Vorlesung: Gruppentheorie in Molekül - KFU

P.Knoll, Gruppentheorie in Molekül- und Festkörperphysik Seite 29
Def. 2.24: Homomorphismus
Ein Homomorphismus ist die Abbildung zwischen zwei Mengen M1 und M2, auf
die jeweils eine Verknüpfung + bzw. * definiert ist, wobei die
Verknüpfungseigenschaften erhalten bleiben.
f: (M1,+) → (M2,*) mit a,b aus M1 ist homomorph wenn gilt: f(a+b) = f(a) * f(b).
Def. 2.25: injektiv, Monomorphismus
Eine Abbildung von M nach M' heißt injektiv, wenn jedem Element aus M genau
ein Element aus M' zugeordnet wird (eineindeutig). Ein injektiver
Homomorphismus heißt Monomorphismus.
Def. 2.26: surjektiv, Epimorphismus
Kann jedes Element b aus M' geschrieben werden als b = f(a) mit a aus M, dann
heißt die Abbildung surjektiv. Ein surjektiver Homomorphismus heißt
Epimorphismus.
Def. 2.27: bijektiv, Isomorphismus
Eine injektive und surjektive Abbildung heißt bijektiv. Ein bijektiver
Homomorphismus heißt Isomorphismus.
Satz 2.7: Verknüpfung von Homomorphismen
f: M → M' und f': M' → M'' sind Homomorphismen. f' * f : M → M'' ist ebenfalls
Homomorphismus. Die Verknüpfung der beiden Homomorphismen ist dabei als
Hintereinanderausführung definiert.
Beweis: Unter Verwendung der Def. 2.24 über Homomorphismen ist mit der
Hintereinanderausführung leicht zu zeigen, dass das Ergebnis ebenfalls die
Eigenschaften Def. 2.24 des Homomorphismus besitzt.
Satz 2.8: Eigenschaften des Homomorphismus
f: G → G' ist Homomorphismus zwischen den Gruppen G und G'.
Es gilt:
a) f(ε) = ε'
b) ∀a ∈ G gilt: f(a-1) = f(a)-1
Beweis: Aus der Eindeutigkeit von neutralem und inversem Element kann mit den
Eigenschaften Def. 2.24 des Homomorphismuses der Beweis leicht erbracht
werden. (Übungsaufgabe)
Satz 2.9: Eigenschaften von Isomorphismen
Isomorphismen zwischen Gruppen G, G' und G'':
a) idG: G → G ist Isomorphismus (Identität)