3.4 Geschwindigkeitsabhängige Beschleunigung a
= a(v) - 31 -
- 6 -

INHALTSANGABE
2.3.5 Wegabhängige Beschleunigung a = a(x) .. - 35 -
2.3.6 Sonderfall der gleichmäßig beschleunigten
Bewegung .............................................................. - 39 -
Senkrechter Wurf .............................................. - 39 -
2.4 Bewegung auf gekrümmter Bahn ...................... - 41 -
2.5 Sonderfall der ebenen Bewegung ..................... - 44 -
2.6 Sonderfall der Kreisbewegung .......................... - 48 -
2.7 Aufgaben zu Kapitel 2 ....................................... - 55 -
3 Kinetik des Massenpunktes ....................................... - 67 -
Lehrziel des Kapitels ............................................ - 67 -
Formeln des Kapitels ........................................... - 67 -
3.1 Die NEWTON’schen Gesetze ........................... - 68 -
3.2 Geführte Bewegung ............................................ - 86 -
3.2.1 Schiefe Ebene .............................................. - 86 -
3.2.2 Gekrümmte Bahn .......................................... - 90 -
3.3 Energiesatz ....................................................... - 95 -
3.3.1 Die wichtigsten Kraftpotentiale ................ - 103 -
3.4 Leistung .......................................................... - 105 -
- 7 -

INHALTSANGABE
3.5 Impulssatz .......................................................- 106 -
3.6 Momentensatz .................................................- 111 -
3.7 Aufgaben zu Kapitel 3 .....................................- 115 -
4 Kinematik und Kinetik eines Systems von Massenpunkten
....................................................................................- 127 -
Lehrziel des Kapitels ..........................................- 127 -
Formeln des Kapitels ..........................................- 127 -
4.1 Schwerpunktsatz ...............................................- 137 -
4.2 Momentensatz (Drallsatz oder Drehimpulssatz) - 137 -
4.3 Impulssatz .........................................................- 138 -
4.4 Aufgaben zu Kapitel 4 ........................................- 146 -
5 Bewegung des starren Körpers ................................- 159 -
Lehrziel des Kapitels ..........................................- 159 -
Formeln des Kapitels ..........................................- 159 -
5.1 Massenträgheitsmoment ...................................- 165 -
5.2 Ebene Bewegung ..............................................- 172 -
5.2.1 Kinematik ....................................................- 172 -
5.2.2 Kinetik .........................................................- 176 -
- 8 -

INHALTSANGABE
5.3 Energiesatz ....................................................... - 181 -
5.4 D'ALEMBERTsches Prinzip............................... - 184 -
5.5 Stoßvorgänge .................................................... - 187 -
5.5.1 Die einzelnen Stoßvorgänge ....................... - 188 -
5.5.2 Gerader exzentrischer Stoß ........................ - 190 -
5.6 Aufgaben zu Kapitel 5 ....................................... - 204 -
6 Schwingungslehre .................................................... - 237 -
Lehrziel des Kapitels .......................................... - 237 -
Formeln des Kapitels ......................................... - 237 -
6.1 Systeme mit einem Freiheitsgrad
(Einmassenschwinger) ............................................ - 241 -
6.1.1 Federkoeffizienten einiger elastischer Systeme ... -
249 -
6.1.2 Federn im Schwingersystem ....................... - 256 -
6.3 Lösung der Differentialgleichung der freien
ungedämpften Schwingung ..................................... - 262 -
6.4 Lösung der Differentialgleichung der freien
gedämpften Schwingung ......................................... - 264 -
- 9 -

INHALTSANGABE
6.5 Lösung der Differentialgleichung der ungedämpften,
erzwungenen Schwingung .......................................- 273 -
6.6 Lösung der Differentialgleichung der gedämpften,
erzwungenen Schwingung .......................................- 282 -
6.7 Erregertypen ......................................................- 287 -
6.8 Überhöhungsfunktionen .....................................- 296 -
6.9 Aufgaben zu Kapitel 6 ........................................- 307 -
7 Literatur ....................................................................- 323 -
Sachwörterverzeichnis ................................................- 327 -
Bereits erschienen....................................................... - 329 -
Impressum ..................................................................- 331 -
- 10 -

4 KINEMATIK UND KINETIK EINES SYSTEMS VON MASSENPUNKTEN
Lösung
r
Rolle 2
S 1
S 2 S 3
S 1
S 2
S 3
Rolle 1
r
.
.
x
x 1 G
2
2
G 1
Bild 4.4 Schnittbild
Nach dem Freischneiden werden NEWTON’schen Bewegungsgleichungen
für jeden einzelnen Massenpunkt aufgestellt.
Für die Rolle 1 gilt
( 4.3) : m &&
1 x1
= - m1
g + S1
+ S2,
- 134 -

