Vorlesung: Gruppentheorie in Molekül - KFU

P.Knoll, Gruppentheorie in Molekül- und Festkörperphysik Seite 64
Bemerkung: Diese Formulierung des Blochtheorems gilt nur im komplexen Zahlenraum. Oft
ist aber nur der reelle Raum von physikalischer Bedeutung. Den Übergang zu einer
reellen Formulierung erhält man, wenn man die irreduziblen Darstellungen im
reellen aufsucht. Diese sind dann 2-dimensional und fassen jeweils die komplexen
irreduziblen Darstellungen von +k und -k zusammen, die ja zueinander konjugiert
komplex sind. Im reellen kann dann nicht mehr so einfach ein Bloch'sches Theorem
postuliert werden. Betrachtet man +k und -k zu einem 2-dimensionalen Vektor
zusammengefasst, so ergeben sich 2-dimensionale Darstellungen für die
Translation:
r
⎛ ψ r ( r ) ⎞ ⎛
= ⎜
e
Tv
k
⎜
⎟
t r
⎜
⎝ψ
r ( r ) − k ⎠ ⎝
rr
ikt
e
rr
−ikt
r r r
⎞⎛
ψ r ( r ) ⎞ ⎛ ψ r ( r + t ) ⎞
k ⎟
k
= ⎜ ⎟
⎜
⎟
⎟
r ⎜ r r
⎟
.
⎠⎝ψ
r ( r ) ⎠ ⎝ψ
r ( r + t )
−k
−k
⎠
r r
ψ r ( r ) +ψ r ( r ) −k
Wir gehen mit Hilfe von neuen Koordinaten
reelle Darstellung über:
k
2
⎛
Tv
⎜
t ⎜
⎝
r r
ψ r ( r ) + ψ r ( r )
k −k
r
2
r
ψ r ( r ) −ψ
r ( r )
−k
k
2
r
⎞
r
⎟
⎛ cos kt
= ⎜
⎟ ⎜
rr
⎠ ⎝−
sin kt
rr
− sin kt
⎞⎛
rr
⎟⎜
cos kt
⎟
⎠
⎜
⎝
r r
ψ r ( r ) + ψ r ( r )
k −k
r
2
r
ψ r ( r ) −ψ
r ( r )
−k
k
2
⎞ ⎛
⎟ = ⎜
⎟ ⎜
⎠ ⎝
r r
ψ r ( r ) −ψ
r ( r )
k k und 2
r r r r
ψ r ( r + t ) + ψ r ( r + t )
k
−k
2
r r r r
ψ r ( r + t ) −ψ
r ( r + t )
−k
k
2
− auf eine
Der Charakter dieser 2-dimensionalen Darstellung ist k r r
2 cos . Bei allgemeinem k r
ist dies bereits die irreduzible Darstellung im reellen Raum. Aus dieser Darstellung
erhält man die reellen Beziehungen:
rr
rr
( cos kt
kt
)
r rr
rr
r ( r)
( cos kt
kt
)
r r r
ψ r ( r + t ) = ψ r ( r ) + sin , bzw.
k
k
r r
ψ r ( t ) = ψ
− sin .
−k
r + −k
Die analoge Beziehung im komplexen Zahlenraum lautet:
rr
rr
( cos kt
i kt
)
r r r
ψ r ( + t ) = ψ r ( r ) + sin .
k
r k
In Analogie zum Bloch'schen Theorem versuchen wir den Ansatz:
rr
rr
( Acos
kr
B kr
)
r r
ψ r ( r)
= ϕ(
r)
+ sin .
k
Daraus erhält man:
r r
ψ r ( r + t )
k
r r
= ϕ(
r + t )
r r rr
rr
rr
rr
= ϕ(
r + t ) ( Acos(
kr
+ kt
) + B sin( kr
+ kt
) ) =
rr
rr
rr
rr
rr
rr
rr
rr
( Acos(
kr
) cos( kt
) − Asin(
kr
) sin( kt
) + B sin( kr
) cos( kt
) + B cos( kr
) sin( kt
) )
Dies muss das Gleiche ergeben wie:
r
ψ
r ( + k
r
= ϕ(
r )
r r rr
rr
r rr
rr
rr
rr
t ) = ψ r ( r ) ( cos kt
+ sin kt
) = ϕ(
r ) ( Acos
kr
+ B sin kr
)( cos kt
+ sin kt
)
rr
rr
rr
rr
rr
rr
rr
rr
( Acos
kr
cos kt
+ B sin kr
sin kt
+ B sin kr
cos kt
+ Acos
kr
sin kt
)
r k
⎞
⎟ .
⎟
⎠
=