Vorlesung: Gruppentheorie in Molekül - KFU

P.Knoll, Gruppentheorie in Molekül- und Festkörperphysik Seite 27
Def. 2.18: Inneres Produkt
Abbildung von V × V nach R oder: Zuordnung einer Paares aus V zu einem Skalar
in R (reelle Zahl):
(A,B) = a mit folgenden Eigenschaften: (A,B ∈ V, a, r ∈ R)
a) (A,A) > 0 genau dann, wenn A ≠ 0
b) (A,B) = (B,A)
c) (A+B,C) = (A,C) + (B,C)
d) (rA,B) = r(A,B)
Bemerkung: (A, A) = |A| heißt Betrag von A. Weiters gilt: (0,A)=(A,0)=0.
Wenn |A|=1 heißt A normiert, wenn (A,B)=0 heißen A, B orthogonal zueinander.
Auf diese Weise können orthogonale und orthonormale (orthogonal und normierte)
Basen gebildet werden. Für eine orthonormale Basis gilt: (Bi,Bj)=δij.
Def. 2.19: Gruppenalgebra
zu einer Gruppe G = {g1,g2,g3, ....| *} ist die Menge aller
Linearkombinationen gebildet mit den Elementen ri aus einem Körper R gemäß
Def. 2.16:
ξ = r1g1+r2g2+.......(analog zu Vektorraum) mit zusätzlich definierten
Verknüpfungen g1+g2 und r1g1
Die Gruppenalgebra G ~
Bemerkung: Mit den zusätzlich definierten Verknüpfungen ξ1+ξ2 = ∑ xσσ
+ ∑ yσσ=
σ
σ
∑ (xσ+ y σ)
σ bzw. ξ1 * ξ2 = ∑ xσσ
* ∑ yσσ
= ∑ (xσiy σj) σσ i j kann die
Def. 2.20: Idempotenz
σ
σ
Gruppenalgebra zu einem Vektorraum erweitert werden. Insbesondere können
dann alle für Vektorräume definierten Begriffe (z.B. die Orthogonalität) auf
Gruppenalgebren übertragen werden.
Ein Element π der Gruppenalgebra heißt idempotent, wenn π2 = π.
Def. 2.21: Direktes Produkt ⊗, Tensorprodukt
G1 und G2 sind Untergruppen von G:
G1 ⊗ G2 := {g1g2| g1 ∈ G1, g2 ∈ G2} und
g1g2 = g2g1 und
G1,G2 haben nur neutrales Element aus G gemeinsam: G1∩G2={ε}
Satz 2.4: über direkte Produkte
G1 ⊗ G2 < G (ist Untergruppe von G). Wenn n1 = |G1| (Ordnung der Gruppe)
und n2 = |G2|, dann ist n1n2 = |G1 ⊗ G2|.
σ
ij