Vorlesung: Gruppentheorie in Molekül - KFU

P.Knoll, Gruppentheorie in Molekül- und Festkörperphysik Seite 61
6. Translationssymmetrien und Raumgruppen
6.1 Die Translationsgruppe
Def. 6.1: Translationen
Translationen Tnt(r) (oder als Gruppenelement t n ) werden als Addition eines
ganzzahligen Vielfachen des Translationsvektors t zum Ortsvektor r definiert:
Tnt(r) := r + nt
Periodische Randbedingungen liegen vor, wenn für N Vielfache gilt: r + Nt = r
(oder als Gruppenelement t N = 1)
Satz 6.1: Translationsgruppe
Die Translationen im 3-dimensionalen Raum mit periodischen Randbedingungen,
a H =1, b K =1, c L =1 bilden eine Gruppe, die sich als direktes Produkt aus den
jeweiligen eindimensionalen zyklischen Translationsgruppen ergibt. Die mno-te
irreduzible Darstellung für das Gruppenelement a h b k c l lautet: e i2π(mh/H+nk/K+ol/L) .
v r r v
Beweis: Eine allgemeine Translation im 3-dimensionalen Raum lautet: t = ha
+ kb
+ lc
oder als Gruppenelement geschrieben: t=a h b k c l . Die erzeugenden Elemente der
Gruppe sind a,b,c. Daraus ergeben sich 3 zyklische Untergruppen: Ga={a h },
Gb={b k }, Gc={c l }. Da diese zyklischen Untergruppen nur das neutrale Element
gemeinsam haben gilt nach Def. 2.21, dass die Translationsgruppe als direktes
Produkt dieser drei zyklischen Gruppen geschrieben werden kann. Nach Satz 4.11
erhalte ich orthogonale Darstellungen als Produkt der irreduziblen Darstellungen
dieser drei Untergruppen. Da es sich um eindimensionale Darstellungen handelt,
hat man bereits einen maximalen Satz orthogonaler Darstellungen gefunden,
welcher nicht weiter reduzibel ist.
Bemerkung: Analoge Beziehungen gelten im d-dimensionalen Raum. Davon sind die
Dimensionen d=1,2,3 von praktischer Bedeutung.
6.2 wichtige Begriffe:
Bemerkung: Die folgenden Definitionen beziehen sich auf den Spezialfall von 3 Dimensionen
können aber auf den d-dimensionalen Fall verallgemeinert werden.
Def. 6.2: Translationsgitter
Das Translationsgitter ist die regelmäßige Anordnung von Punkten Rhkl im Raum
die von Translationsvektoren a, b, c gebildet werden:
Rhkl = R0 + ha +kb +lc
Def. 6.3: Bravaisgitter