Vorlesung: Gruppentheorie in Molekül - KFU

P.Knoll, Gruppentheorie in Molekül- und Festkörperphysik Seite 45
Symmetrieoperationen der Eigenschaft. Da aus Satz 3.1 die Symmetrieoperationen,
die ein Objekt ununterscheidbar lassen eine Gruppe bilden, erhalten wir eine
Teilmenge aus der Symmetriegruppe der beobachtbaren Eigenschaft, welche eine
Gruppe bildet, also eine Untergruppe.
Bemerkung: Es ist auch sofort klar, dass im allgemeinen die Symmetriegruppe des Objektes
viel kleiner als die Symmetriegruppe einer beobachteten Eigenschaft ist, also eine
echte Untergruppe vorliegt.
Def. 4.5: polarer Vektor
Ein Vektor p, der sich bei Punktsymmetrieoperationen σ transformiert wie:
σ(p) = Mσp, (Mσ Matrixdarstellung von σ) heißt polarer Vektor.
Def. 4.6: axialer Vektor
Ein Vektor a, der sich bei Punktsymmetrieoperationen σ transformiert wie:
σ(a) = Det(Mσ) Mσa, (Mσ Matrixdarstellung von σ) heißt axialer Vektor.
Def. 4.7: eigentliche, uneigentliche Drehungen
Punktsymmetrieoperationen mit Det(Mσ) = +1 heißen eigentliche Drehungen
(proper rotations), die mit -1 uneigentliche Drehungen (improper rotations).
Bemerkung: Matrizen der Darstellung von Punktsymmetrieoperationen sind orthogonale bzw.
unitäre Matrizen. Eine weitere Konsequenz aus Satz 4.1 ist, dass auch die
Schrödingergleichung (Wellenfunktion, Hamiltonfunktion) eines Moleküls oder
Festkörpers invariant gegenüber allen Symmetrieoperationen sein muss. Ist σˆ ein
Symmetrieoperator, welcher auf die Wellenfunktion wirkt, dann lautet die durch
die Symmetrieoperation transformierte Schrödingergleichung: σ ˆ −1
ˆH
ˆ σ ˆ σψ
= E ˆ σψ
.
Die Invarianz des Hamiltonoperators schreibt sich dann: Hˆ
−1
ˆ σ ˆ σ = Hˆ
oder
ˆ σH ˆ = Hˆ
ˆ σ . Damit gilt für den Hamiltonoperator, dass er mit allen
Symmetrieoperationen vertauschbar ist, also [ H ˆ , ˆ σ ] = 0 . Daraus folgt unmittelbar
das Noether-Theorem (Satz 1.1) in der Form, dass es zu jeder Symmetrieoperation
eine Erhaltungsgröße geben muss. Es bleibt nur noch die Frage, ob jede
Symmetrieoperation zu eigenen Erhaltungsgrößen führt, also genauso viele
verschiedene Erhaltungsgrößen vorliegen, wie unterschiedliche
Symmetrieelemente. Hier kann man sich überlegen, dass sämtliche
Hintereinanderausführungen einer Symmetrieoperation zur gleichen
Erhaltungsgröße führen. Demnach gibt es dann nur so viele verschiedene
Erhaltungsgrößen, wie erzeugende Elemente in der Gruppe. Bei unendlichen
Gruppen mit kontinuierlichen Transformationen (Symmetrien) sind dann dies die
kontinuierlichen Variablen (Parameter ρ), wie sie im Noether-Theorem formuliert
sind.