Vorlesung: Gruppentheorie in Molekül - KFU

P.Knoll, Gruppentheorie in Molekül- und Festkörperphysik Seite 77
7. Faktorgruppenanalyse und Multiplikatorengruppe
Satz 7.1: Faktorgruppe
Die Elemente {ε|t} der Raumgruppe (Translationsgruppe) bilden einen
Normalteiler T. Die dazugehörende Faktorgruppe R/T ist isomorph zur
Punktgruppe G, welche aus allen σ der Raumgruppenelemente {σ|t} gebildet wird.
Bemerkung: Dieser Satz ermöglicht es uns, viele symmetriebedingte Zusammenhänge in
Festkörpern auf recht einfache Art auszuwerten, ohne durch die ‘fast unendlich’
große Translationsgruppe beeinträchtigt zu sein. Durch Betrachten der
Faktorgruppe verliert man zwar mit der Translationssymmetrie bedingte
Zusammenhänge, dafür aber ist die Auswertung der restlichen Symmetrien genauso
einfach wie bei Molekülen. Aus dem Noether-Theorem (Satz 1.1) kann die
Konsequenz der Translationssymmetrie abgeschätzt werden. Im kontinuierlichen
Raum ist die Translation eine kontinuierliche Transformation und die damit
verbundene Erhaltungsgröße ist die Impulserhaltung. Im Festkörper ist die
Translation nicht mehr kontinuierlich, sondern diskret mit Vielfachen eines
Gittervektors. Dies führt dazu, dass die Impulserhaltung nicht mehr genauso wie
im kontinuierlichen Raum gegeben ist, sondern immer ein beliebiges Vielfaches
eines reziproken Gittervektors hinzukommen kann. Man spricht daher von einer
quasi-Impulserhaltung. Die Anregungen im Festkörper haben daher Energie und
einen quasi-Impuls, sind daher quasi-Teilchen.
Bemerkung: Mit Hilfe der Faktorgruppe lässt sich ein Festkörper wie ein Molekül
behandeln. Insbesondere ist die Schwingungsanalyse in analoger Form
durchführbar. Als weitere Vereinfachung empfiehlt sich die Analyse nach
Lagesymmetrien der Atome (Wyckofflagen) durchzuführen. Die Lagesymmetrien
müssen Untergruppen der Faktorgruppe (Punktgruppe) sein. Es kann daher die
Translation für jedes Atom einzeln in den Lagesymmetriegruppen durchgeführt
werden und dann mit Hilfe der Korrelationstabellen auf die Punktsymmetrie
übertragen werden. (Inspektionsmethode der Faktorgruppenanalyse). Zur einfachen
praktischen Durchführung sind in Abschnitt 10.4 alle Wykofflagen der 230
Raumgruppen angegeben. Zusätzliche sind für die Translationen (Abschnitt 10.5)
und die Rotationen (Abschnitt 10.6) bereits die Korrelationen der entsprechenden
irreduziblen Darstellungen durchgerechnet und angeführt. Unter Beachtung der oft
nicht in Normallage (höchste Symmetrie in Richtung z) vorliegenden Untergruppen
können auch die einzelnen Basisvektoren (x,y,z der Translationen bzw. Rotationen)
in die Korrelation mit einbezogen werden, wodurch man bereits eine recht gute
Einschränkung der zugehörigen Symmetriekoordinaten erhält. Diese Analyse muss
man nicht nur nach Lagesymmetrien der einzelnen Atome durchführen, sondern
man kann den Kristall aus beliebigen Atomgruppen, welche auf bestimmten
Lagesymmetrien im Kristallgitter liegen zusammensetzen und so eine
Symmetrieanalyse durchführen. Man erhält dann z.B. die inneren und äußeren
Schwingungen von Molekülkristallen und deren Librationen (Drehschwingungen
der Moleküle). Diese Analyse kann auch auf Moleküle, welche in verschiedene
Atomgruppen aufgeteilt werden, durchgeführt werden.