Vorlesung: Gruppentheorie in Molekül - KFU

P.Knoll, Gruppentheorie in Molekül- und Festkörperphysik Seite 49
Bemerkung: Das Produkt von irreduziblen Darstellungen ist im allgemeinen nicht
kommutativ. Auch das Tensorprodukt ist nicht kommutativ, außer es handelt sich um
einen symmetrischen Tensor. Bei eindimensionalen irreduziblen Darstellungen
liegen symmetrische und antisymmetrische Tensorkomponente in der gleichen
irreduziblen Darstellung. Bei mehrdimensionalen irreduziblen Darstellungen ist dies
im allgemeinen nicht gegeben und man muss das symmetrische und das
antisymmetrische Tensorprodukt unterscheiden.
Def. 4.14: Symmetrisches und antisymmetrisches Tensorprodukt
χsymm (σ) = 1/2[χ (σ) 2 + χ (σ 2 )]
χanti (σ) = 1/2[χ (σ) 2 - χ (σ 2 )]
Bemerkung: Mithilfe des Tensorproduktes lassen sich viele höhere Tensorgrößen sehr leicht
in irreduzible Darstellungen zerlegen. So ist z.B. der dieelektrische Tensor mit dem
Tensorprodukt aus der dielektrischen Verschiebung D und dem elektrischen Feld E
zu bilden. In Abschnitt 10.3 sind die wichtigsten Produkte irreduzibler
Darstellungen in bereits ausreduzierter Form aufgelistet und auch die
symmetrischen und antisymmetrischen Anteile angegeben.
4.4 Auffinden G-invarianter Unterräume
Def. 4.15: Zentrum der Gruppenalgebra
besteht aus jenen Elementen, die mit allen
Elementen der Gruppenalgebra kommutieren (vgl. Def. 2.11):
Das Zentrum Z ~
Z ~
:= { z ~
| ∋ z ~
∗ a ~
= a ~
∗ z ~
Def. 4.16: Klassensumme
der Gruppenalgebra G ~
∀ z ~
∈ G ~
Die Klassensumme K ~
Elementen.
K ~
= Σi ai mit ai,aj ∈ G und ∃ b ∈ G ∋ ai b = b aj.
}
besteht aus der Summe der zueinander konjugierten
Bemerkung: Dies bedeutet sofort, dass es nur so viele verschiedene Klassensummen K ~
wie Klassen konjugierter Elemente in G.
Satz 4.12: Basis des Zentrums
Die Klassensummen K ~
s bilden eine Basis von Z ~
Bemerkung zur Erinnerung (Def. 2.20): π ∈ G ~
π ∗ π = π2 = π ( ⇒ πn = π)
.
heißt Idempotente, wenn gilt:
s gibt,