Vorlesung: Gruppentheorie in Molekül - KFU

P.Knoll, Gruppentheorie in Molekül- und Festkörperphysik Seite 44
Bemerkung: Beispiele für lineare Operatoren, welche auf einen n-dimensionalen
Vektorraum wirken, sind die n × n Matrizen. Reguläre Operatoren sind dabei die
invertierbaren Matrizen. Alle invertierbaren Matrizen mit Determinante ±1 heißen
orthogonale Matrizen.
Def. 4.4: Darstellung
Der mathematische Ausdruck für die Symmetrieoperationen der Symmetriegruppe
eines Moleküls oder Festkörpers bezüglich der gewählten Basis des Vektorraumes
der betrachteten Eigenschaften (Zustand des Moleküls oder Festkörpers) heißt
Darstellung der Symmetrieoperationen oder der Symmetriegruppe.
oder:
Die Darstellung einer Symmetriegruppe ist ein Homomorphismus der
Symmetriegruppe auf die linearen Operatoren des G-Vektorraumes. (z.B. Matrizen)
Bemerkung: Folgende Vorgangsweise bei Symmetrieanalysen physikalischer Probleme ist
einzuhalten:
1. Zunächst muss das physikalische Problem genau definiert werden: Was ist der
Zustand (Grundzustand) des Problems und welche Zustandsgröße des
Grundzustandes ist für die interessierende physikalische Größe verantwortlich.
2. Bestimme den Vektorraum, in dem die Zustandsgröße liegt und wähle eine
Basis.
3. Bestimme die mathematische Form der Symmetrieoperatoren (Darstellung),
welche auf die gewählte Basis des Vektorraumes wirken.
4.2 Symmetrien und Eigenschaften des Grundzustandes
Satz 4.1: Satz von Neumann - Minnigerode und P. Curie
a) Die beobachtbaren Eigenschaften (Observablen) des Grundzustandes sind
invariant gegenüber Symmetrieoperationen.
oder
b) Die Symmetriegruppe eines Objektes (Molekül, Festkörper) ist eine Untergruppe
der Symmetriegruppe jeder beobachtbaren Eigenschaft des Objektes.
Beweis: In seiner ersten Form a) ist der Beweis trivial, da ja bereits in Def. 3.1
festgelegt wurde, dass Symmetrieoperationen das Objekt ununterscheidbar (also
keine Änderung in seinen beobachtbaren Eigenschaften) lassen müssen. Da die
Bestimmung der Symmetriegruppe im allgemeinen im Grundzustand des Objektes
erfolgt, wurde Satz 4.1 auf die Eigenschaften des Grundzustandes eingeschränkt. In
der zweiten Formulierung b) ist lediglich zu zeigen, dass dies der Formulierung a)
entspricht. Dazu betrachten wir eine beliebige Eigenschaft (z.B. das Dipolmoment)
im homogenen, isotropen Raum. Alle Symmetrieeigenschaften, welche die
betrachtete Eigenschaft (Dipolmoment) invariant lassen, bilden eine Gruppe (z.B.
C∞v für das Dipolmoment). Soll nun ein Objekt im homogenen, isotropen Raum
diese Eigenschaft besitzen, so dürfen nur Symmetrieoperationen auftreten, welche
auch diese betrachtete Eigenschaft invariant lässt. Also sind die
Symmetrieoperationen des Objektes auf jeden Fall eine Teilmenge der