Vorlesung: Gruppentheorie in Molekül - KFU

P.Knoll, Gruppentheorie in Molekül- und Festkörperphysik Seite 6
1.1 Vorbemerkung
1. Einleitung: Symmetrien in Kultur und Wissenschaft
Das folgende Skriptum stellt Arbeitsunterlagen zur Vorlesung dar, und soll als Erleichterung
bei der Konsumierung des Vorlesungsstoffes dienen. Es stellt keinen Anspruch auf
Vollständigkeit und auch nicht auf selbstständige didaktische Aufarbeitung. Demnach sind
wohl alle wichtigen Definitionen und Sätze enthalten, aber kaum Beweise und Beispiele. Der
verbindende Text ist auf ein Minimum gehalten, teilweise, wie z.B. bei der Behandlung der
mathematischen Grundlagen, ist oft der Inhalt alleine durch die Abfolge von Definitionen und
Sätzen bereits eindeutig festgelegt. Allerdings sind an einzelnen Stellen dann entsprechende
Bemerkungen hinzugefügt, um komplexe Zusammenhänge leichter verständlich zu machen.
Demnach ist dieses Skriptum so zu verstehen, dass es die Mitschrift teilweise ersetzt und
komplexere mathematische Zusammenhänge korrekt darstellt. Andererseits verzichtet das
Skriptum, im Gegensatz zu einem Lehrbuch, auf eine anschauliche, didaktische Darstellung,
was nur mit viel Text mühsam erreichbar wäre, und was in der Vorlesung mündlich und
graphisch mit Skizzen viel leichter und effizienter durchführbar ist. Je nach der Eigenheit des
Stoffes empfiehlt sich, bereits vor der Vorlesung den Stoff im Skriptum zu lesen und sich
über die Begriffe und Zusammenhänge Gedanken zu machen, um dann in der Vorlesung
gezielte Fragen zum Verständnis stellen zu können. Dies ist bei allen abstrakten und
komplexeren Zusammenhänge der Mathematik (Kapitel 2 und 4) empfehlenswert. Andere
Kapitel (wie z.B. das 1. oder das 3.) sind im Skriptum eher für das Nachlesen und Verarbeiten
des Vorlesungsstoffes geeignet. Wichtig sind vor allem auch die Übungen, da der Stoff erst
bei selbstständiger Beschäftigung wirklich verarbeitet und verstanden werden kann.
1.2 Prinzipien des naturwissenschaftlichen Verstehens (Erkenntnisgewinn)
Am Anfang stehen die Beobachtungen (Wahrnehmungen). Man versucht, diese auf einer
höheren Abstraktionsebene zueinander in Beziehung zu setzen, Querverbindungen zu
schaffen. All diese Querverbindungen werden letztlich zu einem Modell zusammengefasst,
welches auch als Konsequenz Vorhersagen für neue Beobachtungen (und neue
Querverbindungen) liefert. Diese können dann durch gezielte Beobachtungen verifiziert oder
falsifiziert werden. Viele kleinere Modelle können durch höhere Querverbindungen zu
übergreifenden Modellen verbunden werden, wobei man sich meist zu immer höheren
Abstraktionsstufen (bezogen auf die Ebene der unmittelbaren Beobachtung) entfernt.
Entscheidende Voraussetzung für ein Modell ist seine logische Widerspruchsfreiheit. Das
naturwissenschaftliche System beinhaltet, dass ein Modell nie bewiesen, aber durch
Beobachtungen falsifiziert werden kann.
Um möglichst hohe logische Widerspruchsfreiheit zu erreichen, versucht man die meisten
Beobachtungen und ihre Querverbindungen in die Mathematik abzubilden, um dort basierend
auf der formalen Logik, möglichst axiomatisch das Modell aufzubauen. Dies reflektiert auch
der formale Aufbau dieses Skriptums wieder, welches aus Definitionen (Axiome, können
nicht bewiesen werden) und Sätzen (Konsequenzen und logische Verknüpfungen der Axiome,
müssen bewiesen werden) besteht.
Die heutige Behandlung der Symmetrien (zum Beispiel mit Hilfe der Gruppentheorie) ist ein
Beispiel dieser naturwissenschaftlichen Vorgangsweise, welche durch die recht starke
Abgrenzung des Begriffes Symmetrie (wie er hier verstanden werden soll) in recht einfacher