Vorlesung: Gruppentheorie in Molekül - KFU

P.Knoll, Gruppentheorie in Molekül- und Festkörperphysik Seite 26
Beweis: Der Beweis benützt einfach die Def. 2.15 der Faktorgruppe und überträgt
entsprechend die Gruppeneigenschaften von G auf die soeben definierte
Verknüpfung für die Faktorgruppe entsprechend der Gruppenaxiome aus Def. 2.5.
Bemerkung: Beispiele für Faktorgruppen sind die Restklassen. Die geraden Zahlen sind z.B.
eine Untergruppe und Normalteiler von (Z, +). Die dazugehörenden Nebenklassen
sind die der geraden und ungeraden Zahlen. Die Fakorgruppe ist die Menge {u,g}
mit der Verknüpfung +, u+u=g, g+g=g, u+g=g+u=u.
Mit Hilfe der Faktorgruppe kann aus einer großen Gruppe eine kleinere Gruppe mit
entsprechend eingeschränkten Eigenschaften extrahiert werden.
Def. 2.16: Vektorraum (Tensorraum)
Ein n-dimensionaler Vektorraum (Tensorraum) ist eine Menge V von Elementen
A,B, ........,X, genannt Vektoren (Tensoren), die eine Gruppe bilden, zusammen mit
Skalaren a,b,c,....aus der Menge R, die einen Körper bildet, mit folgenden
Eigenschaften:
1. (V,+) ist Gruppe
2. (R, +, *) ist Körper, d.h. {R,+} abelsche Gruppe, {R\{0}, *} Gruppe,
beide Verknüpfungen +,* genügen den distributiven Gesetzen:
a*(b+c) = (a*b)+(a*c)
(a+b)*c = (a*c)+(b*c)
3. Verbindung Skalar mit Vektor (Tensor)
a) mit a aus R und A aus V ist aA aus V (Definiert eine Verknüpfung)
b) a,b aus R, a(bA) = (a * b)A
c) a(A + B) = aA + aB
d) (a+b)A = aA + bA
e) 1A = A
4. Es gibt eine Basis in V. d.h.:
jeder Vektor (Tensor) A = a1B1+a2B2+.....+anBn lässt sich durch
Linearkombination von n-verschiedenen Basisvektoren darstellen.
Bemerkung: In dieser Definition werden alle wichtigen Eigenschaften von Vektorräumen
(Funktionenräumen, Tensorräumen) zusammengefasst und es wird auf eine
axiomatische Einführung, wie sie im strengeren mathematischen Sinn gefordert ist,
verzichtet. Insbesondere wird bereits die Existenz einer Basis in die Definition
miteinbezogen. Im Speziellen betrachten wir Vektorräume V die aus mehreren
Skalaren (aus R) aufgebaut sind. z.B. (a1, a2, .........an). Beispiele sind der 3dimensionale
Raum, die 3x3 Matrizen, Polynome (Funktionenraum) etc.
Def. 2.17: Unterraum
U ist k-dimensionaler Unterraum von V, wenn U nicht Leermenge ist und die
Axiome aus Def. 2.16 für U anstelle von V gelten mit U ist Untergruppe von V.
Bemerkung: Beispiele sind Geraden oder Ebenen im 3-dimensionalen Raum.