Vorlesung: Gruppentheorie in Molekül - KFU

P.Knoll, Gruppentheorie in Molekül- und Festkörperphysik Seite 50
Def. 4.17: Orthogonalität in Gruppenalgebra
Zwei Elemente der Gruppenalgebra a ~
,b ~
∈ G ~
0 ~
. (Nullelement der Gruppenalgebra)
Satz 4.13: Orthogonale Idempotente sind linear unabhängig.
Sind π1 ..... πk orthogonal (d.h. πiπj = πiδij) dann gilt: i
sind orthogonal, wenn gilt: a ~
k
∑
= 1
ciπi ≠ 0 ~
Satz 4.14: Die Summe orthogonaler Idempotenter ist wieder eine Idempotente:
Für π = Σiπi gilt π 2 = π.
Im weiteren werden orthogonale Idempotente πi des Zentrums Z ~
betrachtet. Aus Satz 4.13 folgt, dass nicht mehr orthogonale Idempotente in Z ~
Klassen konjugierter Elemente in G existieren.
Satz 4.15: maximale Systeme von Idempotenten des Zentrums
.
∗ b ~
=
der Gruppenalgebra
liegen als
Sei S = { π1,.....πk} maximales System von orthogonalen Idempotenten in Z ~
gilt:
k
1) ∑ πi = ε
i=
1
~
(Einselement von G ~
)
2) jedes πi ist unzerlegbar, d.h. πi ≠ πr + πs (irreduzibel)
3) ist π eine Idempotente aus Z ~
l
∑
i = 1
π = πi
4) S ist eindeutig
, so ist
mit l = 1,2, .. k (Auswahl aus S)
Satz 4.16: Projektion von Vektoren
Für jeden Vektor X ∈ V mit πiX = X und πi ∈ S gilt:
1) alle X ∈ Ui < V, bilden einem Unterraum von V
2) Ui ist G-invariant
3) Ui besteht aus allen πiX mit X ∈ V
4) Ist B1, ....... Bn Basis von V, so erzeugt πiB1, ...πiBn den
Unterraum Ui.
Satz 4.17: Zerlegung eines Vektorraumes in Unterräume
. Dann
Jeder Vektor X des G-Vektorraumes (V,G) lässt sich eindeutig als direkte Summe
von Vektoren Xi der G-invarianten Unterräume
Ui = πiV (πi ∈ S) darstellen. V = ⊕ Ui.