Vorlesung: Gruppentheorie in Molekül - KFU

P.Knoll, Gruppentheorie in Molekül- und Festkörperphysik Seite 46
4.3 Charaktere von Matrixdarstellungen, reduzible und irreduzible Darstellungen,
Charaktertafeln
Def. 4.8: Charakter
Die Spur einer Matrix einer Darstellung heißt Charakter.
Def. 4.9: reduzible Darstellung
Wenn ein Satz von Darstellungsmatrizen durch geeignete Wahl der Basis
gleichzeitig in gleiche Untermatrizen zerlegbar ist, dann heißt die Darstellung
reduzibel.
Def. 4.10: irreduzible Darstellung
Wenn ein Satz von Darstellungsmatrizen nicht mehr durch andere Wahl der Basis
in Untermatrizen zerlegbar ist, dann heißt die Darstellung irreduzibel.
Satz 4.2: reduzible Darstellungen
Jede reduzible Darstellung (Matrixdarstellung) lässt sich als Summe von
irreduziblen Darstellungen schreiben. Der dazugehörende (reduzible) Vektorraum
lässt sich als direkte Summe von (irreduziblen, G-invarianten) Teilräumen
schreiben.
Beweis: Da sich die reduzible Darstellung von den irreduziblen Darstellungen nur durch
eine Koordinatentransformation der Basis unterscheiden, lässt sich der Satz durch
die Eigenschaft der Basis beweisen.
Def. 4.11: G-invarianter Teilraum
U ist G-invarianter Teilraum von V wenn gilt:
U ist G-Vektorraum und Unterraum von V
σA ∈ U wenn σ ∈ G und A ∈ U
Satz 4.3: Charaktere reduzibler Darstellungen
Die Charaktere jeder Darstellung sind Linearkombinationen der Charaktere der
irreduziblen Darstellungen. ∀ σ ∈ G: χΓ(σ) = ∑iciχi(σ).
Beweis: Aus Satz 4.2 folgt der Beweis direkt durch Spurbildung.
Satz 4.4: Orthogonalitätsrelation:
Für irreduzible Darstellungsmatrizen in endlichen Gruppen gilt:
Σ σ(G) Di(σ)ab [Dj(σ)cd]-1 = g/li δij δad δbc