Vorlesung: Gruppentheorie in Molekül - KFU

P.Knoll, Gruppentheorie in Molekül- und Festkörperphysik Seite 34
Die Symmetrieoperationen nach Def. 3.1, welche ein Objekt im Raum invariant
erscheinen lassen, bilden mit der Verknüpfung aus Def. 3.4 eine Gruppe. Die
Punktsymmetrieoperationen bilden eine endliche Gruppe, wenn sie mindestens
einen gemeinsamen Punkt im Raum invariant lassen.
Beweis: Der Beweis von Satz 3.1 braucht nicht in der üblichen mathematischen Strenge
durchgeführt werden. Vielmehr kann anschaulich klar gemacht werden, dass die
Gruppenaxiome mit Symmetrieoperationen nach Def. 3.1 und der Verknüpfung
nach Def. 3.4 erfüllt sind. Die Wohldefiniertheit der Verknüpfung (oder
Abgeschlossenheit) folgt aus der Transitivität der Eigenschaft ununterscheidbar.
Das assoziative Gesetz kann aus dem assoziativen Gesetz für allgemeine
Bewegungen (Rotationen, Spiegelungen, Translationen) im Raum (nur die
Reihenfolge ist wichtig) übernommen werden. Inverses und neutrales Element
haben zwangsläufig auch die Eigenschaft ununterscheidbare Objekte zu generieren
und existieren daher. Punktoperationen bilden nur dann endliche Gruppen, wenn sie
einen gemeinsamen invarianten Punkt im Raum besitzen, ansonsten gilt nicht mehr,
dass ein Symmetrieelement endlich oft hintereinander ausgeführt die Identität
ergibt. Bei Festkörpern wo auch Translationen (unendliche zyklische Gruppe)
hinzugenommen werden, gibt es mehrere Möglichkeiten für invariante Punkte bei
Punktsymmetrien, oder auch gar keine invarianten Punkte. Im mathematischen
Sinne können die Symmetrieoperationen durch orthogonale (unitäre) Matrizen
dargestellt werden. Demnach sind die Symmetrieoperationen eine Untergruppe der
Gruppe der orthogonalen (unitären) Matrizen. Da die inverse Symmetrieoperation
existiert, und die Symmetrieoperationen so zusammengefasst werden, dass
Abgeschlossenheit gewährleistet ist, ist die Gruppeneigenschaft gegeben.
Die Hintereinanderausführung von Symmetrieoperationen ist im allgemeinen nicht
kommutativ. Folgende Punktsymmetrieoperationen jedoch vertauschen miteinander:
1) Drehungen um die selbe Achse: Cn m •Cl k = Cnl lm+nk .
2) Spiegelung an Ebenen die senkrecht zueinander sind: σ1•σ2 = C2.
3) Inversion mit irgendeiner Drehung oder Spiegelung: 1 = i • Cn = Sn (n=4k);
1 = i•Cn = S2n (n=2k).
4) Zwei C2 Drehungen um Achsen senkrecht zueinander: C2(x)•C2(y) = C2(z).
5) Drehung und Spiegelung an Ebene senkrecht zur Drehachse: σh•Cn = Sn.
(Horizontale Spiegeleben σh)
Die Gruppen der endlichen Punktsymmetrien können als Untergruppen einer übergeordneten
großen Symmetriegruppe angesehen werden. Bezeichnungsweise, und Einteilung kann aus
Tafel 3.2, Tafel 3.3, Tafel 3.4 und Tafel 3.5 entnommen werden. Die Bezeichnung nach
Schönflies (ältere Bezeichnung, bei Molekülen auch heute üblich) orientiert sich dabei nach
dem Symmetrieelement mit höchster Symmetrie (Drehung vor Spiegelung, Drehspiegelung
und Inversion) und einer weiteren Klassifikation (falls notwendig) wie zusätzliche
Spiegelebenen oder weitere orthogonale Drehachsen, welche mit einem eigenen Buchstaben
(D) gekennzeichnet werden. Hochsymmetrische Gruppen werden mit eigenen Symbolen