Vorlesung: Gruppentheorie in Molekül - KFU

P.Knoll, Gruppentheorie in Molekül- und Festkörperphysik Seite 32
Die Vertauschung der Ecken - z.B. durch Drehungen um 120° = 2π/3 - führt das Dreieck in
äquivalente Konfigurationen II und III über, die aber nicht identisch sind. Nur die gleiche
Anordnung der Ecken in Konfiguration IV und I sind zueinander identisch. Die
ununterscheidbaren äquivalenten Konfigurationen haben auch ununterscheidbare
physikalische Eigenschaften gemäß Def. 3.1. Die identischen Konfigurationen sind dabei
nicht in ihren physikalischen Eigenschaften ausgezeichnet, sondern sind nur fiktiv durch eine
Durchnummerierung der Ecken identifizierbar.
Die Eigenschaft von räumlichen Objekten ununterscheidbar (oder äquivalent) zu sein erfüllt
alle Bedingungen einer Äquivalenzrelation. Dadurch kann eine Klasseneinteilung nach
äquivalenten Objekten durchgeführt werden. Wichtig ist jedoch die Transitivität der
Eigenschaft äquivalent zu sein, weil dadurch die Hintereinanderausführung von
Symmetrieoperationen wohldefinierbar wird.
Def. 3.2: Symmetrieelemente
Symmetrieelemente sind geometrische Elemente (Unterräume des 3 dim.
Ortsraumes) wie Punkte, Geraden, Ebenen, bezüglich denen Symmetrieoperationen
ausgeführt werden.
Def. 3.3: Punktsymmetrien
Punktsymmetrien werden Symmetrieoperationen genannt, welche zumindest einen
Punkt des Raumes invariant lassen.
Bemerkung: Die Symmetrieelemente sind die Invarianten der zugehörigen
Punktsymmetrieoperationen.
Zur Beschreibung von Symmetrien in Molekülen werden die Punktsymmetrieoperationen
herangezogen, während zur Beschreibung von Festkörpern weitere Symmetrieoperationen
(Translationen im Raum und ihre Kombination mit Punktsymmetrieoperationen) betrachtet
werden müssen.
3.2 Punktsymmetriegruppen
Auftretende Punktsymmetrien sind in Tafel 3.1 beschrieben und die dafür verwendeten
Symbole angegeben (Schönflies, Hermann-Mauguin). Alle weiteren Punktsymmetrien
können aus diesen generiert werden.
Die Hintereinanderausführung von Symmetrieoperationen kann als Verknüpfung im
gruppentheoretischen Sinn definiert werden.
Def. 3.4: Verknüpfung von Symmetrieoperationen
Die Verknüpfung von Symmetrieoperationen wird als Hintereinanderausführung
definiert.
Tafel 3.1: Punktsymmetrien (Schönflies und Hermann-Mauguin Bezeichnungen)