Vorlesung: Gruppentheorie in Molekül - KFU

P.Knoll, Gruppentheorie in Molekül- und Festkörperphysik Seite 28
Beweis: Der Beweis erfolgt direkt aus der Gruppeneigenschaft von G (Def. 2.5) und der
genauen Definition des direkten Produktes (Def. 2.21).
Bemerkung: Das direktes Produkt von Vektorräumen (Tensorräumen) wird Tensorprodukt
⊗ genannt. Analog wird die direkte Summe ⊕ von Gruppen und Vektorräumen
definiert.
2.5 Abbildungen
Def. 2.22: Abbildung
Zwei Mengen M1 und M2 sind vorgegeben. Eine Abbildung ist eine eindeutige
Zuordnung eines beliebigen Elementes von M1 zu einem Element aus M2.
Def. 2.23: Äquivalenzrelation
Eine Äquivalenzrelation ist eine Abbildung von M → M.
Mit a,b aus M ist a ~ b (a äquvalent b) eine Äquivalenzrelation, wenn folgendes
gilt:
a) Identität: a ~ a
b) reflexiv: a ~ b -> b ~ a
c) transitiv: a ~ b und b ~ c ⇒ a ~ c
Satz 2.5: Existenz von Äquivalenzrelationen
Eine Äquivalenzrelation in M existiert genau dann, wenn eine Klasseneinteilung
von M existiert.
Beweis: Der Beweis muss wegen des Wortes „genau“ in beiden Richtungen geführt
werden. Einmal geht man von der Existenz einer Äquivalenzrelation aus und zeigt
unter Benützung ihrer Eigenschaften (Def. 2.23), dass daraus eine
Klasseneinteilung (mit den Eigenschaften aus Def. 2.8) der Menge M resultiert,
andererseits gibt man eine Klasseneinteilung (Def. 2.8) vor und zeigt, dass die
Eigenschaft einer Klasse anzugehören bereits eine Äquivalenzrelation (Def. 2.23)
ist.
Satz 2.6: Klassen konjugierter Elemente
Die Eigenschaft aus Def. 2.12 (a ist konjugiert zu b) ist eine Äquivalenzrelation,
wodurch eine Klasseneinteilung der Gruppe resultiert
Beweis: Es wird direkt aus den Eigenschaften Def. 2.12 der konjugierten Elemente
gezeigt, dass diese den Eigenschaften Def. 2.23 der Äquivalenzrelation
entsprechen. Wegen Satz 2.6 folgt dann direkt die Klasseneinteilung.
Bemerkung: Eine Folgerung von Satz 2.5 und Satz 2.6 ist, dass die konjugierten Elemente
eine Klasseneinteilung der Gruppe bilden. Diese Klassen heißen Klassen
konjugierter Elemente.