Vorlesung: Gruppentheorie in Molekül - KFU

P.Knoll, Gruppentheorie in Molekül- und Festkörperphysik Seite 42
4. Suche nach der Drehachse höchster Ordnung. Möglich sind auch drei C2-Achsen,
wobei man, wenn vorhanden jene nimmt, die eine ausgezeichnete Lage einnimmt
(z.B. Molekülachse). Existiert ein Satz von n C2-Achsen senkrecht zur Cn so geht
man zu Schritt 5. Ansonsten gehört das Molekül zu einer der Gruppen Cn, Cnv, Cnh.
Kein Symmetrieelement außer der Cn: ⇒ Cn
n vertikale Spiegelebenen: ⇒ Cnv
eine horizontale Spiegelebene: ⇒ Cnh
5. Dieser letzte Schritt liefert die Gruppen Dn, Dnh und Dnd.
Kein Symmetrieelement außer der Cn und den C2‘s: ⇒ Dn
eine horizontale Spiegelebene: ⇒ Dnh
(außerdem besitzt eine Dnh Gruppe noch n vertikale Spiegelebenen, welche die
senkrechten C2‘s beinhalten)
keine horizontale Spiegelebene,
aber n vertikale Ebenen, zwischen den C2-Achsen: ⇒ Dnd
Mit Hilfe dieser Prozedur lassen sich auch kompliziertere Moleküle leicht zu einer
Symmetriegruppe zuordnen. Als Beispiel nehmen wir das Ferrocene, welches in 2
verschiedenen Konfigurationen vorkommen kann, wie sie in Abb. 3.6 gezeigt sind.
Abb. 3.6: Ferrocene
Einmal sind die 5-Ecke unverdreht übereinander angeordnet (dies führt zu einer horizontalen
Spiegelebene), das andere mal sind sie verdreht, bzw. spiegelbildlich übereinander gestapelt.
Letzteres vernichtet die reine Existenz einer Spiegelebene, sie kommt nur mehr in
Kombination mit einer 10-zähligen Achse vor. Wenn man nach der obigen Prozedur aus Abb.
3.5 vorgeht, so kann man die ersten 3 Schritte überspringen. Für beide Modifikationen findet
man eine 5-zählige Achse als höchste Symmetrie und weitere senkrechte 2-zählige Achsen.
Während jedoch die Modifikation mit den unverdreht übereinander gestapelten 5-Ecken eine
horizontale Spiegelebene besitzt und somit zu D5h gehört, liegen bei der anderen Modifikation
nur vertikale Spiegelebenen vor, woraus die Symmetriegruppe D5d folgt. Eine Überprüfung
der Zuordnung kann mit Hilfe der detaillierten Auflistung der Symmetrieelemente der Tafel
3.5 erfolgen. Demnach muss die D5d auch eine S10 und ein Inversionszentrum besitzen,
welche in D5h nicht vorhanden sind.