Vorlesung: Gruppentheorie in Molekül - KFU

P.Knoll, Gruppentheorie in Molekül- und Festkörperphysik Seite 30
b) f: G → G' ist Isomorphismus:
dann ist auch f-1: G' → G ein Isomorphismus
c) f: G → G' und f': G' → G'' sind Isomorphismen:
dann ist auch f'* f ein Isomorphismus (Hintereinanderausführung)
Beweis: Der Beweis ergibt sich direkt aus den Eigenschaften des Isomorphismuses, wie
sie in Def. 2.24 zusammen mit Def. 2.27 vorgegeben sind. (Übungsbeispiel)
Bemerkung: Eine Folgerung ist auch, dass der Isomorphismus zwischen Gruppen auch eine
Äquivalenzrelation ist. Daher lassen sich Gruppen in Klassen äquivalenter
(isomorpher) Gruppen einteilen. Existiert zwischen zwei Gruppen ein
Isomorphismus, dann heißen die Gruppen auch isomorph zueinander. Isomorphe
Gruppen haben gleiche Gruppentafeln. (Können daher wie identische Gruppen
behandelt werden.)
Def. 2.28: Kern eines Homomorphismus
f ist Homomorphismus zwischen Gruppen G und G'.
Die Menge Kerf := {g ∈ G| mit f(g) = ε'} heißt Kern von f.
Satz 2.10: weitere Eigenschaften eines Homomorphismus
f ist Homomorphismus zwischen Gruppen G und G'.
a) f(G) < G' ist Untergruppe von G'
b) G/Kerf ist isomorph zu f(G); Kerf ist Normalteiler von G.
Beweis: Der Beweis für a) wird direkt für jede der Eigenschaften Def. 2.6 der
Untergruppe mit Hilfe der Eigenschaften Def. 2.24 des Homomorphismus erbracht.
Für b) wird zunächst gezeigt, dass Kerf ein Normalteiler ist und dann, dass die
Faktorgruppe isomorph zum Bild des Homomorphismuses ist. (Man benützt Def.
2.13, Def. 2.14, Def. 2.15, Def. 2.24, Def. 2.27) (Übungsbeispiel)
Bemerkung: Der letzte Satz erleichtert das Auffinden von Normalteilern einer Gruppe.