Vorlesung: Gruppentheorie in Molekül - KFU

Weitere Magazine

Empfehlungen

Info

P.Knoll, Gruppentheorie in Molekül- und Festkörperphysik Seite 64 Bemerkung: Diese Formulierung des Blochtheorems gilt nur im komplexen Zahlenraum. Oft ist aber nur der reelle Raum von physikalischer Bedeutung. Den Übergang zu einer reellen Formulierung erhält man, wenn man die irreduziblen Darstellungen im reellen aufsucht. Diese sind dann 2-dimensional und fassen jeweils die komplexen irreduziblen Darstellungen von +k und -k zusammen, die ja zueinander konjugiert komplex sind. Im reellen kann dann nicht mehr so einfach ein Bloch'sches Theorem postuliert werden. Betrachtet man +k und -k zu einem 2-dimensionalen Vektor zusammengefasst, so ergeben sich 2-dimensionale Darstellungen für die Translation: r ⎛ ψ r ( r ) ⎞ ⎛ = ⎜ e Tv k ⎜ ⎟ t r ⎜ ⎝ψ r ( r ) − k ⎠ ⎝ rr ikt e rr −ikt r r r ⎞⎛ ψ r ( r ) ⎞ ⎛ ψ r ( r + t ) ⎞ k ⎟ k = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ r ⎜ r r ⎟ . ⎠⎝ψ r ( r ) ⎠ ⎝ψ r ( r + t ) −k −k ⎠ r r ψ r ( r ) +ψ r ( r ) −k Wir gehen mit Hilfe von neuen Koordinaten reelle Darstellung über: k 2 ⎛ Tv ⎜ t ⎜ ⎝ r r ψ r ( r ) + ψ r ( r ) k −k r 2 r ψ r ( r ) −ψ r ( r ) −k k 2 r ⎞ r ⎟ ⎛ cos kt = ⎜ ⎟ ⎜ rr ⎠ ⎝− sin kt rr − sin kt ⎞⎛ rr ⎟⎜ cos kt ⎟ ⎠ ⎜ ⎝ r r ψ r ( r ) + ψ r ( r ) k −k r 2 r ψ r ( r ) −ψ r ( r ) −k k 2 ⎞ ⎛ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎠ ⎝ r r ψ r ( r ) −ψ r ( r ) k k und 2 r r r r ψ r ( r + t ) + ψ r ( r + t ) k −k 2 r r r r ψ r ( r + t ) −ψ r ( r + t ) −k k 2 − auf eine Der Charakter dieser 2-dimensionalen Darstellung ist k r r 2 cos . Bei allgemeinem k r ist dies bereits die irreduzible Darstellung im reellen Raum. Aus dieser Darstellung erhält man die reellen Beziehungen: rr rr ( cos kt kt ) r rr rr r ( r) ( cos kt kt ) r r r ψ r ( r + t ) = ψ r ( r ) + sin , bzw. k k r r ψ r ( t ) = ψ − sin . −k r + −k Die analoge Beziehung im komplexen Zahlenraum lautet: rr rr ( cos kt i kt ) r r r ψ r ( + t ) = ψ r ( r ) + sin . k r k In Analogie zum Bloch'schen Theorem versuchen wir den Ansatz: rr rr ( Acos kr B kr ) r r ψ r ( r) = ϕ( r) + sin . k Daraus erhält man: r r ψ r ( r + t ) k r r = ϕ( r + t ) r r rr rr rr rr = ϕ( r + t ) ( Acos( kr + kt ) + B sin( kr + kt ) ) = rr rr rr rr rr rr rr rr ( Acos( kr ) cos( kt ) − Asin( kr ) sin( kt ) + B sin( kr ) cos( kt ) + B cos( kr ) sin( kt ) ) Dies muss das Gleiche ergeben wie: r ψ r ( + k r = ϕ( r ) r r rr rr r rr rr rr rr t ) = ψ r ( r ) ( cos kt + sin kt ) = ϕ( r ) ( Acos kr + B sin kr )( cos kt + sin kt ) rr rr rr rr rr rr rr rr ( Acos kr cos kt + B sin kr sin kt + B sin kr cos kt + Acos kr sin kt ) r k ⎞ ⎟ . ⎟ ⎠ =
