Vorlesung: Gruppentheorie in Molekül - KFU

P.Knoll, Gruppentheorie in Molekül- und Festkörperphysik Seite 43
4. Mathematische Darstellung von Symmetriebeziehungen
4.1 Zusammenhang Physik- Mathematik
Bemerkung: Die physikalischen Beobachtungen (Ergebnisse von Experimenten)
charakterisieren einen physikalischen Zustand. Dieser wird mathematisch als
Zustandsvektor, somit als Element eines Vektorraumes dargestellt. Änderungen des
Zustandes sind somit Operatoren, die auf die Elemente des Vektorraumes wirken.
Die in Experimenten gefundenen Kausalitäten und Zusammenhänge müssen sich in
mathematischen Zusammenhängen zwischen den Operatoren und Zustandsvektoren
widerspiegeln. Ziel ist eine möglichst genaue Abbildung (im Sinne eines
Isomorphismus) der physikalischen Beobachtungen und Ereignisse in Operatoren
und Vektoren. Jeder mathematische Schritt sollte daher seine entsprechende
physikalische Bedeutung haben. (Wird jedoch nicht vollständig erreicht.) Im Fall
von Symmetrieoperationen betrachten wir Operatoren, welche auf physikalische
Zustandsvektoren wirken und in ihrer Wirkung genau die Symmetrieoperation
nachbilden. (z.B. Drehmatrizen auf Vektor des 3-dimensionalen Raumes)
Def. 4.1: linearer Operator
linearer Operator σ auf Vektorraum V: σ:= Abbildung V → V; σA=B mit A,B ∈ V
a) σ(A+B) = σA + σB
b) σ(aA) = a(σA), mit a ∈ R (Körper des Vektorraumes)
Def. 4.2: Verknüpfungen von linearen Operatoren:
a) (σ1 + σ2)A = σ1A + σ2A b) (aσ) A = a (σA)
c) (σ1 * σ2)A = σ1(σ2A) d) Nulloperator: οA = Ο
e) Einsoperator: εA = A
wenn σR injektiv, so heißt er regulärer Operator. Es existiert σR -1,
(σR,*) bildet eine Gruppe
Bemerkung: Symmetrieoperationen sind reguläre Operatoren auf V und bilden mit den hier
definierten Verknüpfungen eine Gruppenalgebra.
Def. 4.3: G-Vektorraum:
V (Vektorraum) heißt zusammen mit G (Gruppe) G-Vektorraum, wenn:
1. alle σ aus G lineare Operatoren auf V sind:
a) σA aus V ist (σ aus G und A aus V)
b) σ(A+B) = σA + σB
c) σ(aA) = a(σA)
2. (στ)A = σ(τA)
3. εA = A mit ε dem Einselement aus G