Vorlesung: Gruppentheorie in Molekül - KFU

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P.Knoll, Gruppentheorie in Molekül- und Festkörperphysik Seite 34 Die Symmetrieoperationen nach Def. 3.1, welche ein Objekt im Raum invariant erscheinen lassen, bilden mit der Verknüpfung aus Def. 3.4 eine Gruppe. Die Punktsymmetrieoperationen bilden eine endliche Gruppe, wenn sie mindestens einen gemeinsamen Punkt im Raum invariant lassen. Beweis: Der Beweis von Satz 3.1 braucht nicht in der üblichen mathematischen Strenge durchgeführt werden. Vielmehr kann anschaulich klar gemacht werden, dass die Gruppenaxiome mit Symmetrieoperationen nach Def. 3.1 und der Verknüpfung nach Def. 3.4 erfüllt sind. Die Wohldefiniertheit der Verknüpfung (oder Abgeschlossenheit) folgt aus der Transitivität der Eigenschaft ununterscheidbar. Das assoziative Gesetz kann aus dem assoziativen Gesetz für allgemeine Bewegungen (Rotationen, Spiegelungen, Translationen) im Raum (nur die Reihenfolge ist wichtig) übernommen werden. Inverses und neutrales Element haben zwangsläufig auch die Eigenschaft ununterscheidbare Objekte zu generieren und existieren daher. Punktoperationen bilden nur dann endliche Gruppen, wenn sie einen gemeinsamen invarianten Punkt im Raum besitzen, ansonsten gilt nicht mehr, dass ein Symmetrieelement endlich oft hintereinander ausgeführt die Identität ergibt. Bei Festkörpern wo auch Translationen (unendliche zyklische Gruppe) hinzugenommen werden, gibt es mehrere Möglichkeiten für invariante Punkte bei Punktsymmetrien, oder auch gar keine invarianten Punkte. Im mathematischen Sinne können die Symmetrieoperationen durch orthogonale (unitäre) Matrizen dargestellt werden. Demnach sind die Symmetrieoperationen eine Untergruppe der Gruppe der orthogonalen (unitären) Matrizen. Da die inverse Symmetrieoperation existiert, und die Symmetrieoperationen so zusammengefasst werden, dass Abgeschlossenheit gewährleistet ist, ist die Gruppeneigenschaft gegeben. Die Hintereinanderausführung von Symmetrieoperationen ist im allgemeinen nicht kommutativ. Folgende Punktsymmetrieoperationen jedoch vertauschen miteinander: 1) Drehungen um die selbe Achse: Cn m •Cl k = Cnl lm+nk . 2) Spiegelung an Ebenen die senkrecht zueinander sind: σ1•σ2 = C2. 3) Inversion mit irgendeiner Drehung oder Spiegelung: 1 = i • Cn = Sn (n=4k); 1 = i•Cn = S2n (n=2k). 4) Zwei C2 Drehungen um Achsen senkrecht zueinander: C2(x)•C2(y) = C2(z). 5) Drehung und Spiegelung an Ebene senkrecht zur Drehachse: σh•Cn = Sn. (Horizontale Spiegeleben σh) Die Gruppen der endlichen Punktsymmetrien können als Untergruppen einer übergeordneten großen Symmetriegruppe angesehen werden. Bezeichnungsweise, und Einteilung kann aus Tafel 3.2, Tafel 3.3, Tafel 3.4 und Tafel 3.5 entnommen werden. Die Bezeichnung nach Schönflies (ältere Bezeichnung, bei Molekülen auch heute üblich) orientiert sich dabei nach dem Symmetrieelement mit höchster Symmetrie (Drehung vor Spiegelung, Drehspiegelung und Inversion) und einer weiteren Klassifikation (falls notwendig) wie zusätzliche Spiegelebenen oder weitere orthogonale Drehachsen, welche mit einem eigenen Buchstaben (D) gekennzeichnet werden. Hochsymmetrische Gruppen werden mit eigenen Symbolen
P.Knoll, Gruppentheorie in Molekül- und Festkörperphysik Seite 35 belegt (z.B. T von Tetraeder, O von Oktaeder etc.). Die internationale Bezeichnungsweise (Hermann-Mauguin) ist vorwiegend bei Festkörpern heute üblich und gibt die Generatoren (erzeugende Elemente) der Gruppe an. Dies ist keineswegs eindeutig. Tafel 3.2: Punktsymmetriegruppen allgemeiner Moleküle C1, 1 E (Triviale Gruppe) Cs, m σ,σ 2 =E (zyklische Gruppe der Ordnung 2) Ci, 1 i,i 2 =E (Alle Gruppen 2.0rdnung sind isomorph !) Cn, n Cn,......,Cn n =E (zyklische Gruppe mit n Elementen); Spezialfall n=1 ergibt: C1 Sn, k (n=2k) Sn, n (n=4k) (n ungerade=Cnh) Cnh, n/m (n gerade) 2 n (n ungerade) Cnv, nmm (n gerade, n≠2) nm (n ungerade) Dn, n22 (n gerade) n2 (n ungerade) Dnh, n/mmm (n gerade, n≠2) n/mm (n ungerade) Dnd, 2n 2m (n gerade) n 2/m (n ungerade) E,Sn,Sn 2 =Cn/2,..,Sn n-1 (zyklische Gruppe mit n Elementen); Spezialfall n=2 ergibt: Ci Cn,σh, Sn (abel'sche Gruppe aus 2n Elementen, die Spiegelebene steht senkrecht zur Drehachse); Spezialfall n=1 ergibt: Cs Bei geradem n tritt ein Inversionszentrum auf. Cn, n mal σv, (Gruppe mit 2n Elementen.) Die Spiegelebenen beinhalten die Drehachsen und werden Vertikalebenen genannt. Insgesamt erzeugt die Drehung n verschiedene Vertikalebenen, wenn n ungerade ist. Bei geradem n erzeugt Cn n/2 Vertikalebenen, aber zusätzliche treten noch n/2 weitere Spiegelebenen (Diagonalebenen) als Winkelhalbierende auf (σd). Cn, C2, ... (Gruppe mit 2n Elementen) Die C2 sind senkrecht zur Cn. Insgesamt erzeugt bei ungeradem n die n-zählige Drehung n C2, die mit C2‘ benannt werden. Bei geradem n werden n/2 direkt durch die Drehung erzeugt (C2‘), aber zusätzlich treten noch C2‘‘ als Winkelhalbierende auf. Cn, C2, Sn, σh, n mal σv Cn, C2, S2n, n mal σd (Gruppe mit 4n Elementen) Die Gruppe besteht aus einer Dn mit einer zusätzlichen σh, welche die C2 ‘s enthält. Dies erzeugt weitere σv ‘s und eine Sn. Bei geradem n tritt ein Inversionszentrum auf. (Gruppe mit 4n Elementen) Die Gruppe besteht aus einer Dn mit zusätzlichen σd’s, welche die Winkel zwischen den C2‘s halbiert. Zusätzlich tritt noch eine S2n auf. Für ungerade n tritt eine I i f
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