P.Knoll, Gruppentheorie in Molekül- und Festkörperphysik Seite 65 r r r Wie man sieht, erhält man hier unter der Annahme, dass ϕ ( r + t ) = ϕ( r) keine Lösungen da gleichzeitig A = B und A = −B sein müssen, was nur für A = B = 0 r erfüllt sein kann. Dies ist jedoch nicht für eine allgemeine Funktion ψ r ( r) ≠ 0 k möglich. Anders ist jedoch die Situation im komplexen Zahlenraum: r ψ r ( + k r = ϕ( r) r r rr rr r rr rr rr rr t ) = ψ r ( r) ( cosk t + i sin kt ) = ϕ( r) ( Acoskr + B sin kr )( cosk t + i sin kt ) rr rr rr rr rr rr rr rr ( Acos kr cos kt + iB sin kr sin kt + B sin kr cosk t + iAcoskr sin kt ) r k r r r Hier erhält man unter der Bedingung dass ϕ ( r + t ) = ϕ( r) die Beziehungen iA = B und A = −iB , welche komplexe Lösungen besitzen, z.B. A = 1 und B = i wie es dem Blochtheorem entspricht. 6.3 Die Raumgruppen Def. 6.7: Raumgruppe Die Raumgruppe R = {G|T} ist die Kombination aus Translationsgruppe T und dazupassender Punktgruppe G. Def. 6.8: Seitz-Operator Ein Element der Raumgruppe ist definiert als {σ|t} (Seitz-Operator) mit σ∈G und t∈T und wirkt auf einen Ortsvektor r: {σ|t}r := σr+t. Die Verknüpfung von Raumgruppenelementen ist definiert zu: {σ|t}•{σ’|t’}r := σσ’r + σt’ + t := {σσ’|σt’+t}r Satz 6.3: Raumgruppe Die Elemente zusammen mit der Verknüpfung, beide definiert in Def. 6.8, bilden eine Gruppe (Raumgruppe). Für ein regelmäßiges raumfüllendes Gitter sind jedoch nicht alle Punktgruppen mit Translationssymmetrien verträglich. Insbesondere sind nur Punktgruppen mit 2,3,4 und 6 zähligen Drehungen möglich. Bemerkung: Dies führt dazu, dass Oh zusammen mit der hexagonalen Gruppe D6h, die oberste Punktgruppe mit allen mit der Translationssymmetrie verträglichen Punktsymmetrieoperationen ist. Von Oh zusammen mit D6h gibt es insgesamt 32 verschiedene Untergruppen. In Kombination mit den 14 Bravaisgittern (nicht alle Kombinationen sind möglich) ergibt dies die 230 Raumgruppen. Es gibt aber auch sogenannte Quasi-Kristalle die z.B. 5 zählige Symmetrie und sowohl Fern- als auch Nah-Ordnung aufweisen. Bei diesen Systemen ist die Bedingung der raumfüllenden (also lückenlosen) Anordnung verletzt. Bemerkung: Die Kombination von Punktsymmetrieoperationen mit Translationen führt zu neuen Symmetrieelementen, den Gleitspiegelungen (Gleitspiegelebenen) und den Schraubdrehungen (Schraubenachsen). Einige der 230 Raumgruppen beinhalten solche kombinierte Symmetrieoperationen in nicht trivialer Weise, d.h. manche Punktsymmetrieoperationen kommen nur in Verbindung mit Translationen vor. =
Seite 1 und 2:
P.Knoll, Gruppentheorie in Molekül
Seite 3 und 4:
Seite 5 und 6:
Seite 7 und 8:
Seite 9 und 10:
Seite 11 und 12:
Seite 13 und 14: P.Knoll, Gruppentheorie in Molekül
Seite 63: P.Knoll, Gruppentheorie in Molekül
Seite 115 und 116:
Seite 117 und 118:
7. Finden Sie die Normalteiler der
Seite 119 und 120:
Seite 121 und 122:
Alle anzeigen

Vorlesung: Gruppentheorie in Molekül - KFU

Erfolgreiche ePaper selbst erstellen

Template löschen?

Als Template speichern?