4 KINEMATIK UND KINETIK EINES SYSTEMS VON MASSENPUNKTEN
für die Masse 2
( 4.4) : m &&
2 x2
= m2
g - S3.
Für die Seilkräfte gilt wegen der masselosen Umlenkrollen,
an denen eine reine Umlenkung erfolgt,
( 4.5) : S1
= S2
= S3
= S.
Damit folgt
( 4.6) : m &&
1 x1
= - m1
g + 2S,
( 4.7) : m &&
2 x2
= m2
g - S.
.
ϕ 1
.
. x
x 2
1
.
x 2
.
ϕ 2
.
x 2
a)
b)
Bild 4.5 Kinematik: a) an der Rolle 1, b) an der Rolle 2
- 135 -

4 KINEMATIK UND KINETIK EINES SYSTEMS VON MASSENPUNKTEN
Die Koordinaten x 1 und x 2 sind voneinander abhängig. Verschiebt
sich m 2 um die Strecke x 2 nach unten, verschiebt
sich m 1 um die halbe Strecke nach oben (Flaschenzug). Daraus
folgt nach Bild 4.5
1
( 4.8) : x& 1 = x&
2.
2
Damit stehen alle benötigten Gleichungen zur Lösung zur
Verfügung. Mit (4.6) + 2 * (4.7) und (4.8) ergibt sich
(4.9) :
(m
1
⇒
+ 4 m ) && x
& x
1
2
= (2 m
2m 2 − m
=
m + 4m
1
1
1
2
2
g.
- m ) g
1
Für die Seilkraft folgt aus (4.7)
(4.10) :
S = - 2 m && x
m2m1
= 3
m + 4m
1
2
2
+ m
2
2
g.
g = m
2
2m2
− m
g (- 2
m + 4m
1
1
2
+1)
- 136 -

4 KINEMATIK UND KINETIK EINES SYSTEMS VON MASSENPUNKTEN
4.1 Schwerpunktsatz
Es gilt mit der Gesamtmasse
m
=
∑
n
m n
(4.11) :
r
mr
& r = R
"Der Schwerpunkt des Systems von Massenpunkten
bewegt sich so, als ob alle n Massen in ihm vereinigt wären
und die Resultierende R aller äußeren Kräfte im
Schwerpunkt angreifen: Die inneren Kräfte haben auf die
Bewegung des Schwerpunktes keinen Einfluss."
4.2 Momentensatz (Drallsatz oder Drehimpulssatz)
Es gilt für jeden Massenpunkt des Systems
(4.12) :
d r
L
dt
(0)
r
= M
(0)
"Die zeitliche Änderung des Gesamtdralls in Bezug auf
einen raumfesten Punkt 0 ist gleich dem Moment um
denselben Punkt 0."
Sonderfall der ebenen Bewegung
- 137 -

4 KINEMATIK UND KINETIK EINES SYSTEMS VON MASSENPUNKTEN
Alle n Massenpunkte bewegen sich in Ebenen senkrecht
zur z- Achse. Für alle Massenpunkte gilt
(4.13) :
ϕ & n
= ϕ & = ω
mit dem Massenträgheitsmoment
Θ z um die z- Achse für
Θ z = const.
ω∑
( 4.14) : Lz
= mnrn
= ωΘz,
n
2
( 4.15) : ω & Θz = ϕΘ &
z = M z.
4.3 Impulssatz
Aufgrund der Vereinfachungen gibt es innerhalb der Kinetik
der Massenpunkte nur den geraden zentralen Stoß. Zwei
Kugeln, deren Schwerpunkte auf einer gemeinsamen
Geraden liegen, stoßen aufeinander. Die Definition des
Massenpunkts vereinigt die gesamte Masse im
Schwerpunkt, deshalb können Massenpunkte nicht rotieren.
Definition
- 138 -

4 KINEMATIK UND KINETIK EINES SYSTEMS VON MASSENPUNKTEN
Es ist die Massenpunktsgeschwindigkeit v i vor dem Stoß
und die Massenpunktsgeschwindigkeit w i nach dem Stoß.
a)
x m 1
v 1
v
m
2
2
m 2
m 1
F
m 1
F
.b)
m 2
c)
x m 1
w 1
w
m
2
2
Bild 4.6 Stoßablauf für v 1 > v 2 und m 1 > m 2 ; a) vor dem Stoß; b)
während des Stoßes; c) nach dem Stoß
Infolge des Stoßes erfahren die Kugeln die
Geschwindigkeitsänderungen
( 4.16) : w1
- v1,
und
( 4.17) : w2
- v2.
- 139 -

