Vorlesung: Gruppentheorie in Molekül - KFU

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P.Knoll, Gruppentheorie in Molekül- und Festkörperphysik Seite 32 Die Vertauschung der Ecken - z.B. durch Drehungen um 120° = 2π/3 - führt das Dreieck in äquivalente Konfigurationen II und III über, die aber nicht identisch sind. Nur die gleiche Anordnung der Ecken in Konfiguration IV und I sind zueinander identisch. Die ununterscheidbaren äquivalenten Konfigurationen haben auch ununterscheidbare physikalische Eigenschaften gemäß Def. 3.1. Die identischen Konfigurationen sind dabei nicht in ihren physikalischen Eigenschaften ausgezeichnet, sondern sind nur fiktiv durch eine Durchnummerierung der Ecken identifizierbar. Die Eigenschaft von räumlichen Objekten ununterscheidbar (oder äquivalent) zu sein erfüllt alle Bedingungen einer Äquivalenzrelation. Dadurch kann eine Klasseneinteilung nach äquivalenten Objekten durchgeführt werden. Wichtig ist jedoch die Transitivität der Eigenschaft äquivalent zu sein, weil dadurch die Hintereinanderausführung von Symmetrieoperationen wohldefinierbar wird. Def. 3.2: Symmetrieelemente Symmetrieelemente sind geometrische Elemente (Unterräume des 3 dim. Ortsraumes) wie Punkte, Geraden, Ebenen, bezüglich denen Symmetrieoperationen ausgeführt werden. Def. 3.3: Punktsymmetrien Punktsymmetrien werden Symmetrieoperationen genannt, welche zumindest einen Punkt des Raumes invariant lassen. Bemerkung: Die Symmetrieelemente sind die Invarianten der zugehörigen Punktsymmetrieoperationen. Zur Beschreibung von Symmetrien in Molekülen werden die Punktsymmetrieoperationen herangezogen, während zur Beschreibung von Festkörpern weitere Symmetrieoperationen (Translationen im Raum und ihre Kombination mit Punktsymmetrieoperationen) betrachtet werden müssen. 3.2 Punktsymmetriegruppen Auftretende Punktsymmetrien sind in Tafel 3.1 beschrieben und die dafür verwendeten Symbole angegeben (Schönflies, Hermann-Mauguin). Alle weiteren Punktsymmetrien können aus diesen generiert werden. Die Hintereinanderausführung von Symmetrieoperationen kann als Verknüpfung im gruppentheoretischen Sinn definiert werden. Def. 3.4: Verknüpfung von Symmetrieoperationen Die Verknüpfung von Symmetrieoperationen wird als Hintereinanderausführung definiert. Tafel 3.1: Punktsymmetrien (Schönflies und Hermann-Mauguin Bezeichnungen)
P.Knoll, Gruppentheorie in Molekül- und Festkörperphysik Seite 33 Symmetrieelement / Symbol Ebene Spiegelebene / σ, m Punkt Inversionszentrum / i, 1 Gerade Drehachse / Cn, n n=2, 3, 4, ... Gerade+Ebene Drehspiegelachse / Sn, n/m n=2, 3, 4, ... für n=4k auch n n=2k (k ungerade) auch k Satz 3.1: Symmetriegruppen Operation / Symbol Beschreibung Spiegelung an Ebene / σ, m Inversion (Punktspiegelung) / i, 1 Drehung um Achse / Cn, n n=2, 3, ... Drehung um Achse und Spiegelung um Ebene normal zur Achse. (Horizontale Spiegelebene σh) / Sn, n/m n=2, 3, 4, ... n , k Eine Symmetrieebene generiert genau eine Symmetrieoperation. σ 2 =E, ist zu sich selbst invers. Ein Symmetriezentrum generiert genau eine Symmetrieoperation. i 2 =E, ist zu sich selbst invers. n bezeichnet die Zähligkeit der Achse. Der Drehwinkel ist 2π/n. Cn n = E. Generiert n Operationen. Man schreibt immer den niedrigsten Term an: z.B. anstelle C6 3 schreibt man C2. Inverses Element : (Cn m ) -1 = Cn n-m . Die unabhängige Existenz von Drehung und Spiegelung garantiert die Zusammensetzung zu einer Sn. Sie kann jedoch existieren, ohne daß Cn und σ unabhängig davon existieren. n=gerade: Sn m =Cn m (m gerrade) Sn n =E. S2m m = i (m ungerade). (Sn m ) -1 = Sn n-m . n=ungerade: Cn und σ existieren auch getrennt: Sn n =σ und Sn•σ = Cn. Sn 2n =E. Generiert 2n Symmetrieoperation en. (Sn m ) -1 =Cn n-m (m gerade) (Sn m ) -1 =Sn 2n-m (m unger.)
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