Vorlesung: Gruppentheorie in Molekül - KFU

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P.Knoll, Gruppentheorie in Molekül- und Festkörperphysik Seite 6 1.1 Vorbemerkung 1. Einleitung: Symmetrien in Kultur und Wissenschaft Das folgende Skriptum stellt Arbeitsunterlagen zur Vorlesung dar, und soll als Erleichterung bei der Konsumierung des Vorlesungsstoffes dienen. Es stellt keinen Anspruch auf Vollständigkeit und auch nicht auf selbstständige didaktische Aufarbeitung. Demnach sind wohl alle wichtigen Definitionen und Sätze enthalten, aber kaum Beweise und Beispiele. Der verbindende Text ist auf ein Minimum gehalten, teilweise, wie z.B. bei der Behandlung der mathematischen Grundlagen, ist oft der Inhalt alleine durch die Abfolge von Definitionen und Sätzen bereits eindeutig festgelegt. Allerdings sind an einzelnen Stellen dann entsprechende Bemerkungen hinzugefügt, um komplexe Zusammenhänge leichter verständlich zu machen. Demnach ist dieses Skriptum so zu verstehen, dass es die Mitschrift teilweise ersetzt und komplexere mathematische Zusammenhänge korrekt darstellt. Andererseits verzichtet das Skriptum, im Gegensatz zu einem Lehrbuch, auf eine anschauliche, didaktische Darstellung, was nur mit viel Text mühsam erreichbar wäre, und was in der Vorlesung mündlich und graphisch mit Skizzen viel leichter und effizienter durchführbar ist. Je nach der Eigenheit des Stoffes empfiehlt sich, bereits vor der Vorlesung den Stoff im Skriptum zu lesen und sich über die Begriffe und Zusammenhänge Gedanken zu machen, um dann in der Vorlesung gezielte Fragen zum Verständnis stellen zu können. Dies ist bei allen abstrakten und komplexeren Zusammenhänge der Mathematik (Kapitel 2 und 4) empfehlenswert. Andere Kapitel (wie z.B. das 1. oder das 3.) sind im Skriptum eher für das Nachlesen und Verarbeiten des Vorlesungsstoffes geeignet. Wichtig sind vor allem auch die Übungen, da der Stoff erst bei selbstständiger Beschäftigung wirklich verarbeitet und verstanden werden kann. 1.2 Prinzipien des naturwissenschaftlichen Verstehens (Erkenntnisgewinn) Am Anfang stehen die Beobachtungen (Wahrnehmungen). Man versucht, diese auf einer höheren Abstraktionsebene zueinander in Beziehung zu setzen, Querverbindungen zu schaffen. All diese Querverbindungen werden letztlich zu einem Modell zusammengefasst, welches auch als Konsequenz Vorhersagen für neue Beobachtungen (und neue Querverbindungen) liefert. Diese können dann durch gezielte Beobachtungen verifiziert oder falsifiziert werden. Viele kleinere Modelle können durch höhere Querverbindungen zu übergreifenden Modellen verbunden werden, wobei man sich meist zu immer höheren Abstraktionsstufen (bezogen auf die Ebene der unmittelbaren Beobachtung) entfernt. Entscheidende Voraussetzung für ein Modell ist seine logische Widerspruchsfreiheit. Das naturwissenschaftliche System beinhaltet, dass ein Modell nie bewiesen, aber durch Beobachtungen falsifiziert werden kann. Um möglichst hohe logische Widerspruchsfreiheit zu erreichen, versucht man die meisten Beobachtungen und ihre Querverbindungen in die Mathematik abzubilden, um dort basierend auf der formalen Logik, möglichst axiomatisch das Modell aufzubauen. Dies reflektiert auch der formale Aufbau dieses Skriptums wieder, welches aus Definitionen (Axiome, können nicht bewiesen werden) und Sätzen (Konsequenzen und logische Verknüpfungen der Axiome, müssen bewiesen werden) besteht. Die heutige Behandlung der Symmetrien (zum Beispiel mit Hilfe der Gruppentheorie) ist ein Beispiel dieser naturwissenschaftlichen Vorgangsweise, welche durch die recht starke Abgrenzung des Begriffes Symmetrie (wie er hier verstanden werden soll) in recht einfacher
P.Knoll, Gruppentheorie in Molekül- und Festkörperphysik Seite 7 Weise aufgezeigt werden kann. Symmetrien wurden schon immer als Hilfsmittel des Verstehens verwendet und beinhalten zunächst in einfachster Form die starke Trennung zwischen Gleichem und Gegensätzlichem. 1.3 Der Begriff Symmetrie Er stammt aus dem Griechischen: „συµ“ und „µετροσ“ was soviel wie „mit Maß“ oder „wohlproportioniert“ heißen soll. Was genau darunter verstanden wird, hat sich mit der Zeit geändert. Auch heute hat der Begriff in Kunst, Kultur, Sprachgebrauch und Naturwissenschaften unterschiedliche Bedeutung. Wie schon sehr früh versucht wurde, durch Symmetrie das Leben zu verstehen, zu ordnen bzw. zu Entscheidungen zu gelangen, zeigen Rituale und Kultgegenstände früher Kulturen. Motiviert war dies wahrscheinlich durch die regelmäßig ablaufenden Naturereignisse (wie z.B. Tag-Nacht, Jahreszeiten, Sternbilder, Periode der Säugetiere, etc.) mit denen man möglichst in Einklang sein musste um zu überleben. Zusammen mit der Fähigkeit des Sehens Muster zu erkennen, entwickelte sich wohl die auf geometrischen Figuren aufbauenden Bilder von Naturvölkern. Abb. 1.1: Sandgemälde der Regenbogenkultur der Navajo Indianer
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