4 KINEMATIK UND KINETIK EINES SYSTEMS VON MASSENPUNKTEN
Zum Stoßzeitpunkt (Bild 4.6 b) werden die Impulssätze für
beide Massen geschrieben
r
( 4.18) : m 1(w1
- v1)
= - Fˆ
r
( 4.19) : m2(w2
- v2) =Fˆ
Die Stoßbedingung mit der Stoßzahl lautet
(4.20) :
e = -
w
v
1
1
- w
- v
2
2
.
Die Stoßzahl liegt zwischen 0 und 1, wobei gilt, dass beim
ideal elastischen Stoß mit e = 1 die Stoßenergie erhalten
bleibt.
Nach Elimination der Stoßkraft und Einsetzen der
Stoßbedingung ergeben sich die Geschwindigkeiten nach
dem Stoß. Diese Gleichungen gelten nur für
Massenpunktsysteme!
(4.21) :
w
1
=
m
1
v
1
+ m2
v
m
1
2
+ e m
+ m
2
2
(v
2
- v1)
,
- 140 -

4 KINEMATIK UND KINETIK EINES SYSTEMS VON MASSENPUNKTEN
(4.22) :
w
2
=
m
1
v
1
+ m2
v
m
1
+ e m
+ m
2
2
1
(v
1
- v
2
)
.
Der Impuls zwischen zwei Massenpunkten kann auch durch
den Impulserhaltungssatz beschrieben werden:
"Impuls vorher = Impuls nachher"
( 4.23) : m1
v1
+ m2
v2
= m1
w1
+ m2
w 2.
Aus dem Impulserhaltungssatz kann der Energieverlust
beim ideal plastischen Stoß mit e = 0 entwickelt werden
(4.24) :
1 2 1 2 1 2 1 2
m1 v1
+ m2
v2
= m1
w1
+ m2
w 2 + ∆Π.
2 2 2 2
Mit der Geschwindigkeiten nach dem Stoß (4.22, 4.23) folgt
(4.25) :
2
1 1
m v
- m
2
+
m
2
m1v
(
1
v
2
2
- m
1
+ m2v
m
m1v
(
2
1
+ e m
+ m
2
1
+ m2v
m
1
(v
1
2
1
- v
+ e m
+ m
2
)
)
2
2
2
(v
2
= 2∆Π.
- v1)
)
2
mit e= 0
- 141 -

4 KINEMATIK UND KINETIK EINES SYSTEMS VON MASSENPUNKTEN
(4.26) :
m
1
- m
- m
2 2
( m +m ) v + m ( m +m )
1
2
1
(m v
1
(m v
1
1
1
2
1
+ m v
2
+ m v
2
2
2
2
+ e m
+ e m
2
1
1
(v
(v
2
1
2
- v
- v
2
1
2
v
))
))
2
2
2
2
-
2
( +m ) ∆Π.
= 2 m
1
2
(4.27) :
(4.28) :
m
1
- m
- m
2 2
( m + m ) v + m ( m + m )
1
2
1
2
( + m ) ∆Π.
= 2 m
m
1
- m
(m v
(m v
1
1
1
1
1
2
+ m
+ m
2
1
2
2
v
v
2
2
2
+ e m
+ e m
2
1
1
(v
(v
2
1
2
- v
- v
2 2
( m + m ) v + m ( m + m )
1
+ (e m
− (m m
− m ( (m v
2
2
( + m ) ∆Π.
= 2 m
((m v
1
1
1
2
2
1
(v
v
1
1
2
1
2
+ m
- v )) ) + ( (m
+ m
1
2
1
1
2
+ m
v
2
2
2
2
v
2
v
2
)
2
2
))(2e m
)
2
2
1
2
1
v
2
+ (e m
1
(v
1
2
(v
2
1
2
v
))
))
v
- v
2
2
2
2
+ m m
1
2
1
1
2
2
2
- v
-
2
v
)))
2
))
2
2
)
))
(4.29 ) :
2 2
2
( m + m )(v
+ v - 2v v ) = 2( m + m ) .
m1m
2 1 2 1 2 1 2 1 2 ∆Π
(4.30) :
1 m1m2
∆Π =
2m
+ m
1
2
(v
1
- v
2
)
2
.
- 142 -

7 LITERATUR
7 LITERATUR
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Beitz/ Grote (Hers.); Dubbel, Taschenbuch für den
Maschinenbau, 20. Auflage; Springer- Verlag; 2011
Böge; Technische Mechanik; Vieweg; 2011
Brommundt/ Sachs; Technische Mechanik; Springer-
Lehrbuch; 1998
Bronstein, Ilja N./ Semendjajew, K. A./ Musiol, Gerhard/
Muehlig, Heiner; Taschenbuch der Mathematik; Deutsch
(Harri); 2008
Bufler; Technische Mechanik; Vorlesungsskript Institut für
Mechanik (Bauwesen) der TU Stuttgart; 1971
Dankert, Jürgen/ Dankert, Helga; Technische Mechanik:
Statik, Festigkeitslehre, Kinematik/Kinetik; Vieweg+Teubner
Verlag; 2010
Gabbert, Ulrich/ Raecke, Ingo; Technische Mechanik für
Wirtschaftsingenieure; Carl Hanser Verlag; 2007
Göldner/ Holzweissig; Leitfaden der Technische Mechanik;
Fachbuchverlag Leipzig; 1990
- 323 -