Vorlesung: Gruppentheorie in Molekül - KFU

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P.Knoll, Gruppentheorie in Molekül- und Festkörperphysik Seite 50 Def. 4.17: Orthogonalität in Gruppenalgebra Zwei Elemente der Gruppenalgebra a ~ ,b ~ ∈ G ~ 0 ~ . (Nullelement der Gruppenalgebra) Satz 4.13: Orthogonale Idempotente sind linear unabhängig. Sind π1 ..... πk orthogonal (d.h. πiπj = πiδij) dann gilt: i sind orthogonal, wenn gilt: a ~ k ∑ = 1 ciπi ≠ 0 ~ Satz 4.14: Die Summe orthogonaler Idempotenter ist wieder eine Idempotente: Für π = Σiπi gilt π 2 = π. Im weiteren werden orthogonale Idempotente πi des Zentrums Z ~ betrachtet. Aus Satz 4.13 folgt, dass nicht mehr orthogonale Idempotente in Z ~ Klassen konjugierter Elemente in G existieren. Satz 4.15: maximale Systeme von Idempotenten des Zentrums . ∗ b ~ = der Gruppenalgebra liegen als Sei S = { π1,.....πk} maximales System von orthogonalen Idempotenten in Z ~ gilt: k 1) ∑ πi = ε i= 1 ~ (Einselement von G ~ ) 2) jedes πi ist unzerlegbar, d.h. πi ≠ πr + πs (irreduzibel) 3) ist π eine Idempotente aus Z ~ l ∑ i = 1 π = πi 4) S ist eindeutig , so ist mit l = 1,2, .. k (Auswahl aus S) Satz 4.16: Projektion von Vektoren Für jeden Vektor X ∈ V mit πiX = X und πi ∈ S gilt: 1) alle X ∈ Ui < V, bilden einem Unterraum von V 2) Ui ist G-invariant 3) Ui besteht aus allen πiX mit X ∈ V 4) Ist B1, ....... Bn Basis von V, so erzeugt πiB1, ...πiBn den Unterraum Ui. Satz 4.17: Zerlegung eines Vektorraumes in Unterräume . Dann Jeder Vektor X des G-Vektorraumes (V,G) lässt sich eindeutig als direkte Summe von Vektoren Xi der G-invarianten Unterräume Ui = πiV (πi ∈ S) darstellen. V = ⊕ Ui.
P.Knoll, Gruppentheorie in Molekül- und Festkörperphysik Seite 51 Bemerkung: Die Unterräume Ui = πiV sind irreduzibel, weil die πi irreduzibel (Satz 4.15) sind. Damit können die Unterräume den irreduziblen Darstellungen der Symmetriegruppe G zugeordnet werden, da die irreduziblen Darstellungen eindeutig vorliegen. Satz 4.18: Lösung von Eigenwertgleichungen durch Zerlegen Für den G-Vektorraum V = ⊕ Ui mit Ui = πiV (πi ∈ S) und den auf V definierten linearen Operator A mit [σ,A] = 0 für alle σ ∈ G gilt: 1) A ist linearer Operator auf Ui 2) Die Lösung der Eigenwertgleichung in allen Ui ist Lösung in V 3) Es gibt ein System linear unabhängiger Eigenvektoren von A, jeder in einem Unterraum Ui, aus denen durch Linearkombination weitere Eigenvektoren gebildet werden können. Satz 4.19: entartete Eigenwerte Eigenwerte, die einer r-dimensionalen irreduziblen Darstellung entsprechen sind mindestens r-fach entartet. Satz 4.20: Beziehung zwischen maximalem System orthogonaler Idempotenten und irreduziblen Darstellungen Das maximale System orthogonaler Idempotenten des Zentrums der Gruppenalgebra S = { πi} erhält man aus den Charakteren der irreduziblen Darstellungen: πi = li/g Σσ χi(σ -1 )σ Der Projektionsoperator Pi kl bezogen auf die Basis B1, ... Br des G-invarianten Unterraumes Ui wird mit Hilfe der Darstellungsmatrizen γi kl der i-ten irreduziblen Darstellung gebildet: Pi kl = li/g Σσ γi kl (σ -1 )σ
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