Vorlesung: Gruppentheorie in Molekül - KFU

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P.Knoll, Gruppentheorie in Molekül- und Festkörperphysik Seite 46 4.3 Charaktere von Matrixdarstellungen, reduzible und irreduzible Darstellungen, Charaktertafeln Def. 4.8: Charakter Die Spur einer Matrix einer Darstellung heißt Charakter. Def. 4.9: reduzible Darstellung Wenn ein Satz von Darstellungsmatrizen durch geeignete Wahl der Basis gleichzeitig in gleiche Untermatrizen zerlegbar ist, dann heißt die Darstellung reduzibel. Def. 4.10: irreduzible Darstellung Wenn ein Satz von Darstellungsmatrizen nicht mehr durch andere Wahl der Basis in Untermatrizen zerlegbar ist, dann heißt die Darstellung irreduzibel. Satz 4.2: reduzible Darstellungen Jede reduzible Darstellung (Matrixdarstellung) lässt sich als Summe von irreduziblen Darstellungen schreiben. Der dazugehörende (reduzible) Vektorraum lässt sich als direkte Summe von (irreduziblen, G-invarianten) Teilräumen schreiben. Beweis: Da sich die reduzible Darstellung von den irreduziblen Darstellungen nur durch eine Koordinatentransformation der Basis unterscheiden, lässt sich der Satz durch die Eigenschaft der Basis beweisen. Def. 4.11: G-invarianter Teilraum U ist G-invarianter Teilraum von V wenn gilt: U ist G-Vektorraum und Unterraum von V σA ∈ U wenn σ ∈ G und A ∈ U Satz 4.3: Charaktere reduzibler Darstellungen Die Charaktere jeder Darstellung sind Linearkombinationen der Charaktere der irreduziblen Darstellungen. ∀ σ ∈ G: χΓ(σ) = ∑iciχi(σ). Beweis: Aus Satz 4.2 folgt der Beweis direkt durch Spurbildung. Satz 4.4: Orthogonalitätsrelation: Für irreduzible Darstellungsmatrizen in endlichen Gruppen gilt: Σ σ(G) Di(σ)ab [Dj(σ)cd]-1 = g/li δij δad δbc
P.Knoll, Gruppentheorie in Molekül- und Festkörperphysik Seite 47 Bemerkung: Zum Beweis der Orthogonalitätsrelation werden noch folgende zwei Sätze benötigt. Satz 4.5: Lemma von Schur Jede Matrix, die mit den Matrizen der irreduziblen Darstellungen vertauschbar ist, muss ein Vielfaches der Einheitsmatrix sein. Satz 4.6: Existenz der inversen Hilfsmatrix D1(σi) und D2(σi) sind irreduzible Darstellungen der Dimension l1 und l2. Mit M aus der Menge der komplexen Matrizen der Dimension l1 ∗ l2 und der Eigenschaft: M D1(σi) = D2(σi) M folgt: a) l1 ungleich l2 heißt: M = 0 b) l1=l2 heißt: M = 0 oder M-1 existiert. Bemerkung: Aus der Orthogonalitätsrelation (Satz 4.4) folgt direkt die Orthogonalität der Charaktere durch Spurbildung. Satz 4.7: Orthogonalität der Charaktere 1/g Σσ(G) χi(σ)χj(σ-1) = δij Bemerkung: Die Orthogonalität der irreduziblen Darstellungen ist von zentraler Bedeutung in der Gruppentheorie. Insbesondere hilft sie in der Auffindung der einzelnen irreduziblen Darstellungen. Wie später gezeigt wird, entspricht die Orthogonalität der irreduziblen Darstellungen der Orthogonalität der Idempotenten des Zentrums der Gruppenalgebra. Da dieses Zentrum die Dimension der Anzahl an Klassen konjugierter Elemente hat, kann es nie mehr irreduzible Darstellungen geben als Klassen konjugierter Elemente. Zusammen mit der Orthogonalitätsrelation stellt dies ein stark einschränkendes Kriterium für die irreduziblen Darstellungen dar, wodurch ihre Auffindung stark vereinfacht wird. Für zyklische Gruppen haben die irreduziblen Darstellungen bezogen auf den Körper der komplexen Zahlen eine einfache Gestalt. Die m-te irreduzible Darstellung (m = 0, 1, ... N-1) für das Element a n (n = 0,1, ... N-1) lautet: e imn2π/N . Die Charaktere der irreduziblen Darstellungen sind in den Charaktertafeln (Abschnitt 10.1) tabelliert. Außerdem ist es für die praktische Anwendung hilfreich zu wissen, wie die irreduziblen Darstellungen zu den irreduziblen Darstellungen der jeweiligen Untergruppen korreliert sind (Korrelationstafeln in 10.2).
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