Vorlesung: Gruppentheorie in Molekül - KFU

P.Knoll, Gruppentheorie in Molekül- und Festkörperphysik Seite 48
Satz 4.8: goldene Regel
Wie oft eine irreduzible Darstellung in einer reduziblen enthalten ist ergibt sich
aus:
cj = 1/g Σσ(G) χΓ(σ) χj(σ-1)
Satz 4.9: Dimension G-invarianter Unterräume
Die Dimension des G-invarianten Unterraumes ergibt sich zu:
dim(Uj) = cj * lj
Def. 4.12: Produkt von Darstellungen
χσ(Γi × Γj) = χσ(Γi) * χσ(Γj)
Def. 4.13: Linearer Operator auf Tensorprodukt
σ(V1 ⊗ V2) mit X aus V1: X = ΣaiAi und Y aus V2: Y = ΣbjBj
mit Z aus V1 ⊗ V2 : Z = Σaibj (Ai ⊗ Bj)
σ(V1 ⊗ V2) = σ Σaibj(Ai ⊗ Bj) = Σaibj(σ Ai ⊗ σ Bj)
Bemerkung: Die Größen Ai ⊗ Bj werden auch Dyaden genannt. Jeder Tensor lässt sich somit
als Linearkombination von Dyaden schreiben.
Satz 4.10: Charaktere von Operatoren auf Tensorprodukten
Spur σ(V1 ⊗ V2) = Spur σ(V1) * Spur σ(V2) oder
1,2 1 2
χσ(V1 ⊗ V2) = χσ(V1) * χσ(V2) oder χσ = χσ * χσ Dies führt gleich zu einer weiteren wichtigen Beziehung:
Satz 4.11: Darstellung von direkten Produkten zweier Gruppen
Die Darstellung einer Gruppe G= G1 ⊗ G2, welche aus einem direktem Produkt
zweier Untergruppen gebildet wurde, ergibt sich als das Produkt der Darstellungen
der jeweiligen Untergruppen. Also: χab(Γno) = χa(Γn) * χb(Γo) mit a ∈ G1, b ∈
G2 und (Γn) Darstellung von G1 und (Γo) Darstellung von G2. Werden auf diese
Art verschiedene Darstellungen aus Sätzen von jeweils orthogonalen Darstellungen
der jeweiligen Untergruppen gebildet, so sind die Charaktere dieser gewonnenen
Darstellungen ebenfalls orthogonal.
Bemerkung: Insbesondere folgt daraus für eindimensionale Darstellungen, dass auf diese Art
für Gruppen, die aus einem direkten Produkt von Untergruppen gebildet wurden, die
irreduziblen Darstellungen als Multiplikation der irreduziblen Darstellungen der
jeweiligen Untergruppen gebildet